三角形的五心一次看個夠三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的“五心〞，在解題時有很多應(yīng)用，在這里分別給予介紹．一、三角形外心的性質(zhì)外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在A的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1：〔1〕銳角三角形的外心在三角形；〔2〕直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；〔3〕鈍角三角形的外心在三角形外.2：∠BGC=2∠A，〔或∠BGC=2(180°-∠A).3：點G是平面ABC上一點，則點G是⊿ABC外心的充要條件是：點是的外心(或2=2=2)(點到三頂點距離相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(為三邊垂直平分線的交點)4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，則點G是⊿ABC外心的充要條件是：=((tanB+tanC)+(tanC+tanA)+(tanA+tanB))/2(tanA+tanB+tanC).或=(cosA/2sinBsinC)+(cosB/2sinCsinA)+(cosC/2sinAsinB).5：R=abc/4S⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐標(biāo)：給定求外接圓心坐標(biāo)O〔*，y〕①.首先，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，我們根據(jù)圓心到頂點的距離相等，可以列出以下方程：②.化簡得到：令；;；;即;;③.最后根據(jù)克拉默法則：因此，*，y為最終結(jié)果；7.假設(shè)O是△ABC的外心，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=證明：設(shè)點在部，由向量根本定理，有，則設(shè)：，則點為△DEF的重心，又，，，∴假設(shè)O是△ABC的外心，則S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=二、三角形的心心定理的證明：如圖，設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I、過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三角平分線交于一點．上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成．設(shè)△ABC的切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三個角平分線交于一點，該點即為三角形的心。2、三角形的心到三邊的距離相等，都等于切圓半徑r。3、r=S/p。證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得結(jié)論。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。6、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC心的充要條件是：。7、點O是平面ABC上任意一點，點L是△ABC心的充要條件是：/(a+b+c)。8、△ABC中，，則△ABC心L的坐標(biāo)是：。9、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和切圓的半徑，O和I分別為其外心和心，則OL2=R2-2Rr。10、角平分線分三邊長度關(guān)系：如圖：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，d=AD。設(shè)R1是△ABD的外接圓半徑，R2是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC證明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、切圓半徑r=三、三角形的重心1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為。5.重心是三角形到三邊距離之積最大的點。6.(萊布尼茲公式)三角形ABC的重心為G，點P為其部任意一點，則7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP+AC/AQ=38.從三角形ABC的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為，則均在以重心G為圓心，為半徑的圓周上四、三角形的垂心證明垂心定理分析我們可以利用構(gòu)造外心來進展證明。證明如圖，AD、BE、CF為ΔABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ΔA'B'C'，顯然AD為B'C'的中垂線；同理BE、CF也分別為A'C'、A'B'的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證．設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、銳角三角形的垂心在三角形；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的心；或者說，三角形的心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關(guān)于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。4、△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。5、H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。8、設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。9、銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其切圓與外接圓半徑之和的2倍。10、銳角三角形的垂心是垂足三角形的心；銳角三角形的接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短〔施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發(fā)現(xiàn)〕。11、西姆松定理〔西姆松線〕：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。12、設(shè)銳角△ABC有一點P，則P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。15、三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍?！泊剐陌殡S外接圓，必有平行四邊形〕推論〔垂心余弦定理〕：銳角三角形ABC的垂心為H，則AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R〔可引入有向距，推廣到任意三角形〕16、等邊三角形的垂心把三角形的高分成2:1兩段，靠近頂點的那段長度為高的三分之二。17、垂心的重心坐標(biāo)反而比外心簡單一點。先計算以下臨時變量〔與外心一樣〕：d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。垂心坐標(biāo)：(c1/c，c2/c，c3/c)△ABC中，，垂心H(m,n);分別做高線:AH⊥BC;BH⊥AC;且解得:五、三角形的旁心1：三角形的一條角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。2：旁心到三角形三邊的距離相等。3：三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。5:的心為，而邊外的旁心分別為；分別是三條角平分線，交三角形外接圓于，交外接圓于，交于，顯然，三角形過同一頂點的、外角平分線互相垂直，并且有、；、；、；；、；；、；、；〔稱為對稱比定理〕．、，〔俗稱“雞爪〞定理〕．6:7：旁心與心的關(guān)系如圖，為△ABC的心，是△ABC的三個旁心。注意：的中點D、E、F都在△ABC外接圓上。這一點對心來確定旁心的位置大有作用。又由心角公式得：，又因為、C、、B四點共圓，故同理，;這便是旁心角公式第8條性質(zhì)第8條性質(zhì)8：旁心于半周長(p)形影不離如圖：是△ABC的旁心，作垂直于AB于E，垂直于AC于F。易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故AE=AF=p9：旁心與三角形三個頂點構(gòu)成三組三點共線如圖：分別是△ABC的三個旁心，由于是對頂角的平分線亦為反向延長線，故三點共線。特別性質(zhì)：1.三角形所在平面一點的向量與面積關(guān)系結(jié)論：設(shè)點在部，假設(shè)，則證明：點在部，且設(shè)：，則點為△DEF的重心，又，，，∴說明:此結(jié)論說明當(dāng)點在部時，點把所分成的三個小三角形的面積之比等于從此點出發(fā)分別指向與三個小三角形相對應(yīng)的頂點的三個向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點在部，且，則的面積與的面積之比是：A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2分析：由上述結(jié)論易得：，所以，應(yīng)選D當(dāng)把這些點特定為三角形的“四心〞時，我們就能得到有關(guān)三角形“四心〞的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設(shè)點在部，且角所對應(yīng)的邊分別為結(jié)論1：假設(shè)為重心，則分析：重心在三角形的部，且重心把的面積三等分.結(jié)論2：為心，則分析：心在三角形的部，且易證S△BOC：S△COA：S△AOB=結(jié)論3：為的外心，則分析：易證S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可得結(jié)論4。結(jié)論4：假設(shè)為垂心，則即證明：∵對任意有，其中為外心，為垂心，∴，則由平面向量根本定理得：存在唯一的一組不全為0的實數(shù)，使得，即，由結(jié)論3得：所以有：，所以可得：化簡后可得：應(yīng)用舉例：例1：為的心，且，則角的余弦值為。分析：由結(jié)論2可得，所以由余弦定理可得：例2：的三邊長為，設(shè)的外心為，假設(shè)，數(shù)的值。分析：，整理后即得：.由結(jié)論3可得：，又易得，∴.點評：此題的通用解法應(yīng)該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組：解方程組可得結(jié)果。例3：設(shè)是的垂心，當(dāng)時，，數(shù)的值.分析：由結(jié)論4可得：.而，整理后得：由，可得，∴.而，解得，∴.點評：此題的通用解法應(yīng)該是仿例2的點評，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。通過這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心〞相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要的是對提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力有很大幫助，正契合了新課標(biāo)對學(xué)生能力的要求。所以在平時的教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常做一些類似的思考與探究，將極提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及思維能力。特別性質(zhì)：2.三角形四心與面積關(guān)系設(shè)O是任一點，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為*軸，建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)顯然不共線，由平面向量根本定理，可設(shè)則〔ⅰ〕假設(shè)O是的心，則故必要性得證．同時還可得到以下結(jié)論〔ⅱ〕假設(shè)O是的重心，則故〔?！臣僭O(shè)O是的外心則OFEOFEDCBA〔ⅳ〕假設(shè)O是(非直角三角形)的垂心，則故證明：〔A、E、O、F四點共圓〕同理因此只需證先證第一個等式〔E、C、D、O四點共圓,為的補角；E、O、F、A四點共圓,為的補角〕所以上式成立，即第一個等式成立。同理可證：該連等式成立，原題得證。特別性質(zhì)：3.三角形四心與面積關(guān)系1.歐拉點：三個頂點到垂心連線的中點，又稱費爾巴哈點。2.歐拉圓：又稱“九點圓〞，即3個歐拉點、三邊中點和三高垂足九點共圓。3.歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。證明：作△ABC的外接圓，連結(jié)并延長BO，交外接圓于點D。連結(jié)AD、CD、AH