第4章圖像變換(ImageTransform)

4.1連續(xù)傅里葉變換(CFT)4.3離散傅里葉變換(DFT)4.5離散余弦變換(DCT)4.6離散沃爾什變換(DWT)4.4快速傅里葉變換(FFT)4.2傅里葉變換的性質(zhì)圖像變換的引入對圖象信息進(jìn)行變換，使能量保持但重新分配。圖像變換的定義將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換

圖像變換的目的人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性

圖像變換在圖像處理中的應(yīng)用提取圖象特征：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目標(biāo)物邊緣：F(u,v)高頻分量。圖像壓縮：正交變換能量集中，對集中（小）部分進(jìn)行編碼。3．圖象增強(qiáng)：低通濾波，平滑噪聲；高通濾波，銳化邊緣。常用的變換傅立葉變換(FourierTransform,FT)2.離散余弦變換(DiscreteCosineTransform,DCT)3.沃爾什變換(WalshTransform,WT)

Fourier變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運算化為乘積運算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）Fourier變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

1、一維傅立葉變換及其反變換4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果f(x)滿足下面的狄里赫萊條件：（1）具有有限個間斷點（2）具有有限個極值點（3）絕對可積則有下列二式成立：如果令w＝2πu，則有函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

函數(shù)f(x)是實函數(shù)，F(xiàn)(u)一般是復(fù)函數(shù)，可用下式表示：指數(shù)形式：實部：虛部：4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

振幅(Fourier譜)4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

相位(譜)

能量(能量譜、功率譜)4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

例1矩形函數(shù)的Fourier頻譜結(jié)論：一個“窄”的函數(shù)有一個“寬”的頻譜4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

例2周期函數(shù)的Fourier頻譜結(jié)論：1、只要滿足一定條件，連續(xù)函數(shù)就可以進(jìn)行傅立葉變換，實際上這個條件在工程應(yīng)用中很容易滿足。2、連續(xù)非周期函數(shù)的傅立葉譜是連續(xù)的非周期函數(shù)，連續(xù)的周期函數(shù)的傅立葉譜是離散的非周期函數(shù)。4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

F=fft(f);f=ifft(F)F=fft2(f);f=ifft2(F)

式中是頻率變量。與一維的情況一樣，二維函數(shù)的傅里葉譜、能量和相位譜為:4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

如果二維函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，且F(u,v)可積，則將有下面的傅立葉變換對存在：2、二維傅立葉變換及其反變換傅里葉頻譜（幅度譜）：相位：能量譜：4.1連續(xù)傅里葉變換（CFT）

4.2傅里葉變換的性質(zhì)

可分離性線性性共軛對稱性比例變換性旋轉(zhuǎn)不變性能量保持定理

位移定理卷積定理相關(guān)定理微分性質(zhì)可分離性：一個二維傅里葉變換可用二次一維傅里葉變換來實現(xiàn)。x軸變換y軸變換4.2傅里葉變換的性質(zhì)

線性性：Fourier變換是線性算子。4.2傅里葉變換的性質(zhì)

空域或時域中的加法在頻域中仍然是加法。

如果是的傅里葉變換，是傅里葉變換的共軛函數(shù)，那么

共軛對稱性4.2傅里葉變換的性質(zhì)

比例變換特性

4.2傅里葉變換的性質(zhì)

在空間比例尺度的展寬，相應(yīng)于頻域中比例尺度的壓縮，其幅值也減少為原來的如果空間域函數(shù)旋轉(zhuǎn)的角度為，那么在變換域中此函數(shù)的傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)同樣的角度，即

4.2傅里葉變換的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)不變性：

4.2傅里葉變換的性質(zhì)

原始圖像原始圖像的Fourier頻譜旋轉(zhuǎn)后圖像的Fourier頻譜旋轉(zhuǎn)45°的圖像

位移定理

4.2傅里葉變換的性質(zhì)

當(dāng)空域中f(x,y)產(chǎn)生移動時，在頻域中只發(fā)生相移，而傅立葉變換的幅值不變；反之，當(dāng)頻域中F(u,v)產(chǎn)生移動時，相應(yīng)的f(x,y)在空域中也只發(fā)生相移，而幅值不變。4.2傅里葉變換的性質(zhì)

平移前圖像平移前圖像的Fourier頻譜平移后圖像平移后圖像的Fourier頻譜

帕斯維爾（Parseval）定理(能量保持定理)

這個性質(zhì)說明變換前后并不損失能量.4.2傅里葉變換的性質(zhì)

卷積定理

如果f(x)和g(x)是一維時域函數(shù)，f(x,y)和g(x,y)是二維空域函數(shù)，那么，定義以下二式為卷積函數(shù)，即4.2傅里葉變換的性質(zhì)

由此，可得到傅里葉變換的卷積定理如下4.2傅里葉變換的性質(zhì)

兩個二維連續(xù)函數(shù)在空間域中的卷積可用求其相應(yīng)的兩個傅立葉變換乘積的逆變換而得；反之，在頻域中的卷積可用空間域中乘積的傅立葉變換而得。避免了直接計算卷積的麻煩，只需要先算出各自的頻譜，然后相乘，再求其逆變換，即可得到卷積。

f(x)和g(x)為兩個一維時域函數(shù)；f(x,y)和g(x,y)為兩個二維空域函數(shù)，那么，定義下二式為相關(guān)函數(shù)4.2傅里葉變換的性質(zhì)

相關(guān)定理

由以上定義引出傅里葉變換的一個重要性質(zhì)——相關(guān)定理：4.2傅里葉變換的性質(zhì)

4.2傅里葉變換的性質(zhì)

微分性質(zhì)

設(shè)為一數(shù)字序列，則其離散Fourier變換和反變換定義為：4.3離散傅里葉變換（DFT）

傅里葉頻譜：

相位:能量譜4.3離散傅里葉變換（DFT）

二維離散傅里葉變換和反變換定義為：4.3離散傅里葉變換（DFT）

離散的情況下，F(xiàn)ourier變換和反變換始終存在。二維函數(shù)的離散傅里葉譜、能量和相位譜為:傅里葉頻譜：相位：能量譜：

4.3離散傅里葉變換（DFT）

例4.1一個簡單二維函數(shù)的中心譜。圖4.1（a）顯示了在像素尺寸的黑色背景上疊加一個像素尺寸的白色矩形。圖4.1（a）4.3離散傅里葉變換（DFT）

此圖像在進(jìn)行傅里葉變換的計算之前被乘以，從而可以使頻率譜關(guān)于中心對稱，如圖4.1(b)所示。在圖4.1(b)中，方向譜的零點分割恰好是方向零點分隔的兩倍。

4.3離散傅里葉變換（DFT）

符合圖像中的矩形尺寸比例。在顯示之前頻率譜用式中的對數(shù)變換處理以增強(qiáng)灰度級細(xì)節(jié)。變換中使用的值可以降低整體強(qiáng)度。在本章顯示的多數(shù)傅里葉頻率譜都用對數(shù)變換進(jìn)行了相似的處理。4.3離散傅里葉變換（DFT）

例4.2圖象的二維離散傅立葉頻譜。％讀入原始圖象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求離散傅立葉頻譜J=fftshift(fft2(I));

%對原始圖象進(jìn)行二維傅立葉變換，并將其坐標(biāo)原點移到頻譜圖中央位置figure（2）; imshow(log(abs(J)),[8,10])其結(jié)果如圖4.2所示

（a）原始圖像（b）離散傅里葉頻譜圖4.2二維圖像及其離散傅里葉頻譜的顯示

4.3離散傅里葉變換（DFT）

1可分離性（Separability）4.3離散傅里葉變換（DFT）

F(x,?v)圖4.5由2步1-D變換計算2-D變換4.3離散傅里葉變換（DFT）

2平移性質(zhì)（Translation）與一個指數(shù)相乘等于將變換后的頻率域中心移到新的位置。的平移將不改變頻譜的幅值（amplitude）。4.3離散傅里葉變換（DFT）

在數(shù)字圖像處理中，我們常常將F(u,v)的原點移到N×N頻域方陣的中心，以使能清楚地分析傅立葉變換譜的情況，只需令：u0＝v0＝N/2則即:如果將圖像頻譜的原點從起點(0,0)移到圖像中心點(N/2,N/2)，只要f(x,y)乘上(-1)(x＋y)因子進(jìn)行傅立葉變換即可.4.3離散傅里葉變換（DFT）

傅里葉變換和反變換均以為周期，即

3周期性和共軛對稱性表明：盡管F(u,v)有無窮多個u和v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)。4.3離散傅里葉變換（DFT）

如果f(x,y)是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對稱性

4.3離散傅里葉變換（DFT）

4旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（Rotation）

上式表明，對旋轉(zhuǎn)一個角度對應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度4.3離散傅里葉變換（DFT）

例4.4二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性（具體程序參見書）。

(a)原始圖像(b)原圖像的(c)旋轉(zhuǎn)后的圖像(d)旋轉(zhuǎn)后圖像的傅里葉頻譜傅里葉頻譜4.3離散傅里葉變換（DFT）

左邊均為原始圖像，右邊分別是他們變換后的譜分布。圖（a）是中心為一小正方形，周邊為空；圖(c)是中心為斜置的小矩形。譜分布中，最亮區(qū)域表示其變換后的幅值最大。對（c）傅里葉變換后中心移到零點后的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)長方形旋轉(zhuǎn)了時，頻譜也跟著旋轉(zhuǎn)，此實例驗證了傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性。4.3離散傅里葉變換（DFT）

5分配律（DistributionLaw）4.3離散傅里葉變換（DFT）

6尺度變換（Scaling）

4.3離散傅里葉變換（DFT）

【例4.5】比例尺度展寬。（a）原始圖像

（b）比例尺度展寬前的頻譜

（c）比例尺度a=0.1，b=1，展寬后的頻譜4.3離散傅里葉變換（DFT）

對一個2-D離散函數(shù)，其平均值可用下式表示：

當(dāng)正反變換采用相同的標(biāo)度數(shù)時，傅里葉變換域原點的頻譜分量為：

7平均值（AverageValue）4.3離散傅里葉變換（DFT）

兩式比較可得：

也就是說，頻譜的直流成分倍于圖像平面的亮度平均值。在使用諸如高通濾波器的場合，其值會衰減，因為圖像的亮度在很大程度上受到影響，采用對比度拉伸的方法可以緩和這種衰減。

4.3離散傅里葉變換（DFT）

8

卷積定理(ConvolutionTheorem)卷積定理是線性系統(tǒng)分析中最重要的一條定理。下面先考慮一維傅里葉變換：

4.3離散傅里葉變換（DFT）

4.4快速傅里葉變換(FFT)

離散傅立葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具，然而，它的計算量大，運算時間長，在某種程度上卻限制了它的使用范圍。快速算法大大提高了運算速度，在某些應(yīng)用場合已能作實時處理，并且應(yīng)用在控制系統(tǒng)中?？焖俑盗⑷~變換不是一種新的變換，它是離散傅立葉變換的一種算法，它是在分析離散傅立葉變換中的多余運算的基礎(chǔ)上，進(jìn)而消除這些重復(fù)工作的思想指導(dǎo)下得到的。例4.6對一副圖進(jìn)行傅里葉變換，求出其頻譜圖，然后利用平移性質(zhì)，在原圖的基礎(chǔ)上乘以求傅里葉變換的頻譜圖。

（a）原圖（b）頻譜圖（c）中心移到零點的頻譜圖圖4.8二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖4.5圖像傅里葉變換實例

4.5圖像傅里葉變換實例

觀察頻譜圖可知，在未平移前，圖（b）坐標(biāo)原點在窗口的左上角，即變換后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低頻成分。對原圖乘以后進(jìn)行傅里葉變換，觀察頻譜圖（c）可知，變換后的坐標(biāo)原點移至頻譜圖窗口中央，因而圍繞坐標(biāo)原點是低頻，向外是高頻。圖像的能量主要集中在低頻區(qū)，即圖像的中央位置，而相對的高頻區(qū)（左上、右上、左下、右下四個角）的幅值很小或接近于0。例4.7：圖4.8（a）乘以一指數(shù)，將圖像亮度整體變暗，并求其中心移到零點的頻譜圖。（a）變暗后的圖（b）變暗后中心移到零點的頻譜圖圖4.9二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖4.5圖像傅里葉變換實例

4.5圖像傅里葉變換實例

將原圖（a）函數(shù)乘以，結(jié)果如圖4.9（a）所示。對其亮度平均變暗后的圖像進(jìn)行傅里葉變換，并將坐標(biāo)原點移到頻譜圖中央位置，結(jié)果如圖4.9（b）所示。對比圖4.8（c）和4.9（b）后，可以看出當(dāng)圖片亮度變暗后，中央低頻成分變小。故從中可知，中央低頻成分代表了圖片的平均亮度，當(dāng)圖片亮度平均值發(fā)生變化時，對應(yīng)的頻譜圖中央的低頻成分也發(fā)生改變。例4.8：圖4.8（a）加入高斯噪聲，得出一個有顆粒噪音的圖，并求其中心移到零點的頻譜圖。（a）有顆粒噪音（b）有顆粒噪音中心移到零點的頻譜圖圖4.10二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖4.5圖像傅里葉變換實例

4.5圖像傅里葉變換實例

圖像如果存在有明顯的顆粒噪聲，變換后的高頻幅值數(shù)值增加，分布增多。由此得出：圖像灰度變換緩慢的區(qū)域，對應(yīng)變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變換的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪聲外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變換突變區(qū)域。他們都具有變換后的高頻分量特征。例4.9:對一副圖片求其幅值譜和相位譜，并對幅值譜和相位譜分別進(jìn)行圖像構(gòu)，對比其所求結(jié)果。（a）原圖4.5圖像傅里葉變換實例

4.5圖像傅里葉變換實例

（b）幅值譜（c）相位譜（d）幅值譜重構(gòu)圖像（e）相位譜重構(gòu)圖像圖4.11傅里葉圖像及其傅里葉變換4.5圖像傅里葉變換實例對圖4.11（a）進(jìn)行離散傅里葉變換，得出幅值譜圖（b），相位譜圖（d）及幅值譜重構(gòu)圖像圖（c），相位譜重構(gòu)圖像圖（e）。從實驗結(jié)果可以看出，從幅值譜圖像中得到的信息比在相位譜圖像中得到的信息多，但對幅值譜圖像重構(gòu)后，即忽略相位信息，將其設(shè)為30，所得到的圖像與原始圖像相比，結(jié)果差別很大；而對相位譜圖像重構(gòu)后，及忽略幅值信息，將其設(shè)為常數(shù)，可以從中看出圖像的基本輪廓來。結(jié)論1——信號在頻域中的表現(xiàn)在頻域中，頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當(dāng)頻率為0時，表示直流信號，沒有變化。因此，頻率的大小反應(yīng)了信號的變化快慢。高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。在圖像處理中，頻域反應(yīng)了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應(yīng)在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。結(jié)論1——信號在頻域中的表現(xiàn)

傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉(zhuǎn)化到頻率分布上來觀察圖像的特征。即：傅里葉變換提供了一條從空域到頻域自由轉(zhuǎn)換的途徑。1、圖像增強(qiáng)和圖像去噪

Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。

通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲;邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強(qiáng)原始圖像的邊緣。結(jié)論2——Fourier變換的作用Fourier變換的高通濾波Fourier變換的低通濾波2、圖像壓縮變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點上的幅值。在小波變換沒有提出時，用來進(jìn)行壓縮編碼。考慮到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。結(jié)論2——Fourier變換的作用壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1Fourier變換進(jìn)行圖像壓縮壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1Fourier變換進(jìn)行圖像壓縮3、快速計算卷積

直接進(jìn)行時域中的卷積運算是很復(fù)雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。結(jié)論2——Fourier變換的作用4、圖像邊緣檢測和特征提取

提取圖像高頻分量形狀特征：傅里葉描述子紋理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計算紋理特征其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅里葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性結(jié)論2——Fourier變換的作用4.6離散余弦變換(DCT)傅立葉變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。離散余弦變換(DiscreteCosineTransform-簡稱DCT)是傅里葉變換的一種特殊情況。在傅里葉級數(shù)展開式中，被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)時，其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項，稱之為余弦變換。4.6離散余弦變換(DCT)DCT計算復(fù)雜性適中，又具有可分離特性，還有快速算法，所以被廣泛地用在圖象數(shù)據(jù)壓縮編碼算法中。其變換核是為實數(shù)的余弦函數(shù)，因而DCT的計算速度比DFT快得多。

一維離散余弦變換:4.6離散余弦變換(DCT)4.6離散余弦變換(DCT)式中是第個余弦變換系數(shù)，是廣義頻率變量，;是時域點實序列.

一維離散余弦反變換:4.6離散余弦變換(DCT)

二維離散余弦變換:4.6離散余弦變換(DCT)4.6離散余弦變換(DCT)

二維離散余弦反變換:如果令N=4，由一維解析式定義可得如下展開式：寫成矩陣形式：[F(u)]=[A][f(x)]4.6離散余弦變換(DCT)同理，可得到反變換展開形式：寫成矩陣形式：[f(x)]=[A]T[F(u)]4.6離散余弦變換(DCT)一維離散余弦變換的矩陣定義式：4.6離散余弦變換(DCT)二維離散余弦變換的成矩陣定義式：4.6離散余弦變換(DCT)余弦變換的計算：1、把f(x)延拓成，長度為2N2、求的2N點FFT3、對u各項乘上對應(yīng)的因子

4、取實部，并乘上因子5、取F(u)的前N項，即維f(x)的余弦變換4.6離散余弦變換(DCT)（a）原始圖像（b）余弦變換系數(shù)（c）余弦反變換恢復(fù)圖像圖4.12二維離散余弦變換

4.6離散余弦變換(DCT)

例4.10:說明二維余弦正反變換在Matlab中的實現(xiàn)。4.6離散余弦變換(DCT)

由圖4.12(b)可知，離散余弦變換具有很強(qiáng)的“能量集中”特性，能量主要集中在左上角處，因此在實際圖像應(yīng)用中,能量不集中的地方可在余弦編碼中忽略,可通過對mask矩陣變換來實現(xiàn)，即將mask矩陣左上角置1，其余全部置0。然后通過離散余弦反變換后，圖像得到恢復(fù)，圖(c)恢復(fù)圖像與圖(a)原