第四章4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.2乘法公式與全概率公式基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合古典概型,會用乘法公式計(jì)算概率.2.結(jié)合古典概型,會利用全概率公式計(jì)算概率.*3.了解貝葉斯公式.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)

乘法公式與全概率公式1.乘法公式:由條件概率的計(jì)算公式P(B|A)=可知,P(BA)=

,這就是說,根據(jù)事件A發(fā)生的概率,以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,可以求出A與B同時發(fā)生的概率.一般地,這個結(jié)論稱為乘法公式.

P(A)P(B|A)2.全概率公式:全概率可理解為事件的和與乘法公式的綜合應(yīng)用P(A)P(B|A)定理1

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:(1)任意兩個事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.則對Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且上述公式也稱為全概率公式.*3.貝葉斯公式:一般地,當(dāng)1>P(A)>0且P(B)>0時,有

這稱為貝葉斯公式.定理2

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:(1)任意兩個事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.則對Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也稱為貝葉斯公式.過關(guān)自診1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,則P(BA)=

.

2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,則P(B)=

.

3.袋子中有三個紅球、一個黑球,不放回地摸球,則第二次摸到紅球的概率是

.

0.06解析

P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.0.35解析

用A1表示“第一次摸到紅球”,A2表示“第二次摸到紅球”,B1表示“第一次摸到黑球”,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一乘法公式【例1】

[北師大版教材例題]已知口袋中有3個黑球和7個白球,這10個球除顏色外完全相同.(1)先后兩次從中不放回地各摸出一球,求兩次摸到的均為黑球的概率;(2)從中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的概率.解

設(shè)事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3),則事件A1A2表示“兩次摸到的均為黑球”.變式探究

本例中條件不變,求先后兩次從中不放回地各摸出一球,第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.規(guī)律方法

乘法公式求概率的關(guān)注點(diǎn)(1)來源:乘法公式是條件概率公式的變形式.(2)適用情境:求P(AB)時可用乘法公式.變式訓(xùn)練1[北師大版教材習(xí)題]甲、乙兩人參加面試,每人的試題通過不放回抽簽的方式確定.假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個是難題簽,按甲先乙后的次序抽簽.(1)求甲抽到難題簽的概率;(2)若甲抽到難題簽,求乙也抽到難題簽的概率;(3)求甲和乙都抽到難題簽的概率.解

設(shè)事件A表示“甲抽到難題簽”,事件B表示“乙抽到難題簽”.(1)甲抽到難題簽的概率(2)若甲抽到難題簽,則乙也抽到難題簽的概率為(3)甲和乙都抽到難題簽的概率為探究點(diǎn)二全概率公式【例2】

[人教A版教材習(xí)題]現(xiàn)有12道四選一的單選題,學(xué)生張君對其中9道題有思路,3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個答案,猜對答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題,求他做對該題的概率.變式訓(xùn)練2從5件正品、2件次品中不放回地取出2件,則第二次取出正品的概率是

.

探究點(diǎn)三貝葉斯公式【例3】

[人教A版教材例題]有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個零件,計(jì)算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率.解

設(shè)B表示“任取一個零件為次品”,Ai表示“零件為第i臺車床加工”(i=1,2,3),則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥.根據(jù)題意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052

5.(2)“如果取到的零件是次品,計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率”,就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.規(guī)律方法

貝葉斯公式的理解(1)貝葉斯公式可以看作是全概率公式和條件概率公式的綜合應(yīng)用.(2)貝葉斯公式可用于責(zé)任承擔(dān)的評估,像例題中計(jì)算得到3號車床的責(zé)任份額最大.變式訓(xùn)練3[人教A版教材習(xí)題]在A,B,C三個地區(qū)暴發(fā)了流感,這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為5∶7∶8,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人.(1)求這個人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人選自A地區(qū)的概率.

解

設(shè)A表示“選取的人患流感”,用B1,B2,B3分別表示“選取的人來自A,B,C地區(qū)”,成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.[2023黑龍江尚志高二階段練習(xí)]兩臺機(jī)床加工同樣的零件,第一臺的廢品率為0.04,第二臺的廢品率為0.07,加工出來的零件混放,并設(shè)第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍,現(xiàn)任取一零件,則它是合格品的概率為(

)A.0.21 B.0.06

C.0.94

D.0.95D解析

令B表示“取到的零件為合格品”,Ai表示“零件為第i臺機(jī)床的產(chǎn)品”,i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=

×0.96+×0.93=0.95.故選D.12342.[北師大版教材習(xí)題]袋中有3個黑球和2個白球,這5個球除顏色外完全相同.每次從中取出一球,取后放回.設(shè)事件A表示“第一次取出白球”,B表示“第二次取出白球,”則P(B|A)=

,P(AB)=

.

12343.在一只布袋中有形狀大小一樣的32顆棋子,其中有16顆紅棋子,16顆綠棋子.某人無放回地依次從中