乒乓球飛行運動學(xué)模型的建立與仿真姜付高1李祥晨21曲阜師范大學(xué)體育教研部（日照校區(qū)）日照2768262國家體育科學(xué)研究所體育系統(tǒng)仿真實驗室，北京100061摘要：本文應(yīng)用流體力學(xué)原理，分析了乒乓球在飛行中的運動狀況，建立了它的運動方程。最后，應(yīng)用Matlab6.5仿真技術(shù)，對理論模型進行了分析與論證。關(guān)鍵詞：乒乓球；運動；仿真FlightSimulationofPingpongBallLiYan-feng1,2,LiXiang-chen1,XiaoShu-ming1,Panzhi-geng2，3（1SportsSystemSimulationLabofCISS，Beijing,100061）（2VR&MultimediaLab，HangzhouInstituteofElectronicEngineering，Hangzhou，310018）Abstract:Accordingtomechanicsoffluids,afteranalyzingtheflighttrackofthePing-Pongball,wesetupthemotionequationsofthemovementoftheping-pongball.Bythemeansofsimulationtechnology,theequationsarediscussedandvalidated.Keywords:Ping-Pong;Flight;Simulation1前言乒乓球被譽為我國“國球”，在歷屆奧運會和世界錦標(biāo)賽上，我國乒乓球隊都取得了驕人的戰(zhàn)績，創(chuàng)造了一個又一個奇跡，為我國贏得了榮耀。但是，在這些光環(huán)的背后，運動員需要付出常人難以想象的勞動。特別地，為了應(yīng)對對手的戰(zhàn)術(shù)，運動員往往針對某一特定技術(shù)動作進行長期的反復(fù)練習(xí)。而為了達到特定訓(xùn)練效果，常常需要一個陪練梯隊做出默默無聞的犧牲。為了提高訓(xùn)練的強度和效益，為了提高訓(xùn)練的科技含量，我們提出研究可以模擬對手發(fā)球和擊球機器人的設(shè)想。機器人要實現(xiàn)模擬各種發(fā)球和擊球的動作，需要深入了解乒乓球的飛行特性。本文著重分析了乒乓球的飛行軌跡，結(jié)合空氣動力學(xué)，建立了乒乓球飛行的運動學(xué)模型，應(yīng)用MatLab6.5對乒乓球的運行軌跡進行了仿真試驗從而檢驗方程的正確性。2研究方法2.1數(shù)學(xué)建模，結(jié)合空氣動力學(xué)建立了乒乓球空中運動方程。2.2數(shù)值仿真，利用MatLab6.5進行模擬仿真實驗驗證方程。3運動學(xué)方程的建立3.1乒乓球受力分析 乒乓球在空中運動的過程中，主要受到三個力的作用，如圖1：圖1乒乓球受力情況圖1乒乓球受力情況重力。在乒乓球飛行的過程中，將始終受到重力的影響，方向豎直向下；空氣阻力R。因為乒乓球的直徑為D，旋轉(zhuǎn)速度為ω，空氣粘滯系數(shù)為η（如表1），空氣密度ρ，球體向前平動速度為v，球體受到空氣阻力與平動速度的關(guān)系取決于雷諾數(shù)。表1不同溫度下空氣粘滯系數(shù)溫度（℃）粘滯系數(shù)017.2×10-61017.8×10-62018.3×10-63018.7×10-64019.2×10-65019.6×10-66020.1×10-6作為估計[1]，取η=18.1×10-6Pa·sρ=1.205kg·m-3v=25m/s所以，雷諾數(shù)：Re=1.205×(40×10-3)×25/(18.1×10-6)Re≈6.66×105故阻力的大小與平動速度v的平方成正比[2]。令其中，ρ為空氣密度，A為乒乓球的橫截面積，C為與乒乓球幾何形狀有關(guān)的阻力系數(shù)，取C=0.2[3]（參考霍爾納的著作）。因此，以上公式可以簡寫為：乒乓球旋轉(zhuǎn)造成的馬格努斯力FL乒乓球在空中運動過程，可以看作在分布均勻的球體在流體中的運動過程。一般說來，在流體中的物體運動要受到升力、阻力和側(cè)壓力等作用。具體來說，就是當(dāng)乒乓球旋轉(zhuǎn)時，在其周圍的附面層內(nèi)產(chǎn)生了環(huán)流，前方來流和環(huán)流共同作用的結(jié)果就是在來流和環(huán)流同向的一側(cè)流速加快，在反方向的另一側(cè)，流速減慢。根據(jù)伯努利原理，流速加快的一側(cè)壓力下降，流速減慢的一側(cè)壓力升高，兩側(cè)的壓力差對乒乓球產(chǎn)生側(cè)向作用稱為馬格努斯力，該力作用方向與乒乓球的瞬間轉(zhuǎn)軸垂直，且與乒乓球的運動方向垂直（如圖1）。因為乒乓球直徑、旋轉(zhuǎn)角速度、空氣密度及相對球而言的流速分別為，由儒可夫斯基環(huán)流理論[4][5]，可求出馬格努斯力為：因此3.2模型建立以乒乓球臺的底端邊為x軸，垂直臺面方向為y軸，底端邊中心點為原點O做平面，過O點作x-y平面的垂線為z軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖2。根據(jù)牛頓第二定律可以推出如下運動方程：其中，表示乒乓球的質(zhì)量；、、分別表示乒乓球的平移速度在x、y、z方向上的分量；為軌跡角，是乒乓球速度方向與xz平面成角；為方位角，是乒乓球速度在xz平面上投影與z軸正方向成角；為傾側(cè)角，是FL力與其在xz平面上的分量所成角度（圖3）；表示乒乓球所受空氣阻力；表示乒乓球所受馬格努斯力；表示乒乓球所受重力；、、表示乒乓球所在的空間位置。LOzxy圖2乒乓球臺坐標(biāo)系vFFL2FLFL1xyz圖3角度關(guān)系4乒乓球運動仿真的實現(xiàn) 本文應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)了對乒乓球飛行軌跡的仿真顯示。4.1乒乓球運動軌跡控制參數(shù)的確定為了實現(xiàn)乒乓球運動軌跡的仿真，根據(jù)前面所述乒乓球運動方程模型，需要首先確定決定乒乓球運動軌跡的一些參數(shù)。這些參數(shù)包括：乒乓球在球體脫離球拍或發(fā)球裝置時的空間位置S(x,y,z)、平移運動速度、旋轉(zhuǎn)運動速度以及運動初始時的軌跡角、方位角和傾側(cè)角。根據(jù)平移運動速度和、、三個角度就可以得到乒乓球載初始狀態(tài)下在三個坐標(biāo)軸方向上的分量。參數(shù)之間的關(guān)系如下：在運動過程中，相應(yīng)參數(shù)的更新也采用上面的公式獲取。由于乒乓球在接觸球臺之前在空中運行的時間較短，可以假定在這個過程中旋轉(zhuǎn)運動速度保持不變。此外，在仿真過程中可以設(shè)定仿真飛行時間的長短。4.2仿真的實現(xiàn)圖4火柴桿圖 圖5曲線圖根據(jù)對乒乓球運行軌跡進行時分析方法的不同，設(shè)計了兩種軌跡顯示方式：實時繪制與后臺處理集中繪制。應(yīng)用實時繪制方式，隨著時間的推移，逐一在相應(yīng)位置繪出乒乓球，這樣可以更好地模擬球在空中的飛行過程，更符合觀察者的直覺效果。集中繪制方式，即一次性的繪制出乒乓球的飛行軌跡曲線，便于得到軌跡的整體效果。 根據(jù)本文中推導(dǎo)出的運動方程模型，在程序中通過設(shè)定不同的參數(shù)，得到一系列的運行軌跡圖形,從理論上驗證了模型的正確性。圖6-圖8給出了一些仿真得到結(jié)果。圖7右前上方左旋轉(zhuǎn)球軌跡圖6右前上方無旋轉(zhuǎn)球軌跡圖7右前上方左旋轉(zhuǎn)球軌跡圖6右前上方無旋轉(zhuǎn)球軌跡圖8右前上方右旋轉(zhuǎn)球軌跡圖8右前上方右旋轉(zhuǎn)球軌跡5結(jié)論根據(jù)空氣動力學(xué)和流體力學(xué)理論建立了乒乓球的空中飛行運動方程，并通過MatLab6.5進行了數(shù)值仿真，從主觀上驗證了它的正確性。該研究進一步揭示了乒乓球飛行的規(guī)律，為深入研究乒乓球運動項目的制勝規(guī)律提供了一條新的思路。為乒乓球機器人發(fā)球動力學(xué)的研究提供了基礎(chǔ)。通過實地測量實驗與仿真試驗進行比較和修正數(shù)學(xué)模型是下一步工作。參考文獻[1]葛隆祺，葉衛(wèi)軍，足球旋轉(zhuǎn)的運動規(guī)律[J].物理通報.1992(2):7-8[2]朱照宣,周起釗,殷金生,理論力學(xué):