2022-2023學(xué)年江西省贛州市高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，，則可表示不同的值的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．12C．10 D．9【答案】D【分析】第一步先從集合中取一個(gè)值，得到對(duì)應(yīng)的情況數(shù)，第二步再?gòu)募现腥∫粋€(gè)值，得到對(duì)應(yīng)的情況數(shù)，兩次的情況數(shù)相乘并分析結(jié)果，由此可知可表示不同的值的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)閺募现腥稳∫粋€(gè)值共有種情況，從集合中任取一個(gè)值共有種情況，故可表示個(gè)不同的乘法計(jì)算，且經(jīng)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果均不相同，所以可表示不同的值有個(gè)．故選：D.2．已知為等差數(shù)列，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用基本量法可求公差和首項(xiàng)，從而可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選：A.3．直線l的方向向量為，，是平行于平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，下列關(guān)系中能推出的是（

）A． B．C． D．以上均不能【答案】D【分析】根據(jù)A、B、C，只能推得或，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，則或，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，則或，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，則或，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.4．坐標(biāo)軸與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出圓心和半徑，再分別求出圓心到兩坐標(biāo)軸的距離與半徑比較可得結(jié)論.【詳解】圓，即圓，所以圓，半徑，因?yàn)閳A心到軸的距離為1，且，所以圓與軸相交，即與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閳A心到軸的距離為2，且等于半徑，所以圓與軸相切于點(diǎn)，即與軸有一個(gè)交點(diǎn)，綜上坐標(biāo)軸與圓有3個(gè)交點(diǎn)，故選：C5．拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為.故選：B.6．已知棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，．當(dāng)平面時(shí)，的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線面平行求出的關(guān)系，再借助二次函數(shù)求出向量模的最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，于是，即有，向量是平面的一個(gè)法向量，，則，而，于是，因?yàn)槠矫?，則，即，化簡(jiǎn)得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C7．設(shè)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解：由，構(gòu)造和，利用其單調(diào)性比較.【詳解】解：由，令，則，所以在上遞增，則，即，則，即；令，則，所以在上遞增，則，即，則，即，故選：C8．已知函數(shù)，則對(duì)于方程．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則該方程無(wú)解B．若，則該方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．若，則該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根D．若，則該方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】先畫出的圖象，令后方程可轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)的取值情況結(jié)合的圖象進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，且此時(shí)當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，故，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，則時(shí)，，而時(shí)，，故可得的圖象如圖所示：

令，則方程化為，對(duì)于A，時(shí)，，即方程無(wú)實(shí)根，故無(wú)實(shí)根，從而方程無(wú)實(shí)根，故A正確；對(duì)于B，時(shí)，方程即為，即，所以，則，由的圖象可知，此方程只有一個(gè)實(shí)根為，故B正確；對(duì)于C，由得，此為關(guān)于的對(duì)勾函數(shù)，在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，圖象如圖所示：

時(shí)或，由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)，則有，，則此時(shí)沒(méi)有實(shí)根，有兩個(gè)或三個(gè)實(shí)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)，則有，，則此時(shí)有一個(gè)實(shí)根，有三個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的方程問(wèn)題，常通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化，逐層考慮方程的根的情況進(jìn)行求解.二、多選題9．設(shè)數(shù)列、都是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】取，，可判斷A選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷BD選項(xiàng)；取可判斷C選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列、的公比分別為、，其中，，對(duì)任意的，，，對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取，，則數(shù)列、都是等比數(shù)列，但對(duì)任意的，，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，，即數(shù)列為等邊數(shù)列，B滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不是等比數(shù)列，C不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，，故為等比數(shù)列，D滿足條件.故選：BD.10．已知是的前n項(xiàng)和，，，則（

）A． B．C． D．是以3為周期的周期數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得出D項(xiàng)；根據(jù)周期性，即可判斷A、C項(xiàng)；求出的值，結(jié)合周期性，即可得出B項(xiàng).【詳解】由已知可得，，，，，，所以，是以3為周期的周期數(shù)列.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，，所以，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由解析可知，是以3為周期的周期數(shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.11．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及下標(biāo)和性質(zhì)一一分析即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，，，則，，即，所以，，所以，，故A正確，B正確；所以，，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，所以，，故A錯(cuò)誤.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，即，所以，故B正確.令，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故C正確.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，比較自變量的大小，可得函數(shù)值的大小.三、填空題13．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為．【答案】【分析】先用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再令即可求出答案【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：14．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為.【答案】10【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，然后直接對(duì)數(shù)列求和，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故答案為：1015．已知函數(shù)，則的極小值為．【答案】/-0.5【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，得，令，即，得，故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為．故答案為:.16．將數(shù)列中的項(xiàng)排成下表：，，，，，，，，，，，…已知各行的第一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，且的前項(xiàng)和滿足（且），從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為同一個(gè)常數(shù).若，則第6行的所有項(xiàng)的和為.【答案】1344【分析】根據(jù)所滿足的條件，求出數(shù)列，由在表中的位置，得，所以每行等差數(shù)列公差，即可求第6行所有項(xiàng)的和．【詳解】解：∵(且)，∴，即，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（且），觀察表中各行規(guī)律可知，第n行的最后一項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng)，，∴在表中第8行第3列，∵，且，∴公差；∴第6行共有32個(gè)元素，則第6行所有項(xiàng)的和為故答案為：1344．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由的前項(xiàng)和滿足，構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察數(shù)列的規(guī)律，找到在表中的位置，結(jié)合的通項(xiàng)公式可求得表中每一行的公差，繼而可求第6行所有項(xiàng)的和．四、解答題17．已知圓(1)若直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓C相切，求直線的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.【詳解】（1）圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓C的圓心為，半徑為①若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，所以，即，解得，所以直線方程為綜上，所求直線的方程為或（2）依題意，設(shè)又已知圓C的圓心為，半徑為2，由兩圓外切，可知，所以，解得或所以或，所以所求圓D的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得直線的方程．設(shè)出圓D圓心坐標(biāo)，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得a的值，從而求得圓D的方程．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用與的關(guān)系變形給定的遞推公式，構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列定義推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則，于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，從而，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以.19．如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，，．

(1)試建立空間直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；(2)求的余弦值．【答案】(1)，；坐標(biāo)系見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)已知條件得到三條線兩兩垂直建系寫出坐標(biāo)即可;（2）根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式求出距離,再在三角形中應(yīng)用余弦定理即得.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，所以平面?/p>

又平面，平面，所以，．又，所以，所以直線，，兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易得，，，所以點(diǎn)D、G的坐標(biāo)分別為，．（2）因?yàn)椋?，，，在中，，即的余弦值為?0．一個(gè)小型制冰廠有3臺(tái)同一型號(hào)的制冰設(shè)備，在一天內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備只要有一臺(tái)能正常工作，制冰廠就會(huì)有利潤(rùn)，當(dāng)3臺(tái)都無(wú)法正常工作時(shí)制冰廠就因停業(yè)而虧本（3臺(tái)設(shè)備相互獨(dú)立，3臺(tái)都正常工作時(shí)利潤(rùn)最大）.每臺(tái)制冰設(shè)備的核心系統(tǒng)由3個(gè)同一型號(hào)的電子元件組成，3個(gè)元件能正常工作的概率都為，它們之間相互不影響，當(dāng)系統(tǒng)中有不少于的電子元件正常工作時(shí)，此臺(tái)制冰設(shè)備才能正常工作.(1)當(dāng)時(shí)，求一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；(2)若已知當(dāng)前每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.6，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，若制冰廠由于設(shè)備不能正常工作而停業(yè)一天，制冰廠將損失1萬(wàn)元，為減少經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案可供選擇參考：方案1：更換3臺(tái)設(shè)備的部分零件，使每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.85，更新費(fèi)用共為600元.方案2：對(duì)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.75，設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為元.請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷如何決策？【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率，然后根據(jù)對(duì)立事件概率公式可得一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率；（2）根據(jù)條件分別計(jì)算不采取措施，采用方案1，采用方案2制冰廠的總損失的期望，然后比較即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為：，所以一天內(nèi)制冰廠不虧本的概率為；（2）若不采取措施，設(shè)總損失為，當(dāng)前每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.6，故元；設(shè)方案1、方案2的總損失分別為，，采用方案1，更換3臺(tái)設(shè)備的部分零件，使得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.85，故元；采用方案2，對(duì)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得每臺(tái)設(shè)備能正常工作的概率為0.75，故元，又，且，因此，從期望損失最小的角度，當(dāng)時(shí)，可以選擇方案1或2；當(dāng)時(shí)，選擇方案2；當(dāng)時(shí)，采取方案1.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系求解；（2）利用錯(cuò)位相減法可求得，在根據(jù)題意得即可求解.【詳解】（1）由，得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，又不滿足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①?②得：，整理得，又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)，恒成立，所以，∵，∴在上單調(diào)遞增，，由，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在時(shí)取得極值，求的值；(2)在第一問(wèn)的條件下，求證：函數(shù)有最小值；(3)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線有幾條，并說(shuō)明理由注：不用求出具體的切線方程，只需說(shuō)明切線條數(shù)的理由【答案】(1)(2)證明見解析(3)有條，理由見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)為極值點(diǎn)得到方程，求出的值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，確定函數(shù)的極小值，結(jié)合函數(shù)特征，確定其也是最小值；（3）設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)斜率列出方程，得到，將公切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為一元三次方程的根的個(gè)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求出答案.【詳解】（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)镽，可得，若函數(shù)在時(shí)取得極值，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是極大值點(diǎn)，滿足條件，綜上所述，；（2）由知，，，函數(shù)在處取得極小值，且，而，