2022-2023學(xué)年山東省淄博市高二下學(xué)期第一次學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．?dāng)?shù)列1，，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)規(guī)律寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式【詳解】奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可用來實(shí)現(xiàn)，而各項(xiàng)分母可看作各項(xiàng)分子均為1，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為．故選：A2．函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為（

）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x【答案】B【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故選：B3．已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為84，，則的公比為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和列式聯(lián)立得出答案.【詳解】由可設(shè)的公比為，等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為84，，，解得，故選：B.4．若,則的解集為（

）A．(0,) B．(-1,0)(2,)C．(2,) D．(-1,0)【答案】C【詳解】5．已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)之和為（

）A．1666 B．1654 C．1472 D．1460【答案】A【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)數(shù)列相同的項(xiàng)組成的數(shù)列，求出項(xiàng)數(shù)，然后求出它們的和即可.【詳解】有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有項(xiàng)，是公差為12的等差數(shù)列，故新數(shù)列前17項(xiàng)的和為，即數(shù)列的各項(xiàng)之和為1666.故選：A.6．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．7．等比數(shù)列的前項(xiàng)和是,且,若,則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列，列方程求解【詳解】設(shè),則,所以由等比數(shù)列性質(zhì)知成等比數(shù)列所以,得,所以所以故選：D8．等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．9．德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用倒序相加法求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，?又，兩式相加得：，解得，故選：B10．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理可得的關(guān)系，進(jìn)而可得的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，又切線過，則，有兩個(gè)不相等實(shí)根，其中或，令或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即.故選：D.二、多選題11．記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)公式和逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，即，對A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；∵，則有：對C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；對D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤；故選：AB.12．若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.【詳解】對于A,不妨取，但，不滿足，故A錯(cuò)誤；對于B,,對，若,則，則,即，故B正確；對于C，不妨取，但，不滿足，故C錯(cuò)誤；對于D,,對，若,則，則，故，即，故D正確；故選：BD13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，則（

）A．是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)B．C．函數(shù)在處切線的斜率小于零D．【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性的關(guān)系，以及極值的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得或，則在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，，A、B正確；∵，則，故函數(shù)在處切線的斜率大于零，C錯(cuò)誤；又∵，則，但無法確定函數(shù)值的正負(fù)，D錯(cuò)誤；故選：AB.14．已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．【答案】ACD【分析】先由數(shù)列為等差數(shù)列，得再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式對選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，故A正確，對于B,數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，的最大值為，故B錯(cuò)，對于C,由得的最小值為,即，故C正確，對于D,故D正確.故選：ACD15．已知，下列說法正確的是（

）A．存在b，d使得是奇函數(shù)B．時(shí)，過原點(diǎn)且與相切的直線只有1條C．若為的兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若在R上單調(diào)，則【答案】ABD【分析】對于A，當(dāng)時(shí),為奇函數(shù)，從而即可判斷；對于B，求過原點(diǎn)的切線方程，即可判斷；對于C，求導(dǎo)，由題意和韋達(dá)定理可得，，再由重要不等式得，即可判斷；對于D，由題意可得恒成立，由，求解即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí),，定義域?yàn)椋⑶覞M足此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí),，設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得：（舍）當(dāng)切點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，，所以在原點(diǎn)的切線方程為，只有一條，故B正確；對于C，因?yàn)?，又因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，，所以C錯(cuò)誤；對于D，若單調(diào)，則有恒成立，所以，解得，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.16．提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離(以天文單位為單位).現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．?dāng)?shù)列的第2021項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】CD【分析】由題意可得數(shù)列由此可得數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式，判斷選項(xiàng)A，由于，所以可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可判斷B，對于C，利用分組求和可求出數(shù)列的前項(xiàng)和，對于D，利用錯(cuò)位相減法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】數(shù)列各項(xiàng)乘以10再減4得到數(shù)列故該數(shù)列從第2項(xiàng)起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以故A錯(cuò)誤；從而所以故B錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)0.3.當(dāng)時(shí)也符合上式，所以故C正確因?yàn)樗援?dāng)時(shí)當(dāng)2時(shí)，所以所以又當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以，故D正確.故選：CD.三、填空題17．已知函數(shù)，則．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，兩邊求導(dǎo)再賦值計(jì)算得解.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：函數(shù)，當(dāng)時(shí)：，解得，所以.故答案為：18．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，則公差d＝．【答案】2【分析】由數(shù)列的前n項(xiàng)和定義、等差數(shù)列的等和性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【詳解】{an}為等差數(shù)列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，由等差數(shù)列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以，解得：n＝10，所以，解得d＝2．故答案為：2.19．已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式是.【答案】【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系可得，，與原式作差即可求解.【詳解】因?yàn)棰偎?，?dāng)時(shí)，②，①-②可得，，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：.20．若，，則；【答案】【分析】設(shè)，求出，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.【詳解】解：設(shè)，所以，，，所以，所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.四、解答題21．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，由，可求出的值；（2）由（1）知，由絕對值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋詴r(shí)，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因?yàn)椋?，綜上.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以.22．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間以及其在上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)，間是，函數(shù)在區(qū)間的最大值是，最小值是.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先利用極值點(diǎn)求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性，端點(diǎn)值，極值求函數(shù)的最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），由題意可知，，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與的變化情況如下表，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，由表格可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，，，，所以函數(shù)在區(qū)間的最大值是，最小值是.23．已知首項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，公差（為給定常數(shù)），為數(shù)列前項(xiàng)和，且為所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.(1)求；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式得到關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法即可得到其前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意得，，得①由，得②由①②，可得且，則，由，當(dāng)在范圍內(nèi)取值時(shí)的所有取值為：所以.（2）所以由于是遞減的，所以24．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上