第2章直線和圓的方程2.5.2圓與圓的位置關系學習目標1.理解圓與圓的位置關系的種類.2.掌握圓與圓的位置關系的代數(shù)判斷方法與幾何判斷方法.4.體會根據(jù)圓的對稱性靈活處理問題的方法和它的優(yōu)越性.3.能夠利用幾何法和代數(shù)法判斷兩圓的位置關系及兩圓相交與相切的有關問題；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含|O1O2|>r1+r2|O1O2|=r1+r2

|O1O2|=︱r1-r2︱

0≤|O1O2|<︱r1-r2︱

︱r1-r2︱<|O1O2|<r1+r2

例1.已知圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系.思路一：代數(shù)法：聯(lián)立方程組，通過△值的符號判斷兩圓的位置關系。判定列式消元對于兩圓方程聯(lián)立得到的一元二次方程如果△=0，則兩圓相切（無法判定兩圓是內(nèi)切還是外切)，如果△<0，兩圓相離或內(nèi)含（無法判定兩圓是內(nèi)含還是外離).進一步的判斷一般是利用兩圓的半徑與圓心距之間的關系；利用圓的方程判斷圓與圓位置關系：例1.已知圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系.思路

二：幾何法:依據(jù)圓心距d與兩半徑的和r1+r2或兩半徑的差的絕對值|r1-r2|的大小關系，判斷兩圓的位置關系.解：圓C1：（x+1）2+（y+4）2=25,圓C2:(x-2)2+(y-2)2=102.幾何法：[跟蹤訓練]1.已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個圓的公切線的條數(shù)為(

)A.1或3B.4C.0 D.2D1.兩圓位置關系與公切線條數(shù)的對應關系：位置關系公切線條數(shù)公共點個數(shù)相離40外切31相交22內(nèi)切11內(nèi)含00兩個圓相交，則這兩個圓的公切線有2條.2.已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．（1）兩圓的公共弦問題例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判斷兩圓的位置關系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度.例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度.(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.求兩圓公共弦的方程：兩圓C1:x2＋y2+D1x＋E1y+F1＝0和C2:x2＋y2＋D2x＋E2y+F2＝0把兩圓相減得到一個二元一次方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0若兩圓相交：此即兩圓公共弦所在的直線方程

．若兩圓相切：此即過兩圓切點的公切線所在的直線方程

．例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(3)求公共弦的長度.求兩圓公共弦長的方法一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．2．圓：x2＋y2－4x＋6y＝0和圓：x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則線段AB的垂直平分線的方程是________．3x－y－9＝01（2）兩圓相切問題例3求半徑為4，與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．解：設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圓與直線y＝0相切、半徑為4，則圓心C的坐標為C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的圓心A的坐標為(2,1)，半徑為3.由兩圓相切，則|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時)．

4.求過點(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程．(x－3)2＋(y－3)2＝18兩圓相切時常用的性質有：(1)兩圓相切：(2)兩圓相切時，兩圓圓心的連線過切點(兩圓若相交時，兩圓圓心的連線垂直平分公共弦)．在解題過程中應用這些性質，有時能大大簡化運算．（3）相交圓系問題例4.求經(jīng)過點M（2，-2）以及圓C1:x2+y2-6x=0與圓C2:x2+y2=4交點的圓的方程.解法一：例4.求經(jīng)過點M（2，-2）以及圓C1:x2+y2-6x=0與圓C2:x2+y2=4交點的圓的方程.（3）相交圓系問題解法二：（3）相交圓系問題1.若兩圓相交，則過交點的圓系方程為

注意：①

λ為參數(shù),圓系中不包括圓C2;

②當λ＝－1時,方程兩圓的公共弦所在直線方程,即2.若兩圓相切(內(nèi)切或外切),則公切線所在直線方程為(也就是兩圓方程相減所得)（3）相交圓系問題跟蹤訓練：1.已知兩個圓C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直線l:x+2y=0,求經(jīng)過C1和C2的交點且和l相切的圓的方程.（4）阿波羅尼斯圓問題（4）阿波羅尼斯圓問題注：阿波羅尼斯圓問題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為k(k>0且k

≠1)的動點軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓。判斷圓與圓位置關系：1.代數(shù)法：2.幾何法：【當堂達標】1.已知兩圓x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么這兩個圓的位置關系是(

)A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切2.若圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則(

)A.E＝－4，F(xiàn)＝8 B.E＝4，F(xiàn)＝－8C.E＝－4，F(xiàn)＝－8 D.E＝4，F(xiàn)＝83．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的公切線條數(shù)是________．4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．CC3x＋3y－5＝06．已知點P在圓O：x2＋y2＝1上運動，點Q在圓C：(x－3)2＋y2＝1上運動，則|PQ|的最小值為________．7.已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，當m為何值時，分別滿足下列情況：(1)圓C1與圓C2外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含.

11解易得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.所以m2＋3m＋2<0，解得－2<m<－1.所以m2＋3m－