2021屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)模擬考試卷（九）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|f一3工一4,,0},B={y|y=2*},RiJAQB=()

A.[-1,4]B.(0,4]C.(0,1]D.[4,+00)

（分）若復(fù)數(shù)=匕義《為虛數(shù)單位）,

2.52則彳在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）（&-的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（)

X

A.-84B.-672C.84D.672

4.（5分）有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為3

個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和110個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要（）

A.4秒鐘B.5秒鐘C.6秒鐘D.7秒鐘

5.（5分）已知x,y>0,且2x+3y--=0,貝?。?x+2y的最小值是（）

A.275B.5A/2C.20D.25

6.(5分)設(shè)々=$皿2,則()

A.a2<2a<log!aB.log!a<T<a2

22

C.a2<log(a<2aD.10g)a<a2<2a

7.（5分）已知拋物線的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與圓/+》2=5交于加，N兩點(diǎn),

則而'.可7的值是（）

A.-4B.-5C.4D.不確定的

8.（5分）函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，X￡（YO,0）時(shí)，g<x）vO,g（2）=0.又

g（x）=f（x+1）,則（x+1）/（%）>0的解集為（）

A.（3,-w）B.{x\x^R,xwl}C.（l,+oo）D,或

x>3}

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（5分）已知命題p:Vx>0,lnx>0,則（

A.-p是真命題B.—<p:Vx>0,Inx,,0

C.0是真命題D.-yp:>0,Inx,,0

10.（5分）某研究機(jī)構(gòu)為了實(shí)時(shí)掌握當(dāng)?shù)匦略龈咚龠\(yùn)行情況，在某服務(wù)區(qū)從小型汽車中抽

取了80名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁俟C(jī)/〃）分成六段：[60,

65）[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如圖所示的頻率分布直

方圖.下列結(jié)論正確的是（）

頻率

八組距

0.060-

0.050

0.040

0.020

0.010

“6065707580859（）車速出〃外）

A.這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計(jì)值為77.5

B.在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛車，估計(jì)車速超過(guò)75加7//?的概率為0.65

C.若從樣本中車速在[60,70）的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在[65,

70）的概率為W

D.若從樣本中車速在[60,70）的車輛中任意抽取2輛，則車速都在165,70）內(nèi)的概率

為2

3

11.（5分）已知函數(shù)，（尤）=2sin（0x+0）3>O,|夕|<9的一條對(duì)稱軸方程為了=5，相鄰

的一個(gè)對(duì)稱中心為q,0）,則下列說(shuō)法正確的是（）

AC九

A.3=2,°=一

函數(shù)/（?在號(hào)卷]上單調(diào)遞減

將函數(shù)/（九）的圖像向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖像

D.若方程/*）=加/￡[-^,0]有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是（-2,-V3]

12.（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A3CO-ABCR中，P,M分別為棱CO,CQ的

中點(diǎn)，。為面對(duì)角線A由上任一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.平面APA/內(nèi)存在直線與A。1平行

o

B.平面APM截正方體A8C￡）-A3C。所得截面面積為二

8

C.直線AP和。。所成角可能為60。

D.直線AP和。Q所成角可能為30。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量已=（1,2）,方=（2,㈤,若,//（6+25）,則機(jī)=___.

14.（5分）若sin（x-二）=」，K>|sin（2x+—）=.

636

15.（5分）已知直三棱柱ABC-AgG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=2石，

AC=2后，AB1AC,朋=8,則球的表面積為.

22

16.（5分）已知雙曲線￡=1的兩焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)右焦點(diǎn)名的直線與雙曲線

E交于A,B兩點(diǎn)，若而=2庫(kù)且AAB耳為等腰三角形，則雙曲線E的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）在①q=2出，②"-々=4，③￡=6這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問

題中，若問題中正整數(shù)％存在，求&的值；若問題中的正整數(shù)Z不存在，說(shuō)明理由.

問題：已知等差數(shù)列｛”"｝的前〃項(xiàng)和為S,,各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為（，

工=2d=2,5,=7；,且,是否存在正整數(shù)％使7；轟必^7；成立？

18.(12分)如圖，在梯形A8CD中，AB//CD,AB=2,8=5,ZABC=一

3

(1)若AC=25，求梯形A8a＞的面積;

(2)若AC_LM,求tan/ABD.

19.（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面S8為鈍角三角形且垂直于底面A8CD,

底面為直角梯形且ZABC=90。，AB^AD=-BC,8=SZ）,點(diǎn)M是SA的中點(diǎn).

2

（1）求證：3￡>J_平面SCO;

（2）若直線SD與底面ABCD所成的角為60。，求S￡）與平面MB。所成角的正弦值.

20.（12分）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教

授于1974年發(fā)明的.魔方與華容道、獨(dú)立鉆石棋一起被國(guó)外智力專家并稱為智力游戲界的

三大不可思議，而魔方受歡迎的程度更是智力游戲界的奇跡.通常意義下的魔方，即指三階

魔方，為3x3x3的正方體結(jié)構(gòu)，由26個(gè)色塊組成.常規(guī)競(jìng)速玩法是將魔方打亂，然后在最

短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原.截至2020年，三階魔方還原官方世界紀(jì)錄是由中國(guó)的杜宇生在2018年

11月24日于蕪湖賽打破的紀(jì)錄，單次3.475秒.

（1）某魔方愛好者進(jìn)行一段時(shí)間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓(xùn)

練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

X（天）1234567

y（秒）99994532302421

現(xiàn)用），=“+。作為回歸方程類型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)該魔方愛好

X

者經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練后最終每天魔方還原的平均速度)，約為多少秒(精確到1)?參考數(shù)據(jù)(其中

7

為馬必z72

￡z-7xz

1=1

i=li

18450.370.55

(2)現(xiàn)有一個(gè)復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動(dòng)最外側(cè)的六個(gè)表面.某人按規(guī)定

將魔方隨機(jī)扭動(dòng)兩次，每次均順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90。，記頂面白色色塊的個(gè)數(shù)為X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望E(X).

22

21.(12分)已知A(-2,0),8(1,0),橢圓C:=+4=l(a>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且焦距為4.

a

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)桶圓C的右焦點(diǎn)的直線L與橢圓C交于N兩點(diǎn)，求|兩+麗|的最小值；

22.(12分)已知函數(shù)/(x)="+e-',其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)設(shè)存在+8),使得/(/)<。(-石+3x0)成立，求正實(shí)數(shù)。的取值集合A；

(2)若aeA,比較與優(yōu)的大小，并證明你的結(jié)論.

答案

1.解：集合A={X|V-3X-4,,0}=[-1,4],B={y|y=2'}=(0,+oo),

貝|」40|8=(0,4],

故選：B.

、例1+2/(1+20(1+0-1+3/13.

2.解：?/z=----=-----------------=---------=-----\--i,

\-i(1-/)(1+0222

則2=-;-手在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(一，管所在象限為第三象限.

故選：C.

0O9-3r

3.解：(五一⑶的展開式的通項(xiàng)為乙=C；(五產(chǎn)(一)，=(-2)P；x亍,

XX

令9—3r=O,得r=3,所以常數(shù)項(xiàng)為(-2)?C；=-672.

故選：B.

4.解：1+3+3F3+…+3"-'..110,

]—3〃

...-------..110,.?.3〃..221,解得幾.5.

1-3

即至少需5秒細(xì)菌將病毒全部殺死.

故選：B.

5.解：x,y>0時(shí)，且2x+3y-A}，=0,所以2x+3y=Ay,

32

即±+*=1,

所以3x+2y=(3x+2y)(2+2)=9+4+”+^..13+6x2j).V=25,

xyxyYxy

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=5時(shí)取等號(hào)，

所以3x+2y的最小值是25.

故選：D.

6.解：V67=sin2,—<2<—<a<\,

2492

5ii

log?a<log?——=—,且一</<1,2">1,

22222

logIQ<<2",

故選：D.

7.解：拋物線V=_4x的焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(_i,o),

設(shè)直線/方程為x=4y-l,M(X],y),N(X2,y2),

所以x,=物-1,x2=ky2-\,

卜+)5n(/+])y2_2外_4=0n%+y,=_^_,yy,=

[x=?-l'-k2+\-6公+i

MF=(x,+1,%),NF=(x2+1,%)，

2

MF-=(%+l)(x2+1)+y%=⑥??2+X%=*+l)-^j=-4.

故選：A.

8.解：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以g(x)為偶函數(shù)，則g(-2)=g(2)=0,

當(dāng)X€(-8,0]時(shí)，g'(x)<0,故g(x)為單調(diào)減函數(shù)，

所以當(dāng)X€(0,+oo)時(shí)，g'(x)>0,故g(x)為單調(diào)增函數(shù)，

故當(dāng)x<-2或x>2時(shí)，g(x)>0,

當(dāng)-2<x<2時(shí)，g(x)<0,

因?yàn)間(x)=/(x+D，則/(x)=g(x-l)，

故不等式(x+1)/(x)>0即為(x+l)g(x-1)>0,

在I“天卜+1>°jx+l<0

x-l(-2或x-l)2[-2<x-1<2

解得x>3或xe0,

所以(x+l)/(x)>0的解集為(3,+oo).

故選：A.

9.解：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

命題p:Wx>0,lnx>0,是全稱命題，它的否定是：3x>0,I咚0,所以8錯(cuò)誤，。正

確；

當(dāng)x>l時(shí)，/nr>0；當(dāng)0<x<l時(shí)，lnx<0.所以A正確；C錯(cuò)誤；

故選：AD.

10.解：對(duì)于A：由圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值至圖=77.5,故A

2

正確，

對(duì)于B：車速超過(guò)75A〃//2的(0.06+0.05+002)x5=0.65,故8正確，

對(duì)于C：從樣本中車速在［60,70)的車輛有(0.01+0.02)x5x80=12輛，

車速在［60,65)的車輛有0.01x5x80=4輛，車速在［65,70)的車輛有8輛,

中任意抽取2輛，車速都在［60,65)的概率為§=

11

則至少有一輛車的車速在［65,70)的概率為1_\=號(hào)，故C正確,

對(duì)于。：車速都在［65,70)內(nèi)的概率為*=郎，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.解：函數(shù)/(x)=2sin(s+°)3>0,|>|<卞的一條對(duì)稱軸方程為x=相鄰的一個(gè)

對(duì)稱中心為(方，0),

則周期7=4x(工—2)=%=生，解得0=2,

312①

又sin(2x—+^?)=±1,\(p\<—,

解得夕=色，可得A不正確.

TT

/(%)=2sin(2x+―).

由可得：(2x+至e年，苧，可得函數(shù)〃x)在弓,自上單調(diào)遞減，因此5正

確.

將函數(shù)/(x)的圖像向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到y(tǒng)=f(x-C)=2sin2x,為一個(gè)奇函數(shù)，

66

因此C正確.

由0］,可得2x+q)￡|-夸，y］,可得y=sin(2x+$在］￡［一］,一卷］上單調(diào)

遞減，在(-卷，0］上單調(diào)遞增.

若方程/(x)=〃?/€［-宗0］有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)-2<以，-73,因此機(jī)的取值范圍

是(-2,—y/3］■因此。正確.

故選：BCD.

12.解：A選項(xiàng)：直線AA//平面A8C￡),平面A88C平面APM=直線AP,

直線AP與直線AR不平行，于是A錯(cuò)；

8選項(xiàng)：平面A/W截正方體為平面4PM隹，該四邊形為等腰梯形，

5=1(也+應(yīng))x述=2,于是3正確；

2248

C,。選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)。在A時(shí)兩直線的夾角最小，當(dāng)。在8處時(shí)兩直線的夾角最大,

cosOe［吟,半］,所以可得cos6(Te［嚓,乎］,于是C正確，

cos3(re［嚕,乎］,故。錯(cuò)誤.

故選：BC

13.解：@+26=(1,2)+2(2,^)=(5,2+2/n),

,ra/l(ci+2b),

.,.2+2m—2x5=0?解得〃？=4.

故答案為：4.

14.解：^rsin(x--)=--,

63

則sin(2x+?)=sin［2(x-^)+^］=cos［2(x-y］=l-2sin2(x-^)=^.

故答案為：

9

15.解：由題意畫出幾何體的圖形如圖,

題意得知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則三棱柱為球O的內(nèi)接直

三棱柱(如圖所示)；由勾股定理可知

BC=J(2(>+(2病2=$,

可得球O的半徑R=08=1依+82=5,

2

由公式S=4mR2有球的表面積S=4^x52=100萬(wàn).

故答案為：100〃.

16.解：當(dāng)A8=A6時(shí)，設(shè)|月8|=6，\AF2|=2W,則|耳3|=2〃+6，|A4|=2a+2機(jī)，

?.1A3RAK.\3m=2a+2m,即勿二小，得|耳聞=26，|RA|=3相，

tn2+4c2-4m24m2+4c2-9m2八

由cosN耳￡8+cosNf；凡A=0,得--------------------+----------------------=0，

4ctnScm

22

cc11,曰c底

「.-7=-7=—,fee=-=——；

ni24/4a212a3

當(dāng)A3=B6時(shí)，設(shè)|64|=m，\AF21=2/H,貝力43|=2々+機(jī)，\AF1|=2a+2mf

AB\=\BF,\,:.3m=2a+m,得。=機(jī)，則|43|=36，|4A|=4m,

a2+4c之-9a24a2+4c2-16a2八

由coscosZFFB+cosZFFA=0,得------------------+----------------------=0,

l2l24ac4ac

D得，￡_叵

a3

故答案為：亭或筌

17.解：選①％=2%,

?.?｛“,｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，設(shè)其公差為d.

r.a,=E=1,則an=al+(n—l)d=1+(〃-l)d，

?j4=24，1+3<7=2(1+d)i得d=l,

a?=n,S?=1M(M+1)；

???等比數(shù)列｛々｝的前〃項(xiàng)和為T?,設(shè)其公比為g,

,/7]=25,=2,S3=T2,:.b｛=Tt=2,T2=bt+h2=S3=6,得4=4,

:.q=J=2,則"=60i=2",T?=h'^~qn)=T+'-2,

4i-q

4融S/7；=26-2歌/+1)2,-2=62歌(A+1)126,

可得Z=8,9,10,

存在正整數(shù)％使4張必反Th,4=8,9,10；

選②&心=4,

?.?各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為7；,設(shè)其公比為<7,bn>0,q>0.

?.?工=2sl=2,bt=2,則2=如"一=2(7"，

?.?&-4=4,：.2q2-2q=4,解得q=2或<?=-1(舍去負(fù)的)

,'+|

b?=2",Tn="Q"q")=2-2；

i-q

?.?｛《,｝是等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S“，設(shè)其公差為

4=S1=1,an=a,+(n—l)d=1+(〃-l)d,

,jS3=*,r.S3=4+a,+4=3+3d=4+4=6,得d=1,

SL/S+D，

則7；麴2sA(o62領(lǐng)Jl(Z+l)126,kwN*=k=8,9,10,

存在整數(shù)上使4強(qiáng)必S*7；,k=8,9,10；

選③7；=6,

?.?各項(xiàng)為正的等比數(shù)列屹“｝的前一項(xiàng)和為7；,,設(shè)其公比為4,b?>0,q>0.

?.-71=25,=2,:.b,=2,則2=2/1,

2

T3=2+2q+2q=6,:.q=\^q=-2(舍去負(fù)的)，

2=2,Tn=nb、=2n；

?.?｛4｝是等差數(shù)列，前葭項(xiàng)和為S“，設(shè)其公差為

4=S]=1,/.an=4+(n-l)d=\+(n-\)d,

S3=T2t/.4+勺+%=3+3d=4+4=4,得d=；,

a”=—(77+2),S=-n(n+5)，

36n

T^Sk7；ol噴ig左伏+5)12=3噴*/+5)36,

?.?//)=-A+5),AwN*是單調(diào)遞增的，且/(3)=24,f(4)=36,;"=4.

存在唯一的正整數(shù)％=4使7；強(qiáng)必^Tb.

18.解：(1)設(shè)BC=x,在AABC中，由余弦定理可得28=1+4-2x-2?(-g),整理可得:

X2+2X-24=0,解得X=4,

所以BC=4,貝IJSMHC='X2X4X巫=26，

zviov22

因?yàn)?=碼，所以凡8=雙竺=58，

所以S梯形ASCO=S&I8C+^AACD=7/；

(2)設(shè)ZA8D=c,則N8OC=c,ABAC=--a,ZDBC=--a.ZBCA=a--,

236

2BC

在A/WC中，由正弦定理可得--一

sin(a-￡)sin(y-a)

在ABC。中，由正弦定理可得一?！?匹

sin(\-a)即々

c?*61.、

2sin(-^-a)2-(—cosa+-sina)

兩式相除可得——；，展開可得一j=----------z--------sina

cosa

5sin(a-—)sin(--a)5?(―sina--cosa)

62v22

所以可得5\/5sin2a-7sinacosa-275cos*a=0,

即5Gtan2a-7tana-26=0,

ATjzg2\/3_1Xy/3

解得tana=------或tana=-------,

35

又因?yàn)閍w(乙，-),

62

所以tana=哀3,即tanZABD=冬8.

33

19.(1)證明：取3c的中點(diǎn)石，連接0E,

設(shè)AB=a,則AD=a,BC=2a,BE=-BC=a,

2

vZABC=90°,ADI/BE,AD=BE,

.,?四邊形AB瓦)是正方形，

:.BD=41a,DE1,BC,DE=CE=a,

CD=\[2a,

:.BD2+CD2=BC2,故BDLCD,

.?平面SCD_L平面ABCD,平面SCDC平面ABCD=CD,BDu平面ABCD,BD工CD,

.?.801.平面SCO.

(2)解：過(guò)S作SN_LCD,交CD延長(zhǎng)線于N,

???平面SCD_L平面ABC。，平面SCDC平面ABCD=CD,SNu平面SCD,SN工CD,

.??5^^3_平面筋8,

「.NSOV為直線S￡＞與底面ABC。所成的角，故NSDV=60。，

?：SD=CD=。，皿=%，SN=%,

以。為原點(diǎn)，以DB,DC,及平面ABC￡＞的過(guò)點(diǎn)。的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

D-xyz,如圖所示,

A/2

則B(亞a,0,0),D(0,0,0),A(—a,--a,0),5(0,----Cl，

222

是SA的中點(diǎn)，(也a,--a,

42

/.DS=(0)--——ci,,DB=(42a,0,0),DM=(—a,-—a,

242

n-DB=0

設(shè)平面加8。的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),則.,即04+￡z=0

n-DM=0——ax-

424

令z=2可得元=(0,G，2),

.?.cos<?,麗>=上三富鼠=@,

\ii\\DS\V7xV2a14

SD與平面MBD所成角的正弦值為|cos＜萬(wàn)，DS＞\=^-.

xy

hjj(?\由日而上4如—99+99+45+32+30+24+21

20.解：(1)由題懸燈知：y=--------------------------=50,

7

7

￡z,y,-7萬(wàn)

184.5-7x0.37x50_

濟(jì)號(hào)--------------------------------------=1iVnVn,

0.55

,=!

八_11ifI

所以3=尸一歷=50—100x0.37=13,因此y關(guān)于元的回歸方程為：y=13+—,

x

所以最終每天魔方還原的平均速度y約為13秒;

(2)由題意可知：X的可能取值為3,4,6,9,

尸—3)=念＜”嗡1

A；A；J

P(X=6)=A|(l+AJ+A2A1_*,p(x=9)=

6x66^6-9

所以X的分布列為:

X3469

p25

9999

數(shù)學(xué)期望為E(X)=3x4+4x2+6x3+9xl=竺.

99999

21.解：(1)根據(jù)題意，橢圓C:4+]=l(a>b>0),其焦點(diǎn)在x軸上,

a~h

焦距為4,則c=2,則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為耳(-2,0),5(2,0),

橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則2〃=|耳川+1工川=7^+46+2=4上,則有。=20,

222

則b=a—c=2f

故橢圓的方程為旦+《=1;