第第12章靜電場60°,一半均勻帶正電,另一半均勻帶負電,其電線密度分別為+丸和-九求圓心處的場強.圖13.1圖13.1P35．12．3如圖所示，在直角三角形ABCD的A點處，有點電荷q1=1.8X10-9C,B點處有點電荷q2=-4.8X10-9C,AC=3cm,BC=4cm,試求C點的場強.［解答］根據(jù)點電荷的場強大小的公式

［解答］在帶正電的圓弧上取一弧元ds=Rd仇電荷元為dq=丸ds,在O點產(chǎn)生的場強大小為dE=J-ql='弛二'd04兀eR2 4兀eR2 4兀eR00 0E=kq=r21q場強的分量為dE=dEcosQ,dE=dEsinQ.，4?！阹20其中1/(4ne0)=k=9.0x109N-m2-C-2.點電荷q1在C點產(chǎn)生的場強大小為E二———q-14ksAC20x對于帶負電的圓弧，同樣可得在O點的場強的兩個分量.由于弧形是對稱的，％方向的合場強為零,總場強1QIC=9x109X *0-9=1.8X104(N-C-1)，(3x10-2)2方向向下．點電荷q2在C點產(chǎn)生的場強大小為尸1?q?E= 2—24?！闎C20沿著y軸正方向，大小為E=2E=JdEsin0yL九?！? 九 Jsin0d0= (-cos0)2兀eR 2兀eR00 0兀/60=9X109X4.8X10-9=2.7X104(N?C-1)，(4x10-2)2方向向右．C處的總場強大小為E=?、E22+E2

" 1 2=0.9<13x104=3.245x104(N-C-1)，總場強與分場強E2的夾角為E0=arctane^=33.69°.2

12.5均勻帶電細棒，棒長a=20cm,電荷線密度為丸=3x10-8Cm-1,求：(1)棒的延長線上與棒的近端d1=8cm處的場強；(2)棒的垂直平分線上與棒的中點相距d2=8cm處的場強.［解答］(1)建立坐標系，其中L=a/2=0.1(m),0.1(m),x=L+d1=0.18(m).在細棒上取一線元dl，所帶的電12.4半徑為R的一段圓弧，圓心角為

量為dq=丸dl,根據(jù)點電荷的場強公式，電荷元在々點產(chǎn)生的場強的大小為dq 九dldE=k-= i r2 4兀e(x—l)20E fsin0d0y 4兀ed02l--L場強的方向沿x軸正向.因此P一點的總場強大小通過積分得入A cos04兀ed02l--LE=—f dli4兀e (x-l)20一Ll--L入入__4兀ex-l04兀%dd22+L202%21 2L九 … . ①4兀ex2-L20將數(shù)值代入公式得P1點的場強為將數(shù)值代入公式得P2點的場強為2x0.1義3x10-8E-9x109x y 0.08(0.082+0.12)1/2E-9義109義12*0.1義3義10-80.182-0.12=5.27x103(NC1).方向沿著y軸正向.［討論］(1)由于L=a/2,x=L+dj代入①式，化簡得=2.41X103(NC1)，九aE- 1 4兀edd+a01 1方向沿著x軸正向.保持d1不變，當a-8時01 1可得(2(2)建立坐標系，y=d2.在細棒上取一線元dl,所帶的電量為dq=丸dl,在棒的垂直平九E- ,4兀ed01這就是半無限長帶電直線在相距為d1的延長線上產(chǎn)生的場強大小.(2)由②式得當當a一8時，分線上的P2點產(chǎn)生的場強的大小為dq入dl

dE-k ,r2 4兀er20由于棒是對稱的，x方向的合場強為零，y分量為 dE=dE2sin3.由圖可知：r=d2/sin3,l=d2cot3,所以 dl=-d2d3/sin23，― ―九因此 dE--———sin0dO,y 4兀ed02總場強大小為4?！?d2dd++(a/2)2

12\；(d2/a)2+(1/2)2'

得九-7； T~，2兀ed02這就是無限長帶電直線在線外產(chǎn)生的場強公式.如果d1=d2,則有大小關系Ey=2E1.12．612．6一均勻帶電無限長細棒被彎成如圖所示的對稱形狀，試問e為何值時，圓心o點處的場強為零．［解答］設電荷線密圖13.4方向沿著1軸負向．當O點合場強為零時，必有E=E，11可得 tane/2=1，因止匕 e/2=n/4，所以 e=n/2.度為九先計算圓弧的電荷在圓心產(chǎn)生的場強．在圓弧上取一弧元 ds=Rd5所帶的電量為強．在圓弧上取一弧元 ds=Rd5所帶的電量為dq=Ads,y’b*b.Od1由于兩根半無限長帶電直線對稱放置，它們在O點產(chǎn)生的合場強為—O b/2 ln(b/2+a—1)2?！? —b/20X 0=2E'cos—= cos—2 2?！闞 20 ln(1+—). ①2?！阛0在圓心處產(chǎn)生的場強的大小為dq九ds XdE=k—= = d①,r24?！闞24兀￡R00由于弧是對稱的，場強只剩1分量，?。ポS方向為正，場強為dE1=-dEcos5．總場強為—X2兀干/2 Jcos①d①4?！闞TOC\o"1-5"\h\z0 0/2—X 2兀-0/2 sin①4?！闞0 0/2X0 sin—2成R20方向沿著1軸正向．再計算兩根半無限長帶電直線在圓心產(chǎn)生的場強．根據(jù)上一題的公式③可得半無限長帶電直線在延長上O點產(chǎn)生的場強大小為12.7—寬為b的無限長均勻帶電平面薄板，其電荷密度為。，如圖所示.試求：（1）平板所在平面內(nèi)，距薄板邊緣為。處的場強.（2）通過薄板幾何中心的垂直線上與薄板距離為d處的場圖13.5強.［解答］（1）建立坐標系.在平面薄板上取一寬度為d1的帶電直線，電荷的線密度為dA=ad1,根據(jù)直線帶電線的場強公式E_X2?！阹'0得帶電直線在P點產(chǎn)生的場強為dX od1dE= = ,2?！阹2?！辏╞/2+a—1）00其方向沿1軸正向.由于每條無限長直線在P點的產(chǎn)生的場強方向相同，所以總場強為E二工bJ2-12底 b/2+a—10—b/2

場強方向沿x軸正向.(2)為了便于觀察，將薄板旋轉建立坐標系.仍然在平面薄板上取一寬度為dx的帶電直線，電荷的線密度仍然為

九 arctan(b/2d)2兀ed b/2d，0當b一0時，薄板就變成一根直線，應用羅必塔法則或泰勒展開式，場強公式變?yōu)榫臙f ,z 2兀ed0這也是帶電直線的場強公式.當b-8時，可得dA=adx,帶電直線在Q點產(chǎn)生的場強為oEf——,z2e0dE=dEcosdE=dEcos0=zocos0dx2兀e(b2+x2)1/2，0九ln(1+b/a)E- ,圖13.72兀er 2兀e(b2+x2)1/200沿z軸方向的分量為設x=dtan仇貝Udx=dd8/cos2仇因止匕dE=dEcos0=—0—d0積分得TOC\o"1-5"\h\zarctan(|b/2d) O02兀e一arctan(b/2d) 0barctan(——). ②2d場強方向沿軸正向.［討論］(1)薄板單位長度上電荷為丸=ab,①式的場強可化為2?！阛 b/a0當b一0時，薄板就變成一根直線，應用羅必塔法則或泰勒展開式，場強公式變?yōu)榫?/p>

Ef ,2兀ea0這正是帶電直線的場強公式.

(2)②也可以化為

這是無限大帶電平面所產(chǎn)生的場強公式．12.8(1)點電荷q位于一個邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體一面的電通量是多少？(2)如果將該場源點電荷移到立方體的的一個角上，這時通過立方體各面的電通量是多少？［解答］點電荷產(chǎn)生的電通量為

%=q/0.(1)當點電荷放在中心時，電通量要穿過6個面，通過每一面的電通量為①1=①！6=q/6￡0.(2)當點電荷放在一個頂角時，電通量要穿過8個卦限，立方體的3個面在一個卦限中，通過每個面的電通量為①1=Q/24=q/24￡0；立方體的另外3個面的法向與電力線垂直，通過每個面的電通量為零.12.9面電荷密度為a的均勻無限大帶電平板，以平板上的一點0為中心，R為半徑作一半球面，如圖所示．求通過此半球面的電通量．［解答］設想在平板下面補一個半球面，與上面的半球面合成一個球面．球面內(nèi)包含的電荷為q=nR2a,通過球面的電通量為

%二姓0,通過半球面的電通量為%="/2=nR2o/2e0.10兩無限長同軸圓柱面，半徑分別為R1和R2(R1>R2),帶有等量異號電荷，單位長度的電量為丸和-九求(1)「<R1；(2)R1<r<R2；(3)r>R2處各點的場強.［解答］由于電荷分布具有軸對稱性，所以電場分布也具有軸對稱性．(1)在內(nèi)圓柱面內(nèi)做一同軸圓柱形高斯面，由于高斯內(nèi)沒有電荷，所以E=0，(r<R1)．(2)在兩個圓柱之間做一長度為l,半徑為r的同軸圓柱形高斯面，高斯面內(nèi)包含的電荷為q=Xl,穿過高斯面的電通量為①=NE-dS=JEdS=E2兀rleS S根據(jù)高斯定理①e=q住0,所以E=—^，(R[<r<R).2ksr1 20(3)在外圓柱面之外做一同軸圓柱形高斯面，由于高斯內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，所以E=0，(r>R2).11—厚度為d的均勻帶電無限大平板，電荷體密度為夕，求板內(nèi)外各點的場強.［解答］方法一：高斯定理法.(1)由于平板具有面對稱性，因此產(chǎn)生的場強的方向與平板垂直且對稱于中心面：E=E'.在板內(nèi)取一底面積為S，高為2r的圓柱面作為高斯面，場強與上下兩表面的法線方向平等而與側面垂直，通過高斯面的電通量為

①JE-dSeS=]E.dS+JE.dS+JE.dSS1 S2 S0=ES+ES+0=2ES,高斯面內(nèi)的體積為 V=2rS，包含的電量為q=pV=2prS,根據(jù)高斯定理 ”=q/e0,可得場強為 E=pr/e0,(0三r=d/2).①(2)穿過平板作一底面積為S，高為2r的圓柱形高斯面，通過高斯面的電通量仍為 ①e=22r的圓柱形高斯面，通過高斯面的電通量仍高斯面在板內(nèi)的體積為V=Sd,包含的電量為q=pV=pSd,根據(jù)高斯定理 ”=q/e0,可得場強為 E=pd/2e0,(r叁d/2).②方法二：場強疊加法.(1)由于平板的可視很多薄板疊而成的，以r為界,下面平板產(chǎn)生的場強方向向上,上面平板產(chǎn)生的場強方向向下.在下面板中取一薄層dy,面電荷密度為do=pdy,產(chǎn)生的場強為 dE1=do/2e0,積分得fpdyp/d、J=一(r+-)，③TOC\o"1-5"\h\z2s 2s2—d/2 0 0同理,上面板產(chǎn)生的場強為E=dJ段"(d-r)，④2 2s 2s2r0 0r處的總場強為E=E1-E2=pr/e0.(2)在公式③和④中，令r=d/2,得E2=0、E=E1=pd/2e0,E就是平板表面的場強.平板外的場強是無數(shù)個無限薄的帶電平板產(chǎn)生的電場疊加的結果，是均強電場，方向與平板垂直，大小等于平板表面的場強，也能得出②式.

12.1212.13一半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為p，若在球內(nèi)挖去一塊半徑為R'<R的小球體，如圖所示，試求兩球心O與O'處的電場強度，并證明小球空腔內(nèi)的電場為均圖13.10強電場.［解答］挖去一塊小球體，相當于在該處填充一塊電荷體密度為-p的小球體，因此，空間任何一點的場強是兩個球體產(chǎn)生的場強的疊加.對于一個半徑為R，電荷體密度為p的球體來說，當場點P在球內(nèi)時，過P點作一半徑為廠的同心球形高斯面，根據(jù)高斯定理可得方程14E4兀r2= 兀r3p830P點場強大小為E=&r,

380當場點P在球外時，過P點作一半徑為r的同心球形高斯面，根據(jù)高斯定理可得方程14E4兀r2= 兀R3p830

體在O'點產(chǎn)生的場強為零，大球在O點產(chǎn)生的場強大小為P a,380方向也由O指向O'.［證明］在小球內(nèi)任一點P，大球和小球0方向如圖所示.0設兩場強之間的夾角為仇合場強的平方為E2=E2+E斗2EEcos0

rr rr=(-P-)2(r2+r'2+2rr'cos0),380根據(jù)余弦定理得a2=r2+r2-2rrcons+0,)所以E=2a,380可見：空腔內(nèi)任意點的電場是一個常量.還可以證明：場強的方向沿著O到O、的方向.因此空腔內(nèi)的電場為勻強電場.P點場強大小為38r2

0O點在大球體中心、小球體之外.大球體在O點產(chǎn)生的場強為零，小球在O點產(chǎn)生的場強大小為pR'3

,

38a20方向由O指向O'.O'點在小球體中心、大球體之內(nèi).小球

12.14如圖所示，在A、B兩點處放有電量分別為+q和-q的點電荷，AB間距離為2R,現(xiàn)將另一正試驗電荷q0 /D"""\從O點經(jīng)過半圓A-O--B '->弧路徑移到C+qqC點，求移動過程 圖13.11中電場力所做的功.［解答］正負電荷在O點的電勢的和為零：UO=0；在。點產(chǎn)生的電勢為(r三R)；-fq4兀e(r三R)；-fq4兀eR3r0由于E二Q，4?！阹2

0一Q一(R2-r2)+ Q8兀eR3 4兀eR00U-U=jE-dl=jEdrR9RRQ(3R2-r2)8兀eR3

0fQ. -Q9二J dr 4兀er2 4兀erR0 0R_Q一，

4兀eR

0當U=0時，U--QR 9 4兀eR12.18在y=-b和y=b兩個“無限大”平面間均勻充滿電荷，電荷體密度為。其他地方無電荷.(1)求此帶電系統(tǒng)的電場分布，畫E-y圖；(2)以y=0作為零電勢面，求電勢分布，畫E-y圖.TOC\o"1-5"\h\zq, -q -qu= + = ,c 4?！?R4?！闞 6?！闞0 00電場力將正電荷q0從O移到C所做的功為w=q0uod=q0(uo-ud)=q0q/6n0R?12．15真空中有兩塊相互平行的無限大均勻帶電平面A和B.A平面的電荷面密度為2。,B平面的電荷面密度為。，兩面間的距離為d.當點電荷q從A面移到B面時，電場力做的功為多少？［解答］兩平面產(chǎn)生的電場強度大小分別為EA=20/20=°/0，EB=0/20，兩平面在它們之間產(chǎn)生的場強方向相反,因此，總場強大小為E=EA-EB=0/2￡0，方向由A平面指向B平面.兩平面間的電勢差為u=Ed=0d/2￡0，當點電荷q從A面移到B面時，電場力做的功為w=qu=q0d/2￡0.12.16一半徑為R的均勻帶電球面,帶電量為。.若規(guī)定該球面上電勢值為零,則無限遠處的電勢為多少？［解答］帶電球面在外部產(chǎn)生的場強為12.17電荷Q均勻地分布在半徑為R的球體內(nèi)，試證明離球心r(r<R)處的電勢為Q Q(3R2-r2)U-.8兀eR304［證明］球的體積為V-3兀R3，電荷的體密度為 p=Q=3Q-.V 4兀R3利用13.10題的方法可求球內(nèi)外的電場強度大小為E=r-3e0取無窮遠處的電勢為零，則r處的電勢U-fE-dl-fEdr+fEdr9Qrdr+J dr4兀er2R0圖圖13.16［解答］平板電荷產(chǎn)生的場強的方向與平板垂直且對稱于中心面：E=E'，但方向相反．(1)在板內(nèi)取一底面積為S，高為2y的圓柱面作為高斯面，一b場強與上下兩S.,表面的法線方付面垂直，通過高斯面的電通量為①=JE-dSeS=JE-dS+JE?dS+JE-dS=2ES.S1 S2 S0高斯面內(nèi)的體積為V=2yS，包含的電量為q=pV=2pSy,根據(jù)高斯定理 Q=q/80,可得場強為 E=py/eo,(-b=y=b).穿過平板作一底面積為S,高為2y的圓柱形高斯面,通過高斯面的電通量仍為地①e=2ES,高斯面在板內(nèi)的體積為V=S2b,包含的電量為 q=pV=pS2b,根據(jù)高斯定理 ①e=q/e0,可得場強為 E=pb/e0, (b=y)；E=-pb/e0,(三).E-y圖如左圖所示.(2)對于平面之間的點,電勢為U=-JE-dl=-\Pydy80

U=」E.dl=」nqbdy=-皿y+c,8800在y=b處U=-pb2/2e0,所以C=pb2/2e0,因此電勢為PbU=-y+80280（b三280（b三y）?U二」E-dlJ弛dy二段y+C,8800在y=-b處U=-pb2/2e0,所以C=pd2/2e0,因此電勢為pPbU=y80十P十Pb2

280Pb Pb2U=- IyI+--,(Iyi=)?8 2800這是兩條直線．U-y圖如右圖所示.U-y圖的斜率就形成E-y圖，在y=±b點，電場強度是連續(xù)的，因此，在U-y圖中兩條直線與拋物線在y=±b點相切.［注意］根據(jù)電場求電勢時,如果無法確定零勢點,可不加積分的上下限,但是要在積分之后加一個積分常量．根據(jù)其他關系確定常量,就能求出電勢,不過,線積分前面要加一個負號,即U=」E-dlPy2八+c2e0這是因為積分的起點位置是積分下限．在y=0處U=0,所以c=0,因此電勢為

12．19兩塊“無限大”平行帶電板如Py2U=-——,(-b三y三b).

2e0這是一條開口向下的拋物線．當y叁b時，電勢為

圖所示，A板帶正電，B板帶負電并接地(地的電勢為零)，設的電勢為零)，設A和B兩板相隔5.0cm,板上各帶電荷g3.3x10-6Cm-2,求：(1)在兩板之間離A板1.0cm處P點的電勢；(2)A板的電勢.［解答］兩板之間的電場強度為總電勢為E=O/￡0,方向從A指向B.以B板為原點建立坐標系，則rB=0，rP=-0.04m，rA=-0.05m．(1)P點和B板間的電勢差為U=±f?4兀8 r-10-L-九］ ,L= ln(r-1)4兀8\o"CurrentDocument"0 l=-LU—U=fE-dl=IedrPBo=—(r-r),

8BP0由于UB=0,所以P點的電勢為3.3義10-68.84義10-12*0.04=1.493x104(V).(2)同理可得A板的電勢為oU=—(r-r)=1.866x104(V).A8BA012.20電量q均勻分布在長為2L的細直線上,試求：(1)帶電直線延長線上離中點為r處的電勢；(2)帶電直線中垂線上離中點為r處的電勢；(3)由電勢梯度算出上述兩點的場強.［解答］電荷的線密度為丸=q/2L.(1)建立坐標系，在 ?。踨」細線上取一一 ~~~十線元di,所帶工 ordrLP1”的電量為dq=丸dl,根據(jù)點電荷的電勢公式，它在P1點產(chǎn)生的電勢為dU1=qlnr±L8兀8Lr-L0(2)建立坐標系,在細線上取一線元dl,所帶的電量為dq=丸dl,在線的垂直平分線上的P2點產(chǎn)生的電勢為積分得dU2入 dl,4兀8(r2+l2)1/20口14兀8 (r2+12)1/20-Ldlln(\'r2+12+1)l=-Lq r2+L2+LIn 8兀8L \.；r2+L-L0 'qr<r2+L2+L-——In P1點的場強大小為口 auE=-1ar=q14兀8r2-L20方向沿著”軸正向.r+LSU—0．B點的場強為SU—0．B點的場強為E—一BTOC\o"1-5"\h\zP2點的場強為SUE—— 2-2 Sr\o"CurrentDocument"qr1_ r [———: ; 4兀80LrJr2+L2(Jr2+L2+L)q1方向沿著y軸正向.［討論］習題13．3的解答已經(jīng)計算了帶電線的延長線上的場強為「 1 2L九E— ,1 4兀8x2-L20由于2"=q，取x=r，就得公式①.（2）習題13．3的解答還計算了中垂線上的場強為口1 2L九E—y4兀8ddd2+L2

0 2 2取d2=r，可得公式②.由此可見，電場強度可用場強疊加原理計算，也可以用電勢的關系計算．12．21如圖所示，一個均勻帶電，內(nèi)、外半徑分別為R1和R2的均勻帶電球殼，所帶電荷體密度為"，試計算：（1）A，B兩點 圖13.18的電勢；（2）利用電勢梯度求A，B兩點的場強．［解答］（1）A點在球殼的空腔內(nèi)，空腔內(nèi)的電勢處處相等，因此A點的電勢就等于球心O點的電勢.在半徑為r的球殼處取一厚度為dr的薄殼，其體積為dV=4nr2dr,包含的電量為dq=pdV=4npr2dr,在球心處產(chǎn)生的電勢為dq PadU— — rdr,O 4兀8r800球心處的總電勢為U——frdr—（R2—R2）,O8 28 210R1 0這就是A點的電勢UA.過B點作一球面，B的點電勢是球面外的電荷和球面內(nèi)的電荷共同產(chǎn)生的．球面外的電荷在B點產(chǎn)生的電勢就等于這些電荷在球心處產(chǎn)生的電勢，根據(jù)上面的推導可得U—-L（R2—r2）1 28 2B．0球面內(nèi)的電荷在B點產(chǎn)生的電勢等于這些電荷集中在球心處在B點產(chǎn)生的電勢．球殼在球面內(nèi)的體積為4V——兀（r3一R3）,3B1包含的電量為Q=pV，這些電荷集中在球心時在B點產(chǎn)生的電勢為U—Q —-^-(r3-R3).2 4兀8r 38rB10B 0BB點的電勢為UB=U1+U2——(3R2-r2-2").

68 2Br0B(2)A點的場強為SUPR3——B———(r―一).Sr 38 Br2B0 B

［討論］過空腔中A點作一半徑為廠的同心球形高斯面，由于面內(nèi)沒有電荷，根據(jù)高斯定理，可得空腔中A點場強為E=