PAGE第十章結(jié)構(gòu)動力計算基礎（6學時）主要內(nèi)容10-1綜述10-2單自由度體系的自由振動10-3單自由度體系的強迫振動10-4阻尼的影響10-5兩個自由度體系的自由振動知識點10-1綜述動力計算：動荷載的特點、動力計算的目的、方法；動荷載類型：周期荷載、沖擊荷載、隨機荷載；動力自由度：集中質(zhì)量法、廣義坐標法、有限元法。10-2單自由度體系的自由振動自由振動微分方程、自由振動微分方程的解、結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率。10-3單自由度體系的強迫振動強迫振動微分方程；簡諧荷載下強迫振動微分方程的解；簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)；一般荷載下的強迫振動：突加荷載、短時突加荷載、線性漸增荷載。10-4阻尼的影響阻尼的概念與分類、有阻尼的自由振動：ξ<1、ξ=1、ξ>1；有阻尼的強迫振動：突加荷載、簡諧荷載。10-5兩個自由度體系的自由振動剛度法、撓度法：振動方程、振動方程的解、振幅方程、頻率方程、振型。重點難點10-1綜述重點：動力自由度的判斷。10-2單自由度體系的自由振動重點：掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理；熟練掌握這些動力特性的計算。難點：理解單自由度體系自由振動的動力特性。10-3單自由度體系的強迫振動重點：掌握單自由度體系在簡諧荷載作用下強迫振動的計算。難點：理解自由振動和強迫振動的本質(zhì)區(qū)別。10-4阻尼的影響重點：掌握阻尼對動力特性（自振頻率、振幅等）的影響。難點：公式的推導。10-5兩個自由度體系的自由振動重點：掌握剛度法和柔度法建立兩個自由度體系自由振動微分方程的方法。難點：理解頻率方程和主振型等概念。第十章結(jié)構(gòu)動力計算基礎PAGEPAGE4010.1綜述知識點動力計算：動荷載的特點、動力計算的目的、方法；動荷載類型：周期荷載、沖擊荷載、隨機荷載；動力自由度：集中質(zhì)量法、廣義坐標法、有限元法。重點動力自由度的判斷。知識點：動力計算（1）定義：動荷載是荷載（大小、方向、作用位置）隨時間變化的量。（2）動荷載與靜荷載的區(qū)別：考慮其對結(jié)構(gòu)的動力響應（慣性力），與荷載變化的快慢無關。（3）計算方法的區(qū)別：根據(jù)達朗伯原理，平衡形式相同，但力系中包括了慣性力，并且能求出的結(jié)果是時間的函數(shù)。從計算方法上看，靜力學所解的是線性方程組，而動力學所解的是偏微分或常微分方程組。（4）結(jié)構(gòu)動力計算的目的：對動力荷載作用下的位移，內(nèi)力等進行分析。知識點：動荷載的分類（1）周期荷載：簡諧荷載—機械振動（圖10.1a）；非簡諧荷載（圖10.1b）。圖10.1a圖10.1b（2）沖擊荷載：在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。如爆炸荷載等（3）隨機荷載：地震（唐山地震，圖10.2）、風圖10.2知識點：動力計算中體系的自由度（1）定義：在動力計算中，一個體系的自由度是指為了確定運動過程中任一時刻全部質(zhì)量的位置所需確定的獨立集合參數(shù)的數(shù)目。（2）意義：在動力問題中需要考慮慣性力，而慣性力與質(zhì)量有關，因此確定任一時刻質(zhì)量的位置就是動力學研究的關鍵之一。（3）方法：第一種：集中質(zhì)量法：把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個質(zhì)點，這樣就可以把一個原來無限自由度的問題簡化成為有限自由度的問題。例：梁，剛架，圖10.3圖10.3注意：自由度的個數(shù)與集中質(zhì)量的個數(shù)并不一定彼此相等。第二種：廣義坐標法：將無限自由度體系的位移曲線用一組形狀函數(shù)的疊加表示，則這組形狀函數(shù)可以看成是確定質(zhì)量位置的坐標系，而其幅值則稱為廣義坐標。例：簡支梁：第三種：有限單元法，圖10.4圖10.4，8自由度學習結(jié)構(gòu)動力學的重要意義（1）結(jié)構(gòu)動力設計計算的基礎知識動力荷載作用下結(jié)構(gòu)設計，城市建設環(huán)境評價（如軌道交通環(huán)境評價）等等。（2）工程防災(抗風抗震)的重要先修內(nèi)容10.2單自由度體系的自由振動知識點自由振動微分方程、自由振動微分方程的解、結(jié)構(gòu)的自振周期與頻率。重點難點重點：掌握剛度法和柔度法建立振動微分方程的基本原理；熟練掌握這些動力特性的計算。難點：理解單自由度體系自由振動的動力特性。知識點：自由振動微分方程的建立（1）模型圖10.5（2）單元分析:彈性力—,與位移的方向相反；慣性力—,與加速度的方向相反。（3）平衡方程：+=這是從力系平衡角度建立的自由振動微分方程，這種方法稱為剛度法。根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件，慣性力=,用表示柔度系數(shù)，即在單位力作用下所產(chǎn)生的位移，則質(zhì)量的位移為：這種根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立自由振動微分方程的方法稱為柔度法。知識點：自由振動微分方程的解將原方程寫為：+=其中：=其解為：其中由初始條件確定。如果設時，質(zhì)點有初始位移和初始速度，即：則可求得：=,即：上式為由引起的位移和由初始速度引起的位移的疊加。如果將其解寫為：的形式，其中稱為振幅，稱為初始相位角，則可導出：=,=或=,=知識點：結(jié)構(gòu)的自振周期由其位移函數(shù)我們知道這是一個周期函數(shù)，其周期為：=由此周期，頻率，角頻率的相關公式可表示成：====其中：=,(為W作用時的靜位移)結(jié)構(gòu)自振周期的一些重要性質(zhì)：（1）自振周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關，與外界的影響無關，也就是說自振周期反映了結(jié)構(gòu)自身的特性；（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比；因此要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度入手；（3）自振周期是結(jié)構(gòu)動力性能的一個重要數(shù)量標志。實例：例1：求圖10.6a體系的頻率及自振周期。圖10.6a圖10.6b解：單位荷載下的彎矩圖（圖10.6b），柔度系數(shù)：例2：求圖10.7懸臂桿的自振頻率。（桿件截面積A，慣性矩I，彈性模量E，自身質(zhì)量不計，桿頂重物重量為W）圖10.7a圖10.7b解：單位荷載下的彎矩圖（圖10.7b），柔度系數(shù)：例3:求圖10.8a結(jié)構(gòu)自振頻率。（EI為常數(shù)，桿件自身質(zhì)量不計）圖10.8a圖10.8b解：單位荷載下的彎矩圖（圖10.8b），柔度系數(shù)：例4：計算圖10.9a剛架的頻率和周期。圖10.9a圖10.9b解：圖10.9b，10.3單自由度體系的強迫振動知識點強迫振動微分方程；簡諧荷載下強迫振動微分方程的解；簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)；一般荷載下的強迫振動：突加荷載、短時突加荷載、線性漸增荷載。重點難點重點：掌握單自由度體系在簡諧荷載作用下強迫振動的計算。難點：理解自由振動和強迫振動的本質(zhì)區(qū)別。知識點：強迫振動微分方程的建立（1）定義：結(jié)構(gòu)在動荷載作用下的振動稱為強迫振動或受迫振動。（2）模型：圖10.10（3）平衡方程設=，則上式變?yōu)椋?=知識點：簡諧荷載下強迫振動微分方程的解設其中：為簡諧荷載的圓頻率，為荷載的幅值，運動方程為：+=上式為非齊次常微分方程。其特征值，故可按兩種情況來討論。（1）時，不是方程的根，故其特解為：=可求得：，=故其通解為：（2）當時，則是特征方程的根，故設=可求得：==此時的通解為：從上式可以看出當時，位移隨時間的增大而增大，即產(chǎn)生共振現(xiàn)象，這種情況是在結(jié)構(gòu)設計過程中應避免的。知識點：簡諧荷載下強迫振動的動力系數(shù)時，在通解中設其初始條件為，，則可得：=，=故=（）上式表明，強迫振動時的振動由兩部分疊加而成，第一部分按荷載頻率振動，第二部分按自振頻率振動。由于阻尼的存在，按自振頻率振動的部分會逐漸消失，而只出現(xiàn)按荷載頻率振動的部分。這時我們可把振動分為兩個階段，即“過渡階段”和“平穩(wěn)階段”。對平穩(wěn)階段，任一時刻的位移為：=其最大位移為：=最大位移與最大靜位移的比值稱為動力系數(shù)，用表示，即：(圖10.11)==圖10.11討論以下幾種情況：①時，②時，③時，④時，的絕對值隨的增大而減小。實例：例：一無重簡支梁，在跨中有重W＝20kN的電機，電機偏心所產(chǎn)生的干擾力P(t)＝10sinθt，電機每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)n=500r/min，梁EI＝1.008×104kN.m2。求梁的最大位移和彎矩。圖10.12解：（1）自振頻率（2）荷載頻率（3）動力系數(shù)（4）最大位移與最大彎矩知識點：一般荷載下的強迫振動（1）荷載模型PP(t)t0dpP(t)tS=pd0d圖10.13（2）公式推導設體系在時處于靜止狀態(tài)，則沖量,初速度=,則此時的位移為：=設在=時作用瞬時沖量,則>時的位移為：=（上式中設初位移為零）因此，有=對上式進行疊加得：=上式稱為杜哈梅積分。原理：任意荷載作用下的任一時刻的位移等于從荷載作用開始至該時刻的動力響應的疊加（或積分）。當初始位移和初始速度不為時，則：=++（3）應用突加荷載PP(t)t=圖10.14==,表示在靜荷載作用下所產(chǎn)生的位移。此時，動力系數(shù)。短時荷載PP0P(t)utP(t)=圖10.15當時，=當時，自由振動，計算方法可分為兩種。第一種以時刻達到位移和速度作為起始位移和起始速度，即可得。另外，也可直接用杜哈梅積分計算。===下面討論體系的最大響應，分以下兩種情況①（加載持續(xù)時間大于半個自振動周期），此時，動力系數(shù)；②，此時最大反應發(fā)生在自由振動階段。綜上所述，有即：設按的不同情況，繪出圖形（圖10.16）。圖10.16線形漸增荷載PP(t)trtP0圖10.17計算結(jié)果如下：圖10.18動力系數(shù)介乎1與2之間。如果升載時間很短，例如tr<T/4，則動力系數(shù)β接近于2.0，即相當于突加荷載的情況。如升載時間很長，如tr>4T，則β接近于1.0，相當于靜荷載情況。10.4阻尼的影響知識點阻尼的概念與分類有阻尼的自由振動：ξ<1、ξ=1、ξ>1；有阻尼的強迫振動：突加荷載、簡諧荷載。重點難點重點：掌握阻尼對動力特性（自振頻率、振幅等）的影響。難點：公式的推導。知識點：阻尼的概念與分類振動中阻尼力有多種來源，例如振動過程中結(jié)構(gòu)與支承之間的摩擦，材料之間的內(nèi)摩擦，周圍介質(zhì)的阻力等。阻尼力對質(zhì)點運動起阻礙作用，從方向上看，它總是與質(zhì)點的速度方向相反，從數(shù)值上看它與質(zhì)點速度有如下的關系：阻尼力與質(zhì)點速度成正比，稱為粘滯阻尼。阻尼力與質(zhì)點速度的平方成正比（例如，固體在流體中運動受到的阻尼）。阻尼力的大小與質(zhì)點速度無關（摩擦力）。（1）力學模型圖10.19（2）控制方程知識點：有阻尼的自由振動令則有：特征方程為：其解為：根據(jù)三種情況可得：（1）特征方程有一對共軛復根，令則有：其解為：設初始條件為則有：上式也可寫為：其中位移曲線為：yytT圖10.20討論：振幅的衰減，自振頻率的影響。對自振頻率的影響對振幅的影響所以：如果，則這里稱為振幅的對數(shù)遞減率。同樣，用表示兩個相隔幾個周期的振幅，可得：實際工程中，很小，通常用來計算。（2）時其解為：由初始條件有：位移曲線如下：y(t)y(t)t圖10.21結(jié)論：時，自由振動具有衰減性質(zhì)。時，不產(chǎn)生振動，這時的阻尼稱為臨界阻尼，用表示。表示阻尼常數(shù)C與臨界阻尼Cr的比值，叫做阻尼比。（3）時，不出現(xiàn)振動，故不再討論。知識點：有阻尼的強迫振動有阻尼體系（設，此時一般稱為小阻尼體系）承受一般動力荷載時，它的反應也可用杜哈梅積分表示，與無阻尼時的推導過程相似。由前面已經(jīng)學過的知識，我們知道初始速度引起的振動為：沖量，故時，故=上式即為處于靜止狀態(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下所引起的有阻尼的強迫振動。如果還有初始位移和初始速度，則總位移為：=下面討論突加荷載和簡諧荷載兩種情況。突加荷載=y(t)y(t)圖10.22簡諧荷載由于，故可設特解為：可求得：其通解為：由于阻尼的存在，經(jīng)過一段時間后，振動按荷載頻率振動，這時稱為平穩(wěn)振動。此時位移可表示為：其中動力系數(shù)圖10.23①與的關系②時，③在阻尼體系中，共振時的動力系數(shù)不等于最大的動力系數(shù)。④相位角的關系：，與同步，（低頻振動），（臨界狀態(tài)）（高頻振動）10.5兩個自由度體系的自由振動知識點剛度法、撓度法：振動方程、振動方程的解、振幅方程、頻率方程、振型。重點難點重點：掌握剛度法和柔度法建立兩個自由度體系自由振動微分方程的方法。難點：理解頻率方程和主振型等概念。多自由度體系的求解方法有兩種，剛度法與柔度法。剛度法通過建立力的平衡方程求解，柔度法通過建立位移協(xié)調(diào)方程求解。知識點：剛度法先討論兩個自由度的體系，然后推廣到n個自由度的體系。(1)兩個自由度的體系模型：圖10.24平衡方程：彈性力：是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，表示j點產(chǎn)生單位位移時在i點引起的反力。由此可得：求解：設其解為其特點：（1）具有相同的頻率與相位角，Y1,Y2為振幅；（2）=常數(shù)這種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或振型。代入可得：上式有非零解的條件為系數(shù)行列式為零，即上式稱為頻率方程或特征方程。上式展開得整理后得其解為由此可得兩個自由度體系的兩個自振頻率，用w1表示其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率。另一個圓頻率w2為第二圓頻率。由此可得（17—39任一式）其中Y11,Y21分別表示第一振型中質(zhì)點1和2的振幅。同樣可得其中Y12，Y22分別表示第二振型中質(zhì)點1和2的振幅。振型曲線如下：圖10.25在一般情況下，兩個自由度體系的自由振動可看作是兩種頻率及其主振型的疊加，即根據(jù)初始條件可求得A1,與結(jié)論：（1）對多自由度問題，確定自振頻率與主振型；（2）多自由度體系的自振頻率個數(shù)與自由度的個數(shù)相等。（3）各個自振頻率有自己相應的主振型。主振型就是多自由度體系能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。（4）自振頻率和主振型是體系本身的固有性質(zhì)，與外荷載無關。實例：例：圖10.26a兩層剛架，其橫梁為無限剛性。設質(zhì)量集中在樓層上，第一、二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間側(cè)移剛度（層間產(chǎn)生單位相對側(cè)移時所需施加的力）分別為k1、k2。求剛架水平振動時的自振頻率和主振型。圖10.26a圖10.26b解：（1）求剛度系數(shù)，見圖10.26b（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：圖10.27討論：當n=90，鞭梢效應第一主振型：第二主振型：（2）n個自由度體系模型圖10.28平衡方程：剛度方程：的意義同前運動方程：用矩陣可表示為：或簡寫為：其中分別為位移向量，加速度向量，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。求解：設其解為這里是位移幅值向量，即代入運動方程得：同理，系數(shù)行列式為零，即由此可求得體系的n個自振頻率。令表示與頻率相應的主振型向量，代入特征方程得：令=1，2，……，n，可得出n個向量方程，由此可求出n個主振型。知識點：柔度法基本方法：根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件來建立平衡方程模型：以兩個自由度為例，圖10.29基本思路：在自由振動過程中的任一時刻t，質(zhì)量m1，m2的位移y1(t)，y2(t)應當?shù)扔隗w系在當時慣性力作用下所產(chǎn)生的靜力位移。控制方程：式中是體系的柔度系數(shù)，表示在j質(zhì)點處作用單位力時在i質(zhì)點處所產(chǎn)生的位移。設解為：代入上式得：上式表明，主振型的位移幅值（Y1,Y2）就是體系在此主振型慣性力幅值作用下所引起的靜力位移。將上式整理得：如果Y1,Y2不全為零，則有：將上式展開即可求得求體系的主振型。由平衡方程實例：例：求圖10.29a等截面簡支梁的自振頻率和主振型，EI為常數(shù)。圖10.29a圖10.29b解：（1）求撓度系數(shù)，圖10.29b（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：圖10.29c例2：求圖10.30a結(jié)構(gòu)的自振頻率和主振型。質(zhì)量m，分布質(zhì)量不計，EI=常數(shù)，l=4m。圖10.30a圖10.30b解：（1）求撓度系數(shù)，圖10.30b（2）求自振頻率（3）求主振型第一主振型：第二主振型：圖10.30c本題可利用對稱性，第一、二頻率和主振型分別按圖10.30d、圖10.30e計算。圖10.30d圖10.30en個自由度體系柔度法的一般方程可采用兩種方法來推導。一種是如上述所示用柔度法直接推導，另一種是利用剛度法的方程間接導出。由剛度方程，有；然后用[K]-1前乘上式，并利用剛度矩陣與柔度矩陣之間的如下關系：得：令，得：由此得頻率方程：其展開形式為：由此可得到關于λ的n次代數(shù)方程，可解出n個根。最后求與各個頻率相應的主振型。為此，將代入前式，得：令i=1，2，……，n，可得n個向量方程，由此可求出n個主振型。

小結(jié)動荷載與靜荷載的區(qū)別：是否考慮慣性力。動力自由度是指為了確定運動過程中任一時刻全部質(zhì)量的位置所需確定的獨立集合參數(shù)的數(shù)目。單自由度體系的自由振動：（1）微分方程：剛度法+=；柔度法（2）方程的解：其中：自振頻率：=單自由度體系的強迫振動：（1）微分方程：（2）方程的解：簡諧荷載：，一般荷載：=++，突加荷載低阻尼的自由振動：共振：；最大值：兩個自由度體系的自由振動：（1）剛度法振動方程：方程的解：頻率方程