2021年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《1.2矩形的性質(zhì)與判定》同步優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練

1.若順次連接四邊形A8C。各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形ABCO一定是（）

A.矩形B.菱形

C.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形D.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形

2.在△ABC中，點(diǎn)。是邊BC上的點(diǎn)（與B,C兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)。作。E〃AC,DF//

AB,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若則四邊形尸是矩形

B.若AQ垂直平分BC,則四邊形AEQF是矩形

C.若BD=CD,則四邊形AEQF是菱形

D.若4。平分/BAC,則四邊形AED尸是菱形

3.已知平行四邊形ABCD,下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）

A.NA=NBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB1BC

4.四邊形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC、8?；ハ嗥椒郑顾蔀榫匦?，需要添加的條件是（）

A.AB^CDB.AC=BDC.AB^BCD.ACLBD

5.如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE1ABE,PF

J_4c于凡M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為（）

6.如圖，順次連接四邊形A8C。各邊中點(diǎn)得四邊形EFG”，要使四邊形EFG”為矩形，應(yīng)

A.AB//DCB.AC=BDC.ACYBDD.AB=DC

7.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，延長(zhǎng)AO到￡,使￡>E=AD,連接反，EC,DB,

添加一個(gè)條件，不能使四邊形Q8CE成為矩形的是（）

C.ZADB=90°D.CEVDE

8.如圖，在平行四邊形A3CO中，M、N是BD上兩點(diǎn),BM=DN,連接AM、MC、CN、

NA,添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是（）

C.BDLACD./AMB=NCND

9.如圖，在矩形A3CO中，AD=6,對(duì)角線(xiàn)AC與3。相交于點(diǎn)O,AE.LBDf垂足為￡

DE=3BE.求4E的長(zhǎng)（）

C.3^3D.

2

10.如圖，點(diǎn)。是菱形43C。對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，DE//AC,CE//BD,連接0。設(shè)AC=12,

BD=16,則OE的長(zhǎng)為（）

A.8B.9C.10D.12

11.如圖，在矩形ABC。中，。為AC中點(diǎn)，EF過(guò)。點(diǎn)且EFLAC分別交QC于F,交AB

于E,點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且NAOG=30°,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

(1)DC=30G；(2)0G=』8C；(3)△OGE是等邊三角形；(4)S^AOE=^S^ABCD.

26

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12.如圖所示，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定

平行四邊形4BCO為矩形的是（）

C.AD=ABD.ZBAD=ZADC

13.如圖，。是矩形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，M是A。的中點(diǎn).若AB=5,AD=\2,

則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為.

14.在矩形ABC。中，AB=5,40=12,尸是4。上的動(dòng)點(diǎn)，PE_LAC于點(diǎn)E,PF_LB。于

點(diǎn)尸，則PE+PF=__________________

15.如圖，在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,且區(qū)4=3,AC=4,點(diǎn)。是斜邊2c上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。分別作。于點(diǎn)M,DN工AC于點(diǎn)、N,連接MM則線(xiàn)段A/N的最小值

為-

BD

16.定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么稱(chēng)三角形為“智慧三角

形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，矩形0ABe的邊0A=3,0C=4,點(diǎn)M(2,0),

在邊A8存在點(diǎn)尸，使得△CMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

為：.

17.如圖，將。ABC。的邊AB延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使BE,連接OE,EC,DE交BC于點(diǎn)O.

(1)求證：△ABDgABEC；

(2)連接8。，若NBOD=2NA,求證：四邊形8ECQ是矩形.

18.如圖，△48C中，點(diǎn)。是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線(xiàn)MN〃8c.設(shè)MN交NACB

的平分線(xiàn)于點(diǎn)E,交NACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證：OE=OF；

(2)若CE=8,CF=6,求OC的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由.

BD

19.如圖，菱形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于點(diǎn)O,BE//AC,CE//DB.求證：四邊形

0BEC是矩形.

20.如圖，在中，對(duì)角線(xiàn)4C與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別為。8,O力的中點(diǎn),

延長(zhǎng)AE至G,使EG=4E,連接CG.

(1)求證：/XABE名△(?￡)/；

(2)當(dāng)A3與AC滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.如圖，在aABC中，AB=AC,點(diǎn)￡＞、E分別是線(xiàn)段8C、AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的

平行線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸，連接CF.

(1)求證：△BCE絲△以E；

(2)求證：四邊形AQCF為矩形.

22.已知：如圖，在四邊形48CO中，點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CE平分NBC。，C尸平

分NGCQ,EF〃BC交CD于點(diǎn)0.

(1)求證：OE=OF；

(2)若點(diǎn)。為CD的中點(diǎn)，求證：四邊形DEC尸是矩形.

23.如圖，在。ABC。中，DE1.AB,BFLCD,垂足分別為E,F.

(1)求證：AADEgACBF；

(2)求證：四邊形8FDE為矩形.

24.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,A￡＞是/8AC的平分線(xiàn)，AN是△ABC外角/CAM

的平分線(xiàn)，CE1AN,垂足為點(diǎn)E.

求證：四邊形ADCE為矩形；

BDC

答案

1.解：已知：如右圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、〃分別是AB、BC、CD.AD

的中點(diǎn)，求證：四邊形ABC。是對(duì)角線(xiàn)垂直的四邊形.

證明：由于E、F、G、，分別是AB、BC、CD、4。的中點(diǎn)，

根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得：EH//FG//BD,EF//AC//HG.

'：四邊形EFGH是矩形，即EF1.FG,

J.AC1.BD,

故選：C.

2.解：若ACBC,則四邊形AEQF是平行四邊形，不一定是矩形；選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

若AO垂直平分BC,則四邊形AEZ）尸是菱形，不一定是矩形；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

若BD=CD,則四邊形AEZ）尸是平行四邊形，不一定是菱形；選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

若AO平分NB4C,則四邊形AED尸是菱形；正確；故選：D.

3.解：A、ZA=ZB,ZA+ZB=180°,所以乙4=NB=90°,可以判定這個(gè)平行四邊形

為矩形，正確；

B、/A=/C不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，錯(cuò)誤；

C、AC=BD,對(duì)角線(xiàn)相等，可推出平行四邊形48co是矩形，故正確：

D、ABVBC,所以/B=90°,可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確：

故選：B.

4.解：需要添加的條件是AC=BZ）；理由如下：

;四邊形4BC。的對(duì)角線(xiàn)AC、互相平分，

四邊形A8CQ是平行四邊形，

'：AC=BD,

二四邊形ABCD是矩形（對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形）;

故選：B.

5.解：設(shè)RtZXABC的斜邊BC上的高為正

:在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

二人型=理，

55

:.AB2+AC2=BC2,

即NBAC=90°.

又于E,PF1AC-f-F,

四邊形AEPF是矩形，

：.EF=AP.

是EF的中點(diǎn)，

:.AM=^EF^1AP.

22

因?yàn)锳P的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即等于

5

?MM的最小值是包.

5

故選：D.

6.解：依題意得，四邊形EFGH是由四邊形A8CD各邊中點(diǎn)連接而成,

連接AC、BD,^LEF//AC//HG,EH//BD//FG,

所以四邊形EFGH是平行四邊形，

要使四邊形EFG”為矩形，

根據(jù)矩形的判定（有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形）

故當(dāng)ACLLBD時(shí)，NEFG=NEHG=9。度.四邊形EFGH為矩形.

故選：C.

：.AD//BC,AD=BC,

又：AQ=OE,

J.DE//BC,S.DE=BC,

，四邊形BCED為平行四邊形，

A、：AB=BE,DE=AD,：.BD±AE,：3DBCE為矩形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)正確;

C、?.,/AOBugO。，.,./EO8=90°,.?.□DBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、?：CELDE,：.ZCED=90°,...DOBCE為矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:B.

8.證明：；四邊形A8C。是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD

???對(duì)角線(xiàn)BO上的兩點(diǎn)〃、N滿(mǎn)足BM=DN,

：.OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

四邊形AMCN是平行四邊形，

;OM=LC,

2

:.MN=AC,

四邊形AMCN是矩形.

故選：A.

9.解：YDE=3BE,

：.BD=4BE,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.BO=DO=^BD^2BE,

2

：.BE=EO,

：.AB=AO,

：.AB=AO=BO,

.?.△ABO是等邊三角形，

AZABO=60°,

：.ZADB=3>0a,

又；

：.AE=1AD^3,

2

故選:B.

10.解：VDE//AC,CE//BD,

：.四邊形OCED為平行四邊形，

:四邊形ABC。是菱形，AC=12,BD=16,

J.AC-LBD,OA=OC=LC=6,OB=OD=LD=8,

22

...NO°C=90°，CD=A/OC2X）D2=^2^2=1O,

，平行四邊形OCEO為矩形，

：.OE=CD=\0,

故選：c.

11.解：???ERLAC,點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，

:.OG=AG=GE=1AE,

2

VZAOG=3Q°,

；.NOAG=NAOG=30°,

ZGO￡=90°-NAOG=90°-30°=60°,

.?.△OGE是等邊三角形，故（3）正確；

設(shè)AE=2a,則。E=OG=a,

由勾股定理得，AO=｛虹2_0E2=｛（2a）2_a2=V^，

?.,。為AC中點(diǎn)，

；.AC=2AO=2心，

BC=~^AC=~^X>

22

在RtZ\A2C中，由勾股定理得，AB=J（2?a）2-（%a）2=3小

?.?四邊形A8CD是矩形，

.\CD=AB=3a,

:?DC=3OG,故（1）正確；

'：OG=a,

22

：.OG^^BC,故（2）錯(cuò)誤；

2

62

S&AOE—Aw*V3?--^'，

SABCD—3a,—,

.'?S^AOE——SABCD>故(4)正確；

6

綜上所述，結(jié)論正確的是(1)(3)(4)共3個(gè).

故選：C.

12.解：A.根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形4BC。為矩形，故

此選項(xiàng)不符合題意；

B.根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABC。為矩形，故此選項(xiàng)不符

合題意；

C.不能判定平行四邊形ABC。為矩形，故此選項(xiàng)符合題意；

D.平行四邊形ABC。中，AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=1SO°,

又?.?/8AD=N4￡>C,

.,.ZBAD=ZADC=90°,

根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形ABCD為矩形，故此選項(xiàng)不

符合題意.

故選：C.

13.解：是矩形ABC。的對(duì)角線(xiàn)4c的中點(diǎn)，M是AO的中點(diǎn)，

：.OM=^CD=1AB=2.5,

22

"：AB=5,40=12,

???AC^^52+122-13,

,/0是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，

：.B0^1AC=f>.5,

2

二四邊形ABOM的周長(zhǎng)為4B+AM+80+0M=5+6+6.5+2.5=20,

故20.

14.解：連接PO,過(guò)。作。歷J_AC于

：四邊形A8C。是矩形，

AZADC=90°,A8=CQ=5,AD=12,OA=OC,OB=OD,AC=B￡>,

：.OA=OD,

由勾股定理得：4c=13,

：.OA=OD=6.5,

』ADC=LX12義5=上義13XDM,

22

13

SAOD=SAAPO+SADPO,

...LoXPE+^ODXPF=LXAOXDM,

222

:.PE+PF=DM=也,

13

故的.

13

15.解：；NBAC=90°,且84=3,AC=4,

?""BC=VBA2+AC2=5,

DM1AB,DNLAC,

ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

.?.四邊形。MAN是矩形，

：.MN=AD,

...當(dāng)A￡?J_8C時(shí)，AO的值最小，

此時(shí)，ZiABC的面積=LBXAC=■18C><A。,

22

AC12

.?AC>=ABX=

BC~5~,

:.MN的最小值為」2；

5

故”

5

16.解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,

①若NCPM=90°,在RtZ\BCP中，由勾股定理得:

CP1=BP1+BC1-C4-a)2+9,

在RtAM雨中，由勾股定理得：

MP1：=MA2+AP1=\+a2,

在Rt^MPC中，由勾股定理得：

。序=用尸+。產(chǎn)=1+/+(4-“)2+9=2『-&,+26,

又CM2=OM2+OC2=4+16=20,

A2a2-8a+26=20,

，(?-3)(a-1)=0,

解得：a=3或a=l,

:.P(3,3)或(3,1)；

②若NCMP=90°,在RtZ\8CP中，由勾股定理得:

CP2=BP2+BC1=(4-a)2+9,

在中，由勾股定理得：

MP1^MA2+AP2=\+a2,

,：CM2=OM2+OC2=20,

在RtZXMCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

.,.20+l+〃2=(4-a)2+9,

解得：a=l.

2

：.P(3,A).

2

綜上，P(3,工)或(3,1)或(3,3).

2

故P(3,.或(3,1)或(3,3).

17.證明：(1)在平行四邊形ABC3中，AD=BC,AB=CD,AB//CD,則BE〃CO.

又,：AB=BE,

:.BE=DC,

四邊形BECD為平行四邊形，

：.BD=EC.

.?.在△A8D與△BEC中，

'AB=BE

<BD=EC>

AD=BC

.?.△ABD念/XBEC(SSS)；

(2)由(1)知，四邊形8ECQ為平行四邊形，則。。=0E,OC=OB.

:四邊形A8CZ)為平行四邊形，

AZA^ZBCD,即/4=/0C￡>.

又；NBOO=2乙4,ZBOD=ZOCD+ZODC,

：.ZOCD=ZODC,

：.OC=OD,

：.OC+OB^OD+OE,EPBC=ED,

,平行四邊形BECD為矩形.

E

18.：(1)證明：交/ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E,交/ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)凡

；.N2=/5,/4=N6,

■:MN//BC,

；.N1=N5,Z3=Z6,

.\Z1=Z2,Z3=Z4,

:.EO=CO,FO=CO,

：.OE=OF；

(2)解：VZ2=Z5,Z4=Z6,

.,.Z2+Z4=Z5+Z6=90°,

,:CE=8,CF=6,

A￡f=V82+62=10>

OC=AEF=5：

2

(3)答：當(dāng)點(diǎn)。在邊4c上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.

證明：當(dāng)。為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO,

'：EO=FO,

四邊形AECF是平行四邊形，

VZECF=90°,

平行四邊形AEC尸是矩形.

19.證明：'JBE//AC,CE//DB,

：.四邊形OBEC是平行四邊形，

又???四邊形A8C。是菱形，

：.AC1BD,

，NAOB=90°,

平行四邊形O8EC是矩形.

20.(1)證明：；四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,

：.NABE=NCDF,

;點(diǎn)E,F分別為08,0。的中點(diǎn)，

:.BE=LOB,DF=1.OD,

22

：.BE=DF,

'AB=CD

在AABE和acz)/中，,NABE=NCDF，

BE=DF

：./\ABE^/\CDF(SAS)；

(2)解：當(dāng)4c=2A8時(shí)，四邊形EGC/是矩形；理由如下:

*：AC=20A,AC=2ABf

：.AB=OA,

???E是。3的中點(diǎn)，

：.AGLOB,

：.ZOEG=90°,

同理：CFLOO,

J.AG//CF,

：.EG//CF,

由(1)得：/\ABE^/\CDF,

：.AE=CF,