第2章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一．隨機(jī)變量為了全面地討論隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示客觀存在著的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,需引入隨機(jī)變量的概念．例1．E——拋一枚硬幣,．在上定義一個(gè)函數(shù)：．由于試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，的取值也是隨機(jī)的，稱為隨機(jī)變量．例2．E——測(cè)量某一地區(qū)成年人的身高，=｛全體成年人}．在上定義身高，單位m），.H隨被測(cè)量的人的不同而不同，取值隨機(jī)．.X(e)e．隨機(jī)變量(r。v.）：定義于樣本空間上的一個(gè)實(shí)值可測(cè)函數(shù)X.X(e)e．．引入隨機(jī)變量之后，隨機(jī)大事可通過(guò)隨機(jī)變量來(lái)簡(jiǎn)便地表示．R例1中,“消滅H”——；“消滅T”——．例2中,“身高達(dá)到1。70m”—-“";“身高在1。60m～1.80m間”-—“"．隨機(jī)變量與一般函數(shù)的區(qū)分：(1)定義域不同；(2）隨機(jī)變量的取值隨機(jī)，試驗(yàn)之前只能知其取值范圍．隨機(jī)變量的取法、及其在討論隨機(jī)現(xiàn)象中的作用．二．分布函數(shù)為全面掌握r。v。的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,引入分布函數(shù)概念．隨機(jī)變量X，,稱，為X的分布函數(shù)．—-隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)X落在區(qū)間內(nèi)的概率．注：（a)；F（x）(b）是一般函數(shù)，便于用微積分工具討論r.v.．1分布函數(shù)的基本性質(zhì)：．是單調(diào)非減函數(shù)；．，,o1x；．是右連續(xù)函數(shù)：．（說(shuō)明之）F（x）X12P0。40。6例3．已知求，,，．解：．o12x;；．例4．在一個(gè)外形均勻的陀螺的周圍上均勻地刻上區(qū)間的諸值．旋轉(zhuǎn)陀螺，求當(dāng)它停下時(shí)它的周圍接觸地面處的刻度X的分布函數(shù)．解：由對(duì)稱性，X落在每個(gè)等長(zhǎng)度的小區(qū)間內(nèi)的概率相等．，分商量．當(dāng)；當(dāng)，，由于，，；當(dāng)，．1．o10x2.2離散隨機(jī)變量及其分布律一．離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量：只取有限多個(gè)或可列多個(gè)值的隨機(jī)變量．如：上例1；一家商店一小時(shí)內(nèi)接待的顧客次數(shù)；上海市110電話臺(tái)一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)．例：E——射手打靶練習(xí)．環(huán)數(shù)0~5環(huán)．隨機(jī)變量X—-打中的環(huán)數(shù),取值0，1，2,3，4，5．不同射手的射擊水平不同，X取各值的概率不同．X012345P0。50。10.150.050.10.1甲射手：X012345P0.750。050。10。050。050乙射手：離散隨機(jī)變量的分布律：設(shè)X取值，，滿意：；．XP列表：稱為X的分布律．X01Pp二．三種常見(jiàn)的離散隨機(jī)變量1。分布（或兩點(diǎn)分布）(）若只包含兩個(gè)結(jié)果，總可定義聽(tīng)從分布的r。v.：．例：拋硬幣；檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格;檢查新生嬰兒的性別等．2．二項(xiàng)分布引入隨機(jī)變量X——n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則，．此為二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),稱X聽(tīng)從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記．這里．格外，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布化為,，即為分布．例1.文具公司生產(chǎn)鉛筆,每10支一包出售，已知鉛筆的合格率為95％，用隨機(jī)變量X表示一包中不合格鉛筆的支數(shù)．(1)寫出X的分布律；(2）公司承諾，若一包鉛筆中有2支及以上的鉛筆不合格,則整包退貨，試計(jì)算出售鉛筆的退貨率．解：此為10重伯努利試驗(yàn),．(1）X的分布律為:，．（2)A——某包產(chǎn)品被退貨，則．即售出產(chǎn)品的退貨率為9%．這是一個(gè)不小的概率．若公司提高質(zhì)量,將鉛筆的合格率提高到99%，則退貨率飛快降為0。43％．例2．(管理決策問(wèn)題）設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理．考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是3人共同維護(hù)80臺(tái)．試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能準(zhǔn)時(shí)維修的概率的大?。猓喊吹谝环N方法．-—第i個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障不能準(zhǔn)時(shí)維修，()；X——第一個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)設(shè)備中在同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)．則,．所以80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能準(zhǔn)時(shí)維修的概率為:．（相互獨(dú)立）按其次種方法．Y—-80臺(tái)設(shè)備中在同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)．則，所以80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能準(zhǔn)時(shí)維修的概率為：．結(jié)論：由于，其次種方法較優(yōu)．3.Poisson分布設(shè)隨機(jī)變量X取值，且,(常數(shù))，稱X聽(tīng)從參數(shù)為的Poisson分布，記．Poisson逼近定理：對(duì)于，當(dāng)n很大時(shí)計(jì)算較為繁瑣．人們發(fā)現(xiàn)并證明,當(dāng)n很大，p很小，若令，有近似公式:．Poisson分布的背景:電話交換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)收到的電話呼喚次數(shù)；一家大型商店一天接待的顧客次數(shù)；一個(gè)地區(qū)一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù)；一天內(nèi)經(jīng)過(guò)學(xué)校門口的汽車數(shù)等．例：Poisson分布的隨機(jī)變量1．?dāng)?shù)學(xué)模型我們學(xué)校所處的上海市軍工路是一條交通主干道中環(huán)線，交通繁忙,學(xué)校大門口每天來(lái)往的汽車很多．我們來(lái)考察一天內(nèi)經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)的分布情況．用隨機(jī)變量X表示“一天內(nèi)經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)”．將一天24小時(shí)等分成m個(gè)時(shí)段，每個(gè)時(shí)段為5秒，每輛車在一個(gè)時(shí)段內(nèi)至多經(jīng)過(guò)本校門口一次．再用隨機(jī)變量表示“第i個(gè)時(shí)段內(nèi)經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)"，．則,且123im近似相互獨(dú)立．先考慮的分布．假設(shè)有可能經(jīng)過(guò)本校門口的汽車總數(shù)為N輛．在這N輛車中，離本校遠(yuǎn)近分布不同．有的離本校很近;有的較近；有的較遠(yuǎn)；有的很遠(yuǎn)．在一個(gè)時(shí)段內(nèi)，它們經(jīng)過(guò)本校門口的概率不同．因此,依據(jù)距離遠(yuǎn)近，將全國(guó)分解成n個(gè)區(qū)域，并設(shè)在第j個(gè)區(qū)域內(nèi),共有輛車在一個(gè)時(shí)段內(nèi)有可能經(jīng)過(guò)本校門口，則有．現(xiàn)提出兩個(gè)假設(shè)條件:（a）每輛車是否經(jīng)過(guò)本校門口相互獨(dú)立；（b）對(duì)于屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的輛車，在一個(gè)時(shí)段（假設(shè)為第i個(gè)時(shí)段）內(nèi)每輛車經(jīng)過(guò)本校門口（記為大事）的概率相等．由于現(xiàn)在油費(fèi)、氣費(fèi)昂貴，如果汽車沒(méi)有事情不會(huì)經(jīng)過(guò)本校門口，條件(a)近似成立．由于已將全國(guó)區(qū)域進(jìn)行劃分,處于同一區(qū)域內(nèi)的汽車離本校遠(yuǎn)近相當(dāng)，它們經(jīng)過(guò)本校門口的概率大致相同，條件(b)成立．現(xiàn)用隨機(jī)變量表示“在第i個(gè)時(shí)段內(nèi)屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的輛車中經(jīng)過(guò)本校門口的汽車次數(shù)”，．則有．由條件（a），近似相互獨(dú)立．現(xiàn)在首先考慮的分布．對(duì)于屬于第j個(gè)區(qū)域內(nèi)的輛車而言，在5秒內(nèi)每輛車要么經(jīng)過(guò)本校門口（記為大事）,要么不經(jīng)過(guò)本校門口（大事），而且相互獨(dú)立，故此為重伯努利試驗(yàn)，大事發(fā)生的次數(shù)．顯然,這里的很大，；很小,．依據(jù)Poisson逼近定理，近似地有，這里．由于相互獨(dú)立，依據(jù)Poisson分布的可加性，有，其中．再次利用Poisson分布的可加性，由于相互獨(dú)立，有，其中．2．推廣以上數(shù)學(xué)模型可以推廣到多種隨機(jī)現(xiàn)象，從而可知Poisson分布的普遍性．A．考察一家大型商店一天內(nèi)接待的顧客次數(shù)Y．若把顧客比擬為汽車，光臨商店比擬為經(jīng)過(guò)本校門口．則可以類似地把一天等分成m個(gè)時(shí)段；把有可能光臨該商店的人群依據(jù)距離遠(yuǎn)近分布劃分成n個(gè)區(qū)域．類似的分析,可以說(shuō)明隨機(jī)變量Y也聽(tīng)從Poisson分布．B．考察一個(gè)電話交換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)收到的呼喚次數(shù)Z．若把電話機(jī)比擬為汽車，電話呼喚比擬為經(jīng)過(guò)本校門口．可以類似地把一小時(shí)分成m個(gè)時(shí)段；把有可能呼喚該交換機(jī)的人群依據(jù)呼喚頻率的凹凸劃分成n個(gè)等級(jí)．類似的分析,可以說(shuō)明隨機(jī)變量Z也聽(tīng)從Poisson分布．2.3連續(xù)隨機(jī)變量及其概率密度一.連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X，分布函數(shù)，存在可積函數(shù)，滿意．稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，——X的概率密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱：概率密度或密度函數(shù)）．注：(1）連續(xù)r.v。X的處處連續(xù)；（2)連續(xù)r.v。X取單點(diǎn)值a的概率．，令，右邊極限為0，得．概率密度函數(shù)的性質(zhì)：(1)(非負(fù)性）；(2)(規(guī)范性）；(3)；(4）若在x處連續(xù)，則．幾何意義:f（x)xoaxbxF(x）隨機(jī)變量分離散、連續(xù)和其它類型．例1．已知X具有概率密度函數(shù),試求：(1)常數(shù)a;（2）分布函數(shù)F(x）；（3)．解:（1）由，得．（2)．分商量．當(dāng)；01x當(dāng)；F(x）當(dāng)．1．o1x(3）．或．二。三種常見(jiàn)的連續(xù)隨機(jī)變量1。均勻分布連續(xù)r.v.X取值于內(nèi)，概率密度為，稱X聽(tīng)從上的均勻分布，記．分布函數(shù)：．oabxoabx2.指數(shù)分布常數(shù)，X具有概率密度，稱X聽(tīng)從參數(shù)為的指數(shù)分布,記作．分布函數(shù)．背景：X與“壽命"有關(guān)．各種動(dòng)物群體的壽命、一個(gè)民族中人的壽命、各種元器件的壽命等．例如，已知某種電子元件的壽命X(年）聽(tīng)從參數(shù)為的指數(shù)分布，，概率密度函數(shù)是，分布函數(shù)．電子元件的壽命在8年以上的概率為：．3。正態(tài)分布X具有概率密度，其中和為常數(shù)，稱X聽(tīng)從參數(shù)為的正態(tài)分布,記．圖形的特點(diǎn)：．曲線關(guān)于直線對(duì)稱．，有．．當(dāng)時(shí)，取最大值．曲線以x軸為水平漸近線．．固定，轉(zhuǎn)變時(shí)，曲線平移．．固定,轉(zhuǎn)變時(shí)，變小，曲線變尖；變大，曲線變平坦．分布函數(shù)．F（x)10.5oxox當(dāng)時(shí),稱為X聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記；并記，．附表1，（)可查函數(shù)值．；當(dāng);當(dāng)．（查幾個(gè)數(shù)據(jù)）定理2.3。1．若,則．證：Y的分布函數(shù)，，,．設(shè)，；．例2．設(shè)，有;；．若，則．例3．假設(shè)在設(shè)計(jì)公共汽車車門的高度時(shí)，要求男子的碰頭機(jī)會(huì)在1%以下．設(shè)男子的身高X（cm）聽(tīng)從正態(tài)分布,，問(wèn)車門高度至少應(yīng)為多少?解：設(shè)車門高度為xcm,按要求，即．，時(shí)，能滿意碰頭機(jī)會(huì)在1％以下的要求．背景：在自然界和社會(huì)現(xiàn)象中的正態(tài)變量．4。分布(略)2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布X是隨機(jī)變量，,連續(xù)．則也是r.v.．有時(shí)需要由X的分布（已知）去確定Y的分布．例如，已知氧氣分子運(yùn)動(dòng)速率V的分布，要確定其動(dòng)能的分布．(統(tǒng)計(jì)物理學(xué))一．離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布X0123P例1．已知X具有分布律Y0123P求的分布律．解：取值0,1，2,3．二．連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布例