第四章4.2.3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)實(shí)例,了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)的模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系.3.熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地,函數(shù)

稱為對(duì)數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.

2.兩種特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)我們稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lgx;稱以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lnx.y=logax名師點(diǎn)睛1.判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù):(1)形如y=logax;(2)a滿足a>0且a≠1;(3)真數(shù)為x.2.根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系知,y=logax可化為ay=x,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,在對(duì)數(shù)函數(shù)中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.過(guò)關(guān)自診下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是(

)A.y=logax+2(a>0且a≠1,x>0)B.y=loga(a>0且a≠1,x>0)C.y=logx3(x>0且x≠1)D.y=logax(a>0且a≠1,x>0)D知識(shí)點(diǎn)2

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象和性質(zhì)

a的取值a>10<a<1圖象

a的取值a>10<a<1性質(zhì)定義域:

,因此函數(shù)圖象一定在y軸的右邊

值域:R圖象過(guò)定點(diǎn)

,即當(dāng)x=1時(shí),y=0

非奇非偶函數(shù)當(dāng)x>1時(shí),

;當(dāng)0<x<1時(shí),

當(dāng)x>1時(shí),

;當(dāng)0<x<1時(shí),

在(0,+∞)上是

函數(shù)

在(0,+∞)上是

函數(shù)

(0,+∞)(1,0)y>0y<0y<0y>0增

減

名師點(diǎn)睛1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象永遠(yuǎn)在y軸的右側(cè),x越接近于0,圖象越接近y軸.2.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)越接近x軸,a越大;當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí),圖象在第四象限內(nèi)越接近x軸,a越小.3.分析對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象,需找三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(a,1),(1,0),(,-1).過(guò)關(guān)自診1.(多選題)若函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示,則a的值可能是(

)AB2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)不是增函數(shù)的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.D3.函數(shù)f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

.

(3,-6)重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)logmx,則m=

.

2解析

由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,即(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因?yàn)閙>0且m≠1,所以m=2.(2)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.規(guī)律方法

1.對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義:2.對(duì)數(shù)函數(shù)解析式中只有一個(gè)參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式時(shí)只需一個(gè)條件即可求出.變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對(duì)數(shù)函數(shù),則a=

.

4(2)點(diǎn)A(8,-3)和B(n,2)在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上,則n=

.

探究點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)角度1

與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問(wèn)題

【例2】

(1)已知函數(shù)

的值域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)f(x)的定義域是

.

(2)求下列函數(shù)的定義域:

③y=log(2x-1)(-4x+8).規(guī)律方法

對(duì)數(shù)函數(shù)定義域問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)要遵循已學(xué)習(xí)過(guò)的求定義域的方法,如分式的分母不為零,偶次根式的被開(kāi)方式大于或等于零等.(2)遵循對(duì)數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對(duì)性地解不等式.變式訓(xùn)練2[北師大版教材習(xí)題]求下列函數(shù)的定義域:(1)y=log5(1-x);解

要使函數(shù)有意義,只需1-x>0,所以x<1,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<1}.角度2

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例3】

(1)若a=log2π,b=,c=π-2,則(

)A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b

D.c>b>aC(2)比較下列各組值的大小:①

②log1.51.6,log1.51.4;③log0.57,log0.67;④log3π,log20.8.規(guī)律方法

比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化.(3)底數(shù)和真數(shù)都不同,找中間量0或1.(4)若底數(shù)為同一參數(shù),則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.變式訓(xùn)練3設(shè)a=log2π,b=log2,c=log3,則(

)A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>aA探究點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用【例4】

(1)已知函數(shù)f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則(

)A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)B解析

由題意可知函數(shù)f(x)是偶函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(1)<f(2)=f(-2)<f(3),故選B.(2)[北師大版教材習(xí)題]對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,y=logbx,y=logcx(a>0,b>0,c>0,且a,b,c均不為1)的圖象如圖,試比較a,b,c的大小.解

由圖象可知,在定義域內(nèi),函數(shù)y=logax,y=logbx為增函數(shù),而y=logcx為減函數(shù),∴a>1,b>1,0<c<1.取x=2,由題圖可得,loga2>logb2>0,∴0<log2a<log2b,則a<b,故c<a<b.規(guī)律方法

1.對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律

(1)上下比較:在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時(shí),a越大,圖象越靠近x軸,當(dāng)0<a<1時(shí),a越小,圖象越靠近x軸.(2)左右比較:比較圖象與直線y=1的交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大,對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.2.常見(jiàn)的函數(shù)圖象的變換技巧(1)y=f(x)y=f(|x|).變式訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是(

)A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1D解析

由題圖可知,函數(shù)為減函數(shù),所以0<a<1.當(dāng)x=1時(shí),loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,所以c>0;當(dāng)x=0時(shí),loga(x+c)=logac>0,即c<1.所以0<c<1.故選D.(2)已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是(

)A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)C成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12341.[2023福建高一統(tǒng)考]函數(shù)y=log2(3x-2)的定義域是(

)C.(0,+∞) D.RB12342.函數(shù)

在區(qū)間[1,2]上的取值范圍是(

)A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]A12343.函數(shù)y=loga(x+1)-2恒過(guò)定點(diǎn)

.

(0,-2)12344.若a=log0.20.3,b=lo