第27講空間角的計算太倉市實驗高級中學何志銜一、高考要求空間角的計算在高考中通常有一道解答題，題目為中等難度，這是作為立體幾何中重點考查的內容之一，解題時要注意計算與證明相結合．二、兩點解讀重點：①求異面直線所成的角；②求直線與平面所成的角；③求二面角．難點：二面角的作法與求法．三、課前訓練21．正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側棱長為，則這個棱柱的側面對角線ED與BC1所成的角是（）1（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°2．A1B1C1ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點1D、F分別是AB、A1C1的中點，若111BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）3013015（A）（B）（C）（D）1021510ACBBCC3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等,則與平面1所成角的余11弦值為．264．已知正四棱錐的體積為12，底面的對角線長為，則側面與底面所成的二面角等于．四、典型例題21，側棱長為，則這個棱柱的例1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長為側面對角線ED與BC1所成的角是（B）60°（）（D）30°1（A）90°（C）45°PA,PB,PCP60是從點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線0例2PCPAB與平面所成角的余弦值是（）1236（C）（D）33（A）（B）22例3如圖，∠BAD＝90°的等CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為_____________．腰直角三角形ABD與正三角形例4若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，則側面和底面所成二面角的大小等于____（結果用反三角函數(shù)值表示）．例5在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29．（Ⅰ）證明：SC⊥BC；（Ⅱ）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大??；（Ⅲ）求異面直線SC與AB所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）．例6已知如圖斜三棱柱ABC—A1B1C1的側面AACC1與底面ABC垂直，∠ABC＝90°，13BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．A1C1（Ⅰ）求側棱AA與底面ABC所成角的大小；1B1（Ⅱ）求側面AABB1與底面ABC所成二面角的大??；1（Ⅲ）求側棱BB和側面AACC1的距離．11ACB第27講空間角的計算過關練習1．正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為（）（A）75°（B）60°（C）45°（D）30°C1B1A122．在正三棱柱ABC—ABC1中，若AB＝BB，則AB與CB11111所成的角的大小為（）CB（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°A3．已知球O的半徑是1，A、、C三點都在球面上，A、B兩點和A、C兩點的球面距離都是，B、C兩點的球面距離是，則二面角B－OA－C的大小是（）43（C）22（A）（B）（D）4334．α，β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線．給出四個論斷：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命．．題：．5．設命題甲：“直四棱柱ABCD－ABCD1中，平面ACB1與對角面BBDD垂直”；命11111條件．題乙：“直四棱柱ABCD－ABCD是正方體”．那么，甲是乙的111136．若正四棱錐的底面邊長為2cm，體積為4cm3，則它的側面與底面所成的二面角的大小是．7．如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，PA=1，P在平面ABC內的射影為BF的中點O．（Ⅰ）證明PA⊥PB；PEFDAOBC（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大?。?38．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足為E．（Ⅰ）求證：BD⊥A1C；A－BD－C1的大?。á颍┣蠖娼?；1（Ⅲ）求異面直線AD與BC1所成角的大?。?7講空間角計算參考答案課前訓練102．A3．π31．B4．；4典型例題38arctan例4．例1．B例2．C例3．45°例5（Ⅰ）（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，∴∠SCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的略平面角．在Rt△SCB中，由BC=13，SB=29，得SC=SB2—BC2=29—13=4．AC21在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cos∠SCA=SC42．∴∠SCA=60°，即側面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60°．（Ⅲ）解：過點C作CD∥BA，過點A作BC的平行線交CD于D，連結SD，則∠SCD是AC2BC217，DC=AB=SB2AB223，圖9—65SA=SD=SA2AD2SA2BC2=5．SC2DC2SD242(17)25217,在△SCD中，cosSCD=2SCDC24171717∴SC與AB所成的角的大小為arccos17．例6．解：（Ⅰ）作AD⊥AC，垂足為D，由面AACC1⊥面ABC，得AD⊥面ABC111∴∠AAD為A1A與面ABC所成的角．1∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，∴∠AAD＝45°為所求．1（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足為E，連AE，則由AD⊥面ABC，得AE⊥AB．111∴∠AED是面AABB1與面ABC所成二面角的平面角．113由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中點，BC＝2，AC＝2，AD33tanAED＝＝．11DE∴DE＝1，AD＝A1D＝，故∠AED＝60°為所求．1（Ⅲ）作BF⊥AC，F(xiàn)為垂足，由面AACC1⊥面ABC，知BF⊥面AACC1．11∵B1B∥面AACC1，1∴BF的長是BB和面AACC1的距離．11在Rt△ABC中，AB＝AC2BC222，ABBC26∴BF＝AC為所求．3評述：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，棱柱的性質，空間的角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力．過關練習1．C2．B3．C4．m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β5．必要不充分6．30°7．解：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，ΔABF為等腰三角形，∵P在平面ABC內的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內的射影；∵O為BF中點，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF．PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而（Ⅱ）∵O為BF中點，ABCDEF是正六邊形，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的133邊長為1，∴AO＝，AO＝，BO＝．222過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角平面角．12212217217AOtan∠AHO＝在ΔAHO中，OH＝，=．7OH3DOtan∠DHO＝221721；在ΔDHO中，OH2721428321而tan∠AHD＝tan(∠AHO＋∠DHO)＝2212722122118．證明：∵AA⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．1∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；（II）連結AE，C1E，A1C1．1與（I）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1為二面角A－BD－C1的平面角．∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝190°，3又A1D1=AD＝2，D1C1=DC＝2，AA1=3且AC⊥BD，3∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴AE＝2，C1E＝2，1在△A1EC1中，AC＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，211即二面角A－BD－C