圓錐曲線背景下動切線的處理高考定位解析幾何是高考試題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)，解析幾何探索創(chuàng)新情景試題主要建立在以點(diǎn)動或線動為動因而設(shè)計(jì)出的。考察學(xué)生的探索能力和運(yùn)算能力及思維能力。專題解析（1）圓的動切線（2）圓錐曲線的動切線（3）公切線方法總結(jié)方法一：設(shè)切線y＝kx＋m，找k與m的關(guān)系（圓就用d=r，圓錐曲線就用Δ=0），條件與目標(biāo)用k與m表示，尋求解決辦法方法二：設(shè)曲線上的切點(diǎn)(x0，y0)，表示切線方程（圓的方程為x0x＋y0y＝R2橢圓的切線方程eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1雙曲線的切線方程eq\f(x0x,a2)-eq\f(y0y,b2)＝1）用(x0，y0)表示條件與目標(biāo)，尋求解決辦法方法三：設(shè)切線y-y0＝k（x-x0），找k與x0，y0的關(guān)系（圓就用d=r，圓錐曲線就用Δ=0），條件與目標(biāo)用k與x0，y0表示，尋求解決辦法方法四：設(shè)拋物線上的切點(diǎn)(x0，y0)，求導(dǎo)的斜率，表示切線方程，用(x0，y0)表示條件與目標(biāo)，尋求解決辦法專項(xiàng)突破類型一、圓的動切線例1-1．已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在圓上但不在軸上，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上時，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，試探究周長的取值范圍.練.(2022·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F(eq\r(2)，0)，且離心率為eq\f(\r(6),3).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切.證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|＝eq\r(3).練.已知橢圓的上頂點(diǎn)為M?右頂點(diǎn)為N.(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為1，直線被橢圓C所截得的線段長度為.（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試判斷橢圓C內(nèi)是否存在圓，使得圓O的任意一條切線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)時，滿足為定值？若存在，求出圓O的方程；若不存在，請說明理由.例1-2．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且．（1）求雙曲線的方程；（2）過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，交雙曲線于兩個不同的點(diǎn)，的中點(diǎn)為，證明：．例1-3．已知橢圓的一焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)組成的三角形是等邊三角形，直線與橢圓的兩交點(diǎn)間的距離為8.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)是橢圓上的一動點(diǎn)，由原點(diǎn)向圓引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，，若直線，的斜率均存在，并分別記為，，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.練.(2022·全國甲卷)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2，0)，且⊙M與l相切.(1)求拋物線C，⊙M的方程；(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.類型二、圓錐曲線的動切線例2-1．(2022·宿州質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，動點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝4，P點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知圓x2＋y2＝R2上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為：x0x＋y0y＝R2，類比可知橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.記l1為曲線C在任意一點(diǎn)P處的切線，過點(diǎn)B作BP的垂線l2，設(shè)l1與l2交于Q，試問動點(diǎn)Q是否在定直線上？若在定直線上，求出此直線的方程；若不在定直線上，請說明理由.練.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過原點(diǎn)作直線的平行線與直線相交于點(diǎn)，問：線段的長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.例2-2.（2022.廣東省揭陽市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量測試）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上的一個動點(diǎn)（異于橢圓的左、右端點(diǎn)）.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作橢圓的切線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，求面積的最大值.練．已知橢圓：()的焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，，過，分別作長軸的垂線，，橢圓的一條切線：與直線，分別交于，兩點(diǎn).求證：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).練．在一張紙片上，畫有一個半徑為4的圓（圓心為M）和一個定點(diǎn)N，且，若在圓上任取一點(diǎn)A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點(diǎn)P．(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)在（1）中點(diǎn)P的軌跡上任取一點(diǎn)D，以D點(diǎn)為切點(diǎn)作點(diǎn)P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點(diǎn)，求證：的面積為定值，并求出該定值；(3)在（1）基礎(chǔ)上，在直線，上分別取點(diǎn)G，Q，當(dāng)G，Q分別位于第一、二象限時，若，，求面積的取值范圍．練．如圖，已知拋物線上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為F，且，過點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，D為線段PA上的動點(diǎn)，過D作拋物線的切線，切點(diǎn)為E（異于點(diǎn)A，B），且直線DE交線段PB于點(diǎn)H.(1)求拋物線C的方程；(2)（i）求證：為定值；（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.例2-3．（廣東省珠海市2022屆高三下學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測T21）．已知橢圓：，，為其左右焦點(diǎn)，離心率為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作橢圓的切線，斜率為，，的斜率分別為，，則是否是定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.（3）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在的角分線上，求的取值范圍.練．已知橢圓，過橢圓在第二象限上的任意一點(diǎn)作橢圓的切線與軸相交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的取值范圍是______________例2-4.已知橢圓方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，若拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn).(1)求該拋物線的方程；(2)過拋物線焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點(diǎn)，則△PAB的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的直線l的方程；若不存在，請說明理由.練（2022.安徽省江南十校高三3月一模）已知動圓與軸相切且與圓相外切，圓心在軸的上方，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知，過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作曲線的切線相交于，當(dāng)?shù)拿娣e與的面積之比取最大值時，求直線的方程.練.（2022.江西省上饒市高三第一次聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為為的中點(diǎn).（1）證明軸；（2）直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.練．已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在E上．(1)求；(2)拋物線E在點(diǎn)T處的切線為，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)（與T不重合），拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線分別為、，若與交于P點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)M、N，證明：的外接圓經(jīng)過點(diǎn)F．例2-5.廣東省梅州市2022屆高三下學(xué)期3月總復(fù)習(xí)質(zhì)檢21．給定橢圓：（），稱圓心在原點(diǎn)，半徑為圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”.若橢圓的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程和其“衛(wèi)星圓”方程；（2）點(diǎn)是橢圓的“衛(wèi)星圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，與橢圓都只有一個交點(diǎn)，且，分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)，.試探究：的長是否為定值？若為定值，寫出證明過程；若不是，說明理由.練．給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為.(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；(2)若點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線，交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N，判斷及線段是否都為定值，若為定值，求出定值，若不是定值，說明理由.練.(2022·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p的值；(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.例2-6．已知點(diǎn)P為直線l：x＝－2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線y2＝2px(p＞0)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2為定值，則該定值為____．練。在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)在軸上運(yùn)動，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軌跡的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．例2-7．設(shè)橢圓，點(diǎn)，為E的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)M是直線上任意一點(diǎn)，過M作橢圓E的兩條切線MA，MB，（A，B為切點(diǎn)）．①求證：；②求面積的最小值．練．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓：相切，另外，橢圓：的離心率為，過左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于C，D兩點(diǎn)．且．(1)求圓的方程與橢圓的方程；(2)經(jīng)過圓上一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求△OAB的面積的取值范圍．練．如圖所示，已知橢圓：與直線：．點(diǎn)在直線上，由點(diǎn)引橢圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，求的面積；（2）若，為垂足，求證：存在定點(diǎn)，使得為定值．練.已知點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)（長軸的端點(diǎn)除外），其中，為常數(shù)．（1）求證：直線為橢圓在點(diǎn)處的切線方程；（2）過橢圓的右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，請判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由．類型三、公切線例3-1．已知直線l分別切拋物線（）和圓于點(diǎn)A，B（A，B不重合），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，___________.練.若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，則l的方程為()A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋eq\f(1,2)C.y＝eq\f(1,2)x＋1 D.y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)練.（多選題）已知雙曲線的離心率為2，點(diǎn)，是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是的右支上位于第一象限的動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），記直線，的斜率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．以線段為直徑的圓與可能有兩條公切線B．C．存在點(diǎn)，使得D．當(dāng)時，點(diǎn)到的兩條漸近線的距離之積為3例3-2．已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．若直線為橢圓與拋物線：的公切線．其中點(diǎn)分別為，上的切點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)