2.2向量的減法必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么是向量的減法?向量的減法遵循怎樣的法則?2.向量減法滿(mǎn)足哪些運(yùn)算律?1.相反向量(復(fù)習(xí)回顧)定義把與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量,記作___規(guī)定:零向量的相反向量仍是零向量性質(zhì)(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(-0)=__;(2)互為相反向量的兩個(gè)向量的和為0,即a+(-a)=(-a)+a=0;(3)若a+b=0,則a=___,b=___-a0-b-a2.向量的減法定義向量a加上b的相反向量,叫作a與b的差,即a-b=a+(-b),求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫作向量的減法幾何意義

如圖,設(shè)=a,=b,則=a-b,即a-b表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量【思考】向量減法的三角形法則是什么?提示:(1)兩個(gè)向量a,b的始點(diǎn)移到同一點(diǎn);(2)連接兩個(gè)向量(a與b)的終點(diǎn);(3)差向量a-b的方向是指向被減向量的終點(diǎn).這種求差向量a-b的方法叫作向量減法的三角形法則.概括為“移為共始點(diǎn),連接兩終點(diǎn),方向指被減”.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量. (

)(2)=-. (

)(3)a-b的相反向量是b-a. (

)(4)|a-b|<|a+b|. (

)提示:(1)√.兩個(gè)向量的差不改變性質(zhì),仍是一個(gè)向量.(2)√.兩個(gè)向量的差是由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).(3)√.a-b的相反向量是-(a-b)=b-a.(4)×.|a-b|與|a+b|的大小關(guān)系不確定,與a,b的夾角有關(guān).2.在△ABC中,=a,=b,則= (

)A.a+b

B.a-b

C.b-a

D.-a-b【解析】選C.=-=b-a.3.可以寫(xiě)成①;②;③;④.其中正確的是

(

)A.①②

B.②③

C.③④

D.①④【解析】選D.①中與首尾相連,和為;②與既不從同一點(diǎn)出發(fā),也不首尾相連,差不是;③-=;④-=.4.已知|a|=1,|b|=2,|a+b|=,則|a-b|=________.

【解析】根據(jù)平行四邊形法則,因?yàn)?)2=12+22,所以平行四邊形為矩形,那么|a-b|=|a+b|=.答案:

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)【題組訓(xùn)練】類(lèi)型一已知向量作差向量(直觀想象)【典例】如圖所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.【思路導(dǎo)引】在平面上任取一點(diǎn),從此點(diǎn)開(kāi)始,用三角形法則或平行四邊形法則作圖即可.【解析】如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c,=d,則=a-b,=c-d,即為所求.【解題策略】利用向量減法進(jìn)行幾何作圖的方法(1)已知向量a,b,如圖①所示,作=a,=b,利用向量減法的三角形法則可得a-b,利用此方法作圖時(shí),把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起,則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.(2)利用相反向量作圖,通過(guò)向量求和的平行四邊形法則作出a-b.如圖②所示,作=a,=b,=-b,則=a+(-b),即=a-b.【跟蹤訓(xùn)練】1.設(shè)平面內(nèi)四邊形ABCD及任一點(diǎn)O,=a,=b.=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|.則四邊形ABCD的形狀是________.

【解析】由a+c=b+d得a-b=d-c,即-=-,所以=,于是AB平行且等于CD,所以四邊形ABCD為平行四邊形.又|a-b|=|a-d|,從而|-|=|-|,所以||=||,所以四邊形ABCD為菱形.答案:菱形2.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1,=a,=b,=c,試作向量a-b+c.

【解析】連接BD,則=a-b,作向量=c,連接DE,則=+=a-b+c即為所求.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.

【解析】如圖所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c即為所求.類(lèi)型二向量加減法運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】化簡(jiǎn)下列式子:(1);(2).【思路導(dǎo)引】統(tǒng)一成加法,首尾相連的合并.【解析】(1)原式=++-=+(+)=+=0.(2)【解題策略】化簡(jiǎn)向量的和差的方法(1)如果式子中含有括號(hào),括號(hào)里面能運(yùn)算的直接運(yùn)算,不能運(yùn)算的去掉括號(hào).(2)可以利用相反向量把差統(tǒng)一成和,再利用三角形法則進(jìn)行化簡(jiǎn).(3)化簡(jiǎn)向量的差時(shí)注意共起點(diǎn),由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).【跟蹤訓(xùn)練】化簡(jiǎn)的結(jié)果等于 (

)A.

B.

C.

D.【解析】選B.1.下列等式中,正確的個(gè)數(shù)為 (

)①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a-(-a)=0.A.3

B.4

C.5

D.6【解析】選C.根據(jù)相反向量的概念知①②③④⑤正確,所以正確的個(gè)數(shù)為5.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.在平行四邊形ABCD中,等于 (

)A. B. C. D.【解析】選A.==.3.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,=a,=b,則用a,b表示向量和分別是 (

)A.a+b和a-b

B.a+b和b-aC.a-b和b-a D.b-a和b+a【解析】選B.由向量的加法、減法得,=+=a+b,=-=b-a.4.若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則|-+|=________.

【解析】|-+|=|++|=|+|=||=2.答案:2十六向量的減法【基礎(chǔ)通關(guān)—水平一】(15分鐘30分)1.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (

)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)【解析】選C.因?yàn)?所以=0,A正確;因?yàn)?B正確;因?yàn)?C錯(cuò)誤;因?yàn)?所以,所以+=0,D正確.2.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,||的值為 (

)A.1

B.2

C.

D.【解析】選D.作菱形ABCD,則||=||=||=.3.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b所在直線的夾角為 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.設(shè)

=a,=b,則a-b=,因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等邊三角形,∠BOA=60°,四邊形OACB為菱形.因?yàn)?/p>

=a+b,且在菱形OACB中,對(duì)角線OC平分∠BOA.所以a與a+b所在直線的夾角為30°.4.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,則|a-b|=

.

【解析】因?yàn)閨|=12,||=5,∠AOB=90°,所以||2+||2=||2,所以||=13.因?yàn)?a,=b,所以a-b=-=,所以|a-b|=||=13.答案:135.已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),=a,=b,=c,試用a,b,c表示.【解析】方法一:如圖所示,=+=a+=a+(-)=a+c-b.方法二:=+++=++(+)=++0=+(+)=a+(-b+c)=a-b+c.【能力進(jìn)階—水平二】(20分鐘40分)一、單選題(每小題5分,共15分)1.在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b,=c,=d,下列等式中不正確的是 (

)A.a+b=c

B.a-b=d