.1主要內(nèi)容集合的基本概念屬于、包含冪集、空集文氏圖等集合的運(yùn)算有窮集的計(jì)數(shù)集合恒等式集合運(yùn)算的算律、恒等式的證明方法第二部分集合論第六章集合代數(shù).26.1集合的基本概念1.集合定義集合沒(méi)有精確的數(shù)學(xué)定義理解：由離散個(gè)體構(gòu)成的整體稱為集合，稱這些個(gè)體為集合的元素常見(jiàn)的數(shù)集：N,Z,Q,R,C等分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)集合2.集合表示法

列元素法----列出集合的所有元素，所有元素之間用逗號(hào)隔開(kāi)，并把它們用花括號(hào)括起來(lái)

謂詞表示法----用謂詞來(lái)概括集合中元素的性質(zhì)實(shí)例：列元素法自然數(shù)集合N={0,1,2,3,…}

謂詞表示法S={x|x

R

x2

1=0}.3元素與集合1.集合的元素具有的性質(zhì)無(wú)序性：元素列出的順序無(wú)關(guān)相異性：集合的每個(gè)元素只計(jì)數(shù)一次確定性：對(duì)任何元素和集合都能確定這個(gè)元素是否為該集合的元素任意性：集合的元素也可以是集合2．元素與集合的關(guān)系隸屬關(guān)系：

或者

3．集合的樹(shù)型層次結(jié)構(gòu)例如：集合A={a,{b,c},d,{680ewqc}}規(guī)定：AA.4集合與集合集合與集合之間的關(guān)系：

,

?,=,

,

,,

定義6.1設(shè)A，B為集合，如果B中的每個(gè)元素都是A中的元素，則稱B是A的子集合，簡(jiǎn)稱子集。這時(shí)也稱B被A包含，或A包含B，記作B

A。如果B不被A包含，則記作B?A。符號(hào)化表示為：B

A

x(x

B

x

A)

B

?

A

x(x

B

x

A)

例如N

Z

Q

R

C，但Z?N。顯然對(duì)任何集合A都有A

A。

定義6.2設(shè)A，B為集合，如果A

B且B

A，則稱A與B相等，記作A＝B。如果A與B不相等，則記作A≠B。

符號(hào)化表示為：

A=B

A

B

B

A定義6.3

設(shè)A，B為集合，如果B

A且B≠A，則稱B是A的真子集，記作B

A。

如果B不是A的真子集，則記作B

A。

符號(hào)化表示為：

B

A

B

A

B

A

例如N

Z

Q

R

C，但N

N。注意：

和

是不同層次的問(wèn)題，如A={a,{a}}和{a}.5空集、全集和冪集定義6.4

空集

：不含有任何元素的集合符號(hào)化表示為：

={x|x≠x}實(shí)例：{x|x

R

x2+1=0}定理6.1

空集是任何集合的子集。證對(duì)于任意集合A，

A

x(x

x

A)

1(恒真命題)推論

是惟一的證明：假設(shè)存在空集

1和2，由定理6.1有：

1

2和2

1根據(jù)集合相等的定義，有1=2所以得出結(jié)論：是惟一的。.6空集、全集和冪集含有n個(gè)元素的集合簡(jiǎn)稱n元集，它的含有m（m≤n）個(gè)元素的子集叫做它的m元子集。任給一個(gè)n元集，怎樣求出它的全部子集呢？例6.1

A＝{1,2,3}，將A的子集分類：

解：0元子集，也就是空集，只有一個(gè)：

；

1元子集，即單元集：{1}，{2}，{3}；

2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；

3元子集：{1,2,3}。.7空集、全集和冪集定義6.5

冪集：設(shè)A為集合，把A的全部子集構(gòu)成的集合叫做A的冪集，記作P(A)(或PA，2A)。符號(hào)化表示為：P(A)={x|x

A}

實(shí)例：P(

)={

},P({

})={

,{

}}

計(jì)數(shù)：如果|A|=n，則|P(A)|=2n.定義6.6

全集E：包含了所有集合的集合全集具有相對(duì)性：與問(wèn)題有關(guān)，不存在絕對(duì)的全集.86.2

集合的運(yùn)算初級(jí)運(yùn)算集合的基本運(yùn)算有并，交，相對(duì)補(bǔ)和對(duì)稱差定義6.7設(shè)A，B為集合，A與B的并集A∪B，交集A∩B，B對(duì)A的相對(duì)補(bǔ)集A－B分別定義如下：

并

A

B={x|x

A

x

B}

交

A

B={x|x

A

x

B}

相對(duì)補(bǔ)

A

B={x|x

A

x

B}例如：A={a,b,c}，B={a}，C={b,d}A

B={a,b,c},A

B={a},A

B={b,c},B-A=

,B

C=

若兩個(gè)集合的交集為，則稱這兩個(gè)集合是不交的.96.2

集合的運(yùn)算定義6.8設(shè)A，B為集合，A與B的對(duì)稱差集A

B定義為：

對(duì)稱差

A

B=(A

B)

(B

A)另一種定義是：A

B=(A

B)

(A

B)例如：A={a,b,c}，B={b,d},A

B={a,c,d}定義6.9在給定全集E以后，A

E，A的絕對(duì)補(bǔ)集～A定義如下：絕對(duì)補(bǔ)

A=E

A={x|x∈E∧x

A}={x|x

A}例如：E＝{a，b，c，d}，A＝{a，b，c}，則～A＝gssce8m。

.10文氏圖集合運(yùn)算的表示ABABABABAEA

BA

BA–BA

B~A.11幾點(diǎn)說(shuō)明并和交運(yùn)算可以推廣到有窮個(gè)集合上，即A1

A2

…

An

={x|x

A1

x

A2

…

x

An}A1

A2

…

An

={x|x

A1

x

A2

…

x

An}A

B

A

B=

A

B=

A

B=A.12廣義運(yùn)算1.

集合的廣義并與廣義交

定義6.10設(shè)A為集合，A的元素的元素構(gòu)成的集合稱為A的廣義并，記為∪A。符號(hào)化表示為廣義并

A={x|

z(z

A

x

z)}定義6.11

設(shè)A為非空集合，A的所有元素的公共元素構(gòu)成的集合稱為A的廣義交，記為∩A。符號(hào)化表示為廣義交

A={x|

z(z

A

x

z)}例6.2設(shè)

A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}

B＝{{a}}

C＝{a,{c,d}}

則

∪A＝{a,b,c,d,e,f},∪B＝{a}，C＝a∪{c,d}∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝a∩{c,d}

.13廣義運(yùn)算1.

集合的廣義并與廣義交

定義6.10設(shè)A為集合，A的元素的元素構(gòu)成的集合稱為A的廣義并，記為∪A。符號(hào)化表示為廣義并

A={x|

z(z

A

x

z)}定義6.11

設(shè)A為非空集合，A的所有元素的公共元素構(gòu)成的集合稱為A的廣義交，記為∩A。符號(hào)化表示為廣義交

A={x|

z(z

A

x

z)}練習(xí):A={{1},{1,2},{1,2,3}},B={{a}},C={a}解:A={1,2,3},

A={1}

B={a}，

B={a}

C=a，

C=a.14關(guān)于廣義運(yùn)算的說(shuō)明2.廣義運(yùn)算的性質(zhì)

(1)

=

，

無(wú)意義

(2)單元集{x}的廣義并和廣義交都等于x

(3)廣義運(yùn)算減少集合的層次（括弧減少一層）

(4)廣義運(yùn)算的計(jì)算：一般情況下可以轉(zhuǎn)變成初級(jí)運(yùn)算

A={A1,A2,…,An}=A1

A2

…

AnA={A1,A2,…,An}=A1

A2

…

An

3.引入廣義運(yùn)算的意義可以表示無(wú)數(shù)個(gè)集合的并、交運(yùn)算，例如

{{x}|x

R}=R

這里的R代表實(shí)數(shù)集合..15運(yùn)算的優(yōu)先權(quán)規(guī)定一類運(yùn)算：廣義并，廣義交，冪集，絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算運(yùn)算由右向左順序進(jìn)行(右結(jié)合)二類運(yùn)算：并

，交

，相對(duì)補(bǔ)

，對(duì)稱差

優(yōu)先順序由括號(hào)確定混合運(yùn)算：一類運(yùn)算優(yōu)先于二類運(yùn)算。例

A={{a},{a,b}}，計(jì)算

A

(

A

A).解：

A

(

A

A)=

{a,b}

(

{a,b}

{a})=(a

b)

((a

b)

a)=(a

b)

(b

a)=b.16例6.5

設(shè)A＝{{a},{a,b}}

計(jì)算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。解:∪A＝{a,b}

∩A＝{a}

∪∪A＝a∪b

∩∩A＝a

∩∪A＝a∩b

∪∩A＝a

∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)

＝(a∩b)∪((a∪b)－a)

＝(a∩b)∪(b－a)

＝b

所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)＝b。

.17作 業(yè)書本97頁(yè)第8題的第（4）小題第9題的第（1）、（3）、（5）三個(gè)小題書本98頁(yè)第18題的第（1）、（3）兩個(gè)小題.18有窮集合元素的計(jì)數(shù)1.文氏圖法2.包含排斥原理定理6.2

設(shè)集合S上定義了n條性質(zhì)，其中具有第i條性質(zhì)的元素構(gòu)成子集Ai,那么集合中不具有任何性質(zhì)的元素?cái)?shù)為

推論

S中至少具有一條性質(zhì)的元素?cái)?shù)為.19實(shí)例例6.5

求1到1000之間（包含1和1000在內(nèi)）既不能被5和6整除，也不能被8整除的數(shù)有多少個(gè)？解方法一：文氏圖定義以下集合：

S={x|x

Z

1

x

1000}A={x|x

S

x可被5整除}B={x|x

S

x可被6整除}C={x|x

S

x可被8整除}

畫出文氏圖，然后填入相應(yīng)的數(shù)字，解得

N=1000－(200+100+33+67)=600.20實(shí)例方法二

|S|=1000|A|=

1000/5

=200,|B|=

1000/6

=166,|C|=

1000/8

=125|A

B|=

1000/lcm(5,6)

=

1000/33

=33|A

C|=

1000/lcm(5,8)

=

1000/40

=25|B

C|=

1000/lcm(6,8)

=

1000/24

=41|A

B

C|=

1000/lcm(5,6,8)

=

1000/120

=8

=1000

(200+166+125)+(33+25+41)

8=600.216.3

集合恒等式下面的恒等式給出了集合運(yùn)算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。

冪等律A∪A＝AA∩A＝A

結(jié)合律(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)

交換律A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A

分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)

同一律A∪

＝A

A∩E＝A

零律A∪E＝EA∩

＝

排中律A∪～A＝E

矛盾律A∩～A＝

吸收律A∪(A∩B)＝A

A∩(A∪B)＝A

德摩根律A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)

A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)

～(B∪C)=～B∩～C

～(B∩C)=～B∪～C

～

＝E

～E＝

雙重否定律～(～A)＝A.22除了以上算律以外，還有一些關(guān)于集合運(yùn)算性質(zhì)的重要結(jié)果。例如：

A∩B

A，A∩B

B(6.24)

A

A∪B，B

A∪B(6.25)

A－B

A(6.26)

A－B＝A∩～B(6.27)A∪B＝B

A

B

A∩B＝A

A－B＝

(6.28)A

B＝B

A(6.29)(A

B)

C＝A

(B

C)(6.30)

A

＝A(6.31)

A

A＝

(6.32)

A

B＝A

C

B＝C(6.33).23書本88頁(yè)例6.5

設(shè)A＝{{a},{a,b}}

計(jì)算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。解:∪A＝{a,b}

∩A＝{a}

∪∪A＝a∪b

∩∩A＝a

∩∪A＝a∩b

∪∩A＝a

∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)

＝(a∩b)∪((a∪b)－a)

＝(a∩b)∪(b－a)

＝b

所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)＝b。

.246.4

集合恒等式（P92）集合算律1．只涉及一個(gè)運(yùn)算的算律：交換律、結(jié)合律、冪等律

交換A

B=B

AA

B=B

AA

B=B

A結(jié)合(A

B)C=A

(B

C)(A

B)C=A

(B

C)(A

B)C=A

(B

C)冪等A

A=AA

A=A.25集合算律

2．涉及兩個(gè)不同運(yùn)算的算律：分配律、吸收律

與

與

分配A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)吸收A

(A

B)=AA

(A

B)=A.26集合算律3．涉及補(bǔ)運(yùn)算的算律：德摩根律，雙重否定律

德摩根律A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)

(B

C)=B

C

(B

C)=B

C雙重否定律

A=A.27集合算律4．涉及全集和空集的算律：

補(bǔ)元律、零律、同一律、否定律

E補(bǔ)元律A

A=A

A=E零律A

=

A

E=E同一律A

=AA

E=A否定律

=E

E=.28集合證明題證明方法：命題演算法、等式置換法命題演算證明法的書寫規(guī)范(以下的X和Y代表集合公式)(1)證X

Y

任取x，x

X

…

x

Y

(2)證X=Y

方法一分別證明X

Y和Y

X

都為真。

方法二任取x，x

X

…

x

Y注意：在使用方法二的格式時(shí)，必須保證每步推理都是充分必要的（等值）.29集合等式的證明方法一：命題演算法例1

證明A

(A

B)=A

（吸收律）證任取x,x

A

(A

B)

x

A

x

A

B

x

A

(x

A

x

B)

x

A

因此得A

(A

B)=A.例2

證明(6.27)A

B=A

B證任取x,x

A

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

A

B

因此得A

B=A

B.30等式置換法方法二：等式置換法例3

假設(shè)交換律、分配律、同一律、零律已經(jīng)成立，證明吸收律A

(A

B)=A.證

A

(A

B)=(A

E)

(A

B)（同一律）

=A

(E

B)（分配律）

=A

(B

E)（交換律）

=A

E（零律）

=A（同一律）.31包含等價(jià)條件的證明例4

證明(6.28)A

B

A

B=B

A

B=A

A

B=

①②③④證明思路：確定問(wèn)題中含有的命題：本題含有命題①,②,③,④確定命題間的關(guān)系（哪些命題是已知條件、哪些命題是要證明的結(jié)論）：本題中每個(gè)命題都可以作為已知條件，每個(gè)命題都是要證明的結(jié)論確定證明順序：①

②，②

③，③

④，④

①按照順序依次完成每個(gè)證明（證明集合相等或者包含）.32證明證明A

B

A

B=B

A

B=A

A

B=

①②③④證①

②顯然B

A

B，下面證明A

B

B.

任取x，

x

A

B

x

A

x

B

x

B

x

B

x

B

因此有A

B

B.綜合上述②得證.②

③A

B=A(A

B)=A(由②知A

B=B，將A

B代入B，并結(jié)合吸收律得證).33證明A

B

A

B=B

A

B=A

A

B=

①②③④③

④A

B=A

~B=(A

B)

~B=A

(B

~B)=A=④

①假設(shè)A

B不成立，那么

x(x

A

x

B)

x

A

B

A

B

與條件④矛盾.因此，結(jié)論A

B成立。證明.34式（6.28）在化簡(jiǎn)集合公式中的應(yīng)用例6.14化簡(jiǎn)((A∪B∪C)∩

(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)解：由于A∪B

A∪B∪C

，A

A∪(B－C)因此有：((A∪B∪C)∩

(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)=(A∪B)－A（由式子（6.28））=(A∪B)∩

~A（由式子（6.27））=(A∩~A)∪(B∩~A)（分配律）=

∪(B∩~A)（矛盾律）=(B∩~A)∪

（交換律）=B∩~A（同一律）=B－

A（由式子（6.27））.35對(duì)稱差運(yùn)算算律式（6.33）的證明例6.15已知A

B=A

C，證明B=C證已知A

B=A

C，所以有A

(A

B)=A

(A

C)(A

A)

B=(A

A)

C（由式子（6.30））

B=

C（由式子（6.32））B

=C

（由式子（6.29））B=C（由式子（6.31））.36練習(xí)題練習(xí)：證明下列集合恒等式（1）（A

B）

C=（A

C）

B證明：左邊=（A

B）

C=（

A

~B）

~C（由式子（6.27））=（

A

~C）

~B（交換律和結(jié)合律）=（A

C）

B（由式子（6.27））=右邊（2）~（（~A

~B）

~A）=A證明：左邊=~（（~A

~B）

~A）

=~（~（A

B）

~A）（德摩根律）

=（A

B）

A（德摩根律）

=A（吸收律）=右邊.37第六章練習(xí)作業(yè)書本第100頁(yè)第32題的第（1）小題第33題的第（1）小題第50題.38第六章總結(jié)主要內(nèi)容集合的兩種表示法集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系特殊集合：空集、全集、冪集文氏圖及有窮集合的計(jì)數(shù)集合的

,

,

,

,

等運(yùn)算以及廣義

,

運(yùn)算集合運(yùn)算的算律及其應(yīng)用.39第六章習(xí)題課主要內(nèi)容集合的兩種表示法集合與元素之間的隸屬關(guān)系、集合之間的包含關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系特殊集合：空集、全集、冪集文氏圖及有窮集合的計(jì)數(shù)集合的

,

,

,

,

等運(yùn)算以及廣義

,

運(yùn)算集合運(yùn)算的算律及其應(yīng)用.40基本要求熟練掌握集合的兩種表示法能夠判別元素是否屬于給定的集合能夠判別兩個(gè)集合之間是否存在包含、相等、真包含等關(guān)系熟練掌握集合的基本運(yùn)算（普通運(yùn)算和廣義運(yùn)算）掌握證明集合等式或者包含關(guān)系的基本方法.41練習(xí)1

1．判斷下列命題是否為真

(1)

(2)

(3)

{

}(4)

{

}(5){a,b}

{a,b,c,{a,b,c}}(6){a,b}

{a,b,c,{a,b}}(7){a,b}

{a,b,{{a,b}}}(8){a,b}

{a,b,{{a,b}}}解(1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)為真，其余為假..42方法分析(1)判斷元素a與集合A的隸屬關(guān)系是否成立基本方法：把a(bǔ)作為整體檢查它在A中是否出現(xiàn)，注意這里的a可能是集合表達(dá)式.(2)判斷A

B的四種方法若A,B是用枚舉方式定義的，依次檢查A的每個(gè)元素是否在B中出現(xiàn).若A,B是謂詞法定義的，且A,B中元素性質(zhì)分別為P和Q,那么“若P則Q”意味A

B，“P當(dāng)且僅當(dāng)Q”意味Ａ=Ｂ．通過(guò)集合運(yùn)算判斷A

B，即A

B=B,A

B=A,A

B=

三個(gè)等式中有一個(gè)為真.通過(guò)文氏圖判斷集合的包含（注意這里是判斷，而不是證明.43練習(xí)22．設(shè)

S1={1,2,…,8,9}，S2={2,4,6,8}

S3={1,3,5,7,9}S4={3,4,5}

S5={3,5}

確定在以下條件下X是否與S1,…,S5中某個(gè)集合相等？如果是，又與哪個(gè)集合相等？（1）若X

S5=

（2）若X

S4但X

S2=

（3）若X

S1且X

?S3

（4）若X

S3=

（5）若X

S3且X?S1.44解答解(1)和S5不交的子集不含有3和5，因此X=S2.(2)S4的子集只能是S4和S5.由于與S2不交，不能含有偶數(shù)，因此X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有偶數(shù)，因此X=S1,S2或S4.(4)X

S3=

意味著X是S3的子集，因此X=S3或S5.(5)由于S3是S1的子集，因此這樣的X不存在..45練習(xí)33.判斷以下命題的真假，并說(shuō)明理由.

（1）A

B=A

B=

（2）A

(B

C)=(A

B)

(A

C)

（3）A

A=A

（4）如果A

B=B，則A=E.

（5）A={x}

x，則x

A且x

A..46解題思路先將等式化簡(jiǎn)或恒等變形.查找集合運(yùn)算的相關(guān)的算律，如果與算律相符，結(jié)果為真.注意以下兩個(gè)重要的充要條件

A

B=A

A

B=

A

B=

A

B

A

B=B

A

B=A

如果與條件相符，則命題為真.如果不符合算律，也不符合上述條件，可以用文氏圖表示集合，看看命題是否成立.如果成立，再給出證明.試著舉出反例，證明命題為假..47解答解(1)B=

是A

B=A的充分條件，但不是必要條件.當(dāng)B不空但是與A不交時(shí)也有A

B=A.(2)這是DM律，命題為真.(3)不符合算律，反例如下：

A={1}，A

A=

，但是A

.(4)命題不為真.A

B=B的充分必要條件是B

A，不是A=E.(5)命題為真，因?yàn)閤既是A的元素，也是A的子集.48練習(xí)44．證明A

B=A

C

A

B=A

C

B=C解題思路分析命題：含有3個(gè)命題：

A

B=A

C,A

B=A

C,

B=C①②③證明要求前提：命題①和②結(jié)論：命題③證明方法：恒等式代入反證法利用已知等式通過(guò)運(yùn)算得到新的等式.49