2022-2023學(xué)年江西省贛州市高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】,故選：A2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】依題意，，.故選：A3．已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量在向量方向上的投影向量的定義求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量方向上的投影向量是，故選：B4．在中，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平面向量的線性運(yùn)算求解，【詳解】由題意得，故，故選：B5．已知，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題是真命題的為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，可得，故B正確；對(duì)于C：若，，則或與相交，或與異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，，則或或或與相交（不垂直），故D錯(cuò)誤；故選：B6．函數(shù)，此函數(shù)的奇偶性及最大值為（

）A．奇函數(shù)，最大值是 B．偶函數(shù)，最大值是C．奇函數(shù)，最大值是 D．偶函數(shù)，最大值是【答案】D【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的判定和二倍角的余弦公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可得到答案.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以該函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.7．在正四棱臺(tái)中，，側(cè)棱，若為的中點(diǎn)，則過(guò)，，三點(diǎn)截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，則，又，則，可得過(guò)，，三點(diǎn)截面為等腰梯形，利用題中數(shù)據(jù)及正四棱臺(tái)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，又，則，又根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)得，則為等腰梯形，即過(guò)，，三點(diǎn)截面為等腰梯形．取的中點(diǎn)，連接，在等腰梯形中，，則，，在等腰梯形中，，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積．故選：A．8．已知正四面體的棱長(zhǎng)為12，先在正四面體內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，推得球心的位置，求出正方體的高與斜高.根據(jù)相似三角形，得出方程，即可求出球的半徑，得出答案.【詳解】

如圖，正四面體，設(shè)點(diǎn)是底面的中心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點(diǎn)在線段上，分別設(shè)為.則易知，，設(shè)球的半徑分別為.因?yàn)椋鶕?jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)已知，判斷出球心的位置，構(gòu)造直角三角形.二、多選題9．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，則這個(gè)幾何體可能是（

）A．圓柱 B．棱柱 C．球 D．圓臺(tái)【答案】ACD【分析】根據(jù)用一個(gè)平面去截旋轉(zhuǎn)體均可以得到圓面，平面截棱柱得到的截面為一個(gè)多邊形，即可求解.【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，可知用一個(gè)平面去截圓臺(tái)、圓柱、球均可以得到圓面，根據(jù)棱柱的定義，可知平面截棱柱得到的截面為一個(gè)多邊形，一定不會(huì)產(chǎn)生圓面，故選：ACD.10．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．B．C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．為純虛數(shù)【答案】BCD【分析】化簡(jiǎn)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解；【詳解】因?yàn)?，所以故A錯(cuò)誤；故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第二象限，故C正確；，為純虛數(shù)，故D正確；故選：BCD11．在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與相等的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以A正確，因?yàn)?，所以，所以B正確，因?yàn)椋?，所以C正確，因?yàn)椋訢錯(cuò)誤，故選：ABC12．上海世博會(huì)中國(guó)國(guó)家館以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類(lèi)似的六面體，設(shè)矩形和的中心分別為和，若平面，，，，，，，，，，則（

）

A．這個(gè)六面體是棱臺(tái)B．該六面體的外接球體積是C．直線與異面D．二面角的余弦值是【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A：,這個(gè)六面體不是棱臺(tái)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：這個(gè)六面體的外接球球心在直線上，結(jié)合勾股定理，計(jì)算六面體的外接球半徑，從而求得體積，正確；選項(xiàng)C：和顯然不相交，結(jié)合題意證得與不平行，所以和不在同一平面內(nèi)，正確；選項(xiàng)D：取和的中點(diǎn)分別為，，即所求二面角的平面角，解得，正確；【詳解】

因?yàn)?，所以四條側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以這個(gè)六面體不是棱臺(tái)，所以錯(cuò)誤.由題意可知，這個(gè)六面體的外接球球心在直線上，且，因?yàn)椋獾?，所以六面體的外接球半徑，所以這個(gè)六面體的外接球體積是，B正確.和顯然不相交，因?yàn)?，所以與不平行，所以和不在同一平面內(nèi)，C正確.取和的中點(diǎn)分別為，，連接，則即所求二面角的平面角，，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，又，，解得：.故答案為：.14．在中，，，則的值為.【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】.故答案為：1.15．如圖是水平放置的的直觀圖，其中，，，則的周長(zhǎng)為.

【答案】24【分析】根據(jù)直觀圖復(fù)原原圖，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，確定相關(guān)線段的長(zhǎng)，可求得答案.【詳解】如圖，根據(jù)直觀圖復(fù)原原圖，則，故的周長(zhǎng)為，故答案為：24.16．在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為和的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，結(jié)合題目條件求出半徑，得到答案.【詳解】如圖，取為的中點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，故四點(diǎn)共圓.因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，分別為和的中點(diǎn)，所以，，，所以，即為直角三角形，又平面，所以三棱錐外接球的球心即四邊形的外心，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，故所求外接球的表面積為.

故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑四、解答題17．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求、的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角函數(shù)的定義可求得、的值；（2）求出的值，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）解：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由三角函數(shù)定義可得，.（2）解：由三角函數(shù)的定義可得，原式.18．在平行四邊形中，，分別為邊、的中點(diǎn)，如圖．(1)寫(xiě)出與向量共線的向量；(2)求證：．【答案】(1),(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意直接寫(xiě)出與向量共線的向量即可；（2）證明四邊形是平行四邊形即可證明.【詳解】（1）據(jù)題意，與向量共線的向量為：,；（2）證明：是平行四邊形，且，分別為邊，的中點(diǎn)，，且，四邊形是平行四邊形，，且，．19．已知向量，不共線，，，.(1)若，，求x，y的值；(2)若A，P，Q三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)t的值.【答案】(1)，(2)1【分析】（1）由平面向量基本定理建立方程組即可得出答案.（2）三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，再用平面向量共線定理求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，所以，解得，.（2），，由于A，P，Q三點(diǎn)共線，所以存在，使，則，整理，得.因?yàn)閍，b不共線，所以，解得故實(shí)數(shù)t的值為1.20．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理將條件進(jìn)行邊角互化，然后根據(jù)三角恒等變換可得答案；（2）由可化得，然后，即可求出答案.【詳解】（1），由正弦定理得，，，，，又，，，（2）因?yàn)椋?，所以，，，，，，所?21．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.(1)若，且為實(shí)數(shù)，求的值；(2)若，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，存在使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),通過(guò)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)求出,結(jié)合的范圍即可求解.（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）（1）為實(shí)數(shù),可得,故，所以（2）復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是,,,,解得22．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是正三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若平面平面.①當(dāng)點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；②在平面內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)面面垂直的而判定定理證明即可；（2）①作輔助線，根據(jù)平移法找到異面直線與所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)說(shuō)明當(dāng)NFPC時(shí)，NF最短，此時(shí)，點(diǎn)H在棱BP上，然后通過(guò)解三角形求得相關(guān)線段長(zhǎng)，繼而求得的值.【詳解】（1）證明：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴ADAB，BC∥AD，∵BAD60，∴為正三角形；∵為正三角形，且E為AD中點(diǎn)，∴ADPE，且ADBE，∵PEBEE，∴AD平面PBE，∵BC∥AD，∴BC平面PBE，∵BC平面PBC，∴平面PBC平面PBE.（2）①取CD的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)M，∵F為PC中點(diǎn)，∴MF∥PD，MF，∴BFM就是異面直線BF和PD所成的角或所成角的補(bǔ)角.∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PEAD，∴PE平面ABCD，∴PEBE，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，∴與是全等的正三角形，∵M(jìn)、E分別為CD、AD的中點(diǎn)，∴PEBEBM，∴在中，，在中，，∴，∴在中，;②設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)