第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派考向30線線角、線面角、二面角與距離問題經(jīng)典題型一：異面直線所成角經(jīng)典題型二：線面角經(jīng)典題型三：二面角經(jīng)典題型四：距離問題方法技巧1：線與線的夾角（1）位置關(guān)系的分類：（2）異面直線所成的角①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．②范圍：=3\*GB3③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．方法技巧2：線與面的夾角①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．②范圍：=3\*GB3③求法：常規(guī)法：過平面外一點做平面，交平面于點；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；方法技巧3：二面角（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面．（二面角或者是二面角）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．（3）二面角的求法法一：定義法在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．法二：三垂線法在面或面內(nèi)找一合適的點，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：①找點做面的垂線；即過點，作于；②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接；③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．圖1圖2圖3法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大??；法四：補棱法當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．法五：垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．例如：過二面角內(nèi)一點作于，作于，面交棱于點，則就是二面角的平面角．如圖3．此法實際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．方法技巧4：空間中的距離求點到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解．經(jīng)典題型一：異面直線所成角1．（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））已知三棱錐中，平面，，且，D，E分別為SA，BC的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（多選題）（2022·湖北·高三開學(xué)考試）在長方體中，，則（

）A．平面平面B．直線與所成的角為C．A到平面BDD1B1的距離為D．直線與所成的角為3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知異面直線，的夾角為，若過空間中一點，作與兩異面直線夾角均為的直線可以作4條，則的取值范圍是______.4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，現(xiàn)將平行四邊形沿對角線折起，當(dāng)異面直線和所成的角為時，的長為___________.經(jīng)典題型二：線面角5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱臺中，平面，，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．6．（2022·甘肅白銀·高三開學(xué)考試（文））在三棱錐A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，則直線AB與平面ACD所成的角為（

）A． B． C． D．7．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐的底面是正三角形，平面，且，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））在四棱柱中，交平面于點M，M為的垂心，.(1)證明：平面平面；(2)，求與平面所成角的正弦值.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)當(dāng)直線與底面所成的角都為，且時，求出多面體的體積.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知正三棱柱中，，是的中點.(1)求證：平面；(2)點是直線上的一點，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時，求三棱錐的體積．經(jīng)典題型三：二面角11．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）在等腰梯形（圖1）中，，是底邊上的兩個點，且.將和分別沿折起，使點重合于點，得到四棱錐（圖2）.已知分別是的中點.(1)證明：平面.(2)證明：平面.(3)求二面角的正切值.12．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面，，且，，為棱的中點.(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，點為的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；14．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，沿將折起，使得點到點的位置，且，為的中點，是上的動點（與點，不重合）．(1)證明：平面平面；(2)是否存在點，使得二面角的正切值為？若存在，確定點位置；若不存在，請說明理由．15．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）在三棱錐中，為的垂心，連接.(1)證明：；(2)若平面把三棱錐分成體積相等的兩部分，與平面所成角的，求平面與平面所成角的余弦值.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，四邊形是矩形，，且平面平面．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面的夾角的大??；經(jīng)典題型四：距離問題17．（2022·重慶模擬題）如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．（1）求異面直線DE與的距離；18．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別在棱PA，PB，PC上，若PE＝4，PF＝PD＝2，則點P到平面DEF的距離為（

）A． B． C． D．19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點是棱的中點.直線與平面的距離為（）A． B． C． D．20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖（1）平行六面體容器盛有高度為的水，，.固定容器底而一邊于地面上，將容器傾斜到圖（2）時，水面恰好過，，，四點，則的值為（

）A． B． C． D．21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長為，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．

1．（2022·全國·高考真題（理））在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為2．（2021·全國·高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．3．（2020·海南·高考真題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（

）A．20° B．40°C．50° D．90°4．（2019·全國·高考真題（文））已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．5．（2021·全國·高考真題（理））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．6．（2021·全國·高考真題（理））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?7．（2021·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.8．（2020·山東·高考真題）已知點，分別是正方形的邊，的中點.現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點，分別是，的中點，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.9．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．10．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．11．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．12．（2022·全國·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；經(jīng)典題型一：異面直線所成角1．【答案】B【解析】如圖所示，分別取SC，AC的中點F，G，連接DF，EF，EG，DG，則，所以（或其補角）為異面直線DE與AC所成的角，設(shè)，則由和平面ABC，易得，，因為，，所以在中，，由余定理得，所以異面直線DE與AC所成角的余弦值為．故選：B．2．【答案】AB【解析】對于選項A，設(shè)，，連接，平面平面，所以分別是平面、平面的中心，，因為平面，所以平面，平面，所以，即即為平面與平面二面角的平面角，因為，所以四邊形為正方形，所以，故A正確；對于選項B，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角,由四邊形為正方形，所以，所以直線與所成的角為，故B正確；對于選項C，做交于，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以的長度即為點到平面的距離，因為，，可得，故C錯誤；對于選項D，連接，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，,，，由余弦定理得，故D錯誤.故選：AB.3．【答案】【解析】如圖，將異面直線a、b平移到過P點，此時兩相交直線確定的平面為α，如圖，a平移為，即PA，b平移為，即BE．設(shè)∠APB=θ，PC且PC是∠APB的角平分線，則PC與和的夾角相等，即PC與a、b夾角均相等，①將直線PC繞著P點向上旋轉(zhuǎn)到PD，當(dāng)平面PCD⊥α?xí)r，PD與、的夾角依然相等，即PD與a、b的夾角依然相等；將直線PC繞著P點向下旋轉(zhuǎn)時也可得到與a、b的夾角均相等的另外一條直線，易知PC與PA夾角為，當(dāng)PC向上或向下旋轉(zhuǎn)的過程中，PC與PA夾角增大，則若要存在與兩異面直線夾角均為的直線，有；②同理，∠APE=，將∠APE的角平分線繞著P向上或向下旋轉(zhuǎn)可得兩條直線與a、b的夾角均為，則，如此，即可作出4條直線與異面直線a、b夾角均為，又∵0＜θ≤，∴．故答案為：．4．【答案】2或【解析】由題設(shè)，，即，∴由平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理易知：△、△為等腰直角三角形，將平行四邊形沿對角線折起，當(dāng)異面直線和所成的角為，如上圖示，作，，且、交于，顯然為正方形，∴或，又，則，或，因為，所以，結(jié)合，所以平面，在△中，當(dāng)時，；當(dāng)時，故答案為：2或.經(jīng)典題型二：線面角5．【答案】A【解析】將棱臺補全為如下棱錐，由，，，易知：，，由平面，平面，則，，所以，，故，所以，若到面的距離為h，又，則，可得，綜上，與平面所成角，則，即.故選：A6．【答案】C【解析】因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又CD⊥BC，，平面ABC，平面ABC，所以CD⊥平面ABC．又平面ACD，所以面平面ABC作BE⊥AC，垂足為E.則平面ACD.所以∠BAE是直線AB與平面ACD所成的角.在直角三角形ABC中，因為，所以．故選：C7．【答案】B【解析】設(shè)，的中點為，連接，，過作交于,因為平面，且，可知,由于是中點,因此平面,故平面,又平面,因此平面平面，且平面平面,,平面,因此平面,所以是直線與平面所成的角，因為，所以.故選：B8．【解析】（1）證明：如圖所示，設(shè)交于點E，易知三點共線，則，又E為的中點，∴M為的重心，又M為的垂心，∴為等邊三角形.取的中點H，則由可得，又，則，則，又平面，可得平面，又平面，則平面平面.（2）作垂直于的延長線于點Q，由（1）知，平面，則即為所求線面角，在中，，則，則，，在中，由余弦定理得：∴，∴.9．【解析】（1）證明：連接，設(shè)交于點，連接，因為，所以，因為，所以，所以，又平面，平面所以平面；（2）因為平面，所以即為直線與底面所成的角的平面角，即為直線與底面所成的角的平面角，所以，所以，，，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，故，，所以.10．【解析】（1）證明：連接交于點，連接，因為四邊形為平行四邊形，，則為的中點，因為為的中點，則，平面，平面，故平面.（2）因為平面，與平面所成的角為，因為是邊長為的等邊三角形，則，平面，平面，，則，所以，，平面，，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，因為為的中點，則，則.經(jīng)典題型三：二面角11．【解析】（1）由題意可得，在等腰梯形中，，在中，因為，所以，四邊形為正方形.在四棱錐中，連接，因為分別是的中點，所以，且，在正方形中，因為是的中點，所以，且，所以，且，∴四邊形是平行四邊形，，因為平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，，因為為的中點，所以，在等腰梯形中，，所以在四棱錐中，，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，平面，所以平面；（3）在中，過點作，垂足為，連接，由（2）知平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，平面，∴，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱錐中，，設(shè)，則，在中，，所以，在中，，故二面角的正切值為.12．【解析】（1）在四棱錐中，取PB的中點E，連OE，CE，如圖，因為棱的中點，則，，因平面，有平面，而平面，則，則有，在直角梯形中，，又是邊長為2的等邊三角形，即，又，因此，而，則，于是得四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，所以平面.（2）因，，則，由（1）知，即，解得，有，延長BC，AD交于點Q，連PQ，由且得：點D是AQ中點，即有，因此，即，由平面，平面，得,而，平面，則平面，平面，即得，因此是二面角的平面角，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是.13．【解析】（1）取中點，連接，如圖，因為是中點，則且，又，，所以且，所以是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）取中點，連接，交于點，連接，由已知，，，得是正方形，，，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，又，，所以，，，所以平面與平面夾角的正弦值為．14．【解析】（1）證明：因為，所以平面，因為平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，因為，所以,因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，（2）假設(shè)存在點滿足題意，如圖，過作于，因為，所以∥，由（1）知平面，所以平面，因為平面，所以，過作于，連接，因為，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角，不妨設(shè)，則，在中，設(shè)，因為∽，所以，所以，得，所以，解得，即此時為的中點，綜上，存在點，使得二面角的正切值為，此時為的中點，15．【解析】（1）連接并延長交于點，連接，如圖，因為為的垂心，所以.因為，，所以面.因為面，所以，因為，所以面，又面，所以.（2）由（1）知，面把三棱錐分成兩個三棱錐.因為兩個三棱錐的體積相等，所以到面的距離相等，即為的中點.因為，所以.因為面，所以為與面所成的角，，因為，所以所求平面與平面所成二面角的平面角為，且，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.16．【解析】（1）連接交于，連接，四邊形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，平面，即為與平面所成角．四邊形為矩形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，在中，，，故與平面所成角的正弦值為．（2）取的中點，連接、，由（1）知，平面，四邊形是菱形，四邊形為矩形，，，，，即為二面角的平面角，在中，，，由余弦定理知，，，故二面角的大小為，則平面與平面的夾角為．經(jīng)典題型四：距離問題17．【解析】（Ⅰ）因，且，故面，從而，又，故是異面直線與的公垂線．設(shè)的長度為，則四棱椎的體積為．而直三棱柱的體積為．由已知條件，故，解之得．從而．在直角三角形中，，又因，故．18．【答案】B【解析】如圖，由題意，，易知正，結(jié)合余弦定理，可得DF＝2，，取DF的中點G，過點P作EG的垂線交EG的延長線于點H，易知點P到平面DEF的距離為PH的長，因為，則，即，即，兩邊平方，化簡得.故選：B19．【答案】B【解析】如圖所示：取PA的中點F，連接EF，F(xiàn)D，因為底面，所以，因為底面為矩形，所以，，所以平面，又平面，所以平面平面，平面平面，所以點A到FD的距離，即為點A到平面的距離，因為，平面，平面，所以平面，所以點A到平面的距離，即為直線AB到平面的距離，在中，，所以點A到FD的距離為.故直線與平面的距離為.故選：B20．【答案】B【解析】如圖：作于點，作于點，因為，則，，又因為，所以為等邊三角形，則，取的中點，連接，，則，，，因為，所以面，則，，由余弦定理可得：，所以，作于點，因為面，面，所以，因為，所以面，所以點到面的距離為，故平面到平面的距離為，由題意可知：所盛水的體積為平行六面體容器的一半，所以，故選：B.21．【答案】C【解析】由題意知：正六面體是棱長為的正方體，，，，，平面平面，連接，，，，平面，又平面，，同理可證得：，又平面，，平面，平面，設(shè)垂足分別為，則平面與平面間的距離為.正方體的體對角線長為.在三棱錐中，由等體積法求得：，∴平面與平面間的距離為：.故選：.1．【答案】D【解析】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．2．【答案】D【解析】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D3．【答案】B【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.故選：B4．【答案】.【解析】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．5．【解析】（1）幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．從而．因為，所以．所以，于是．所以．所以．（2）構(gòu)造長方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長方體，聯(lián)結(jié)，交點記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．6．【解析】（1）幾何法因為，所以．又因為，，所以平面．又因為，構(gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點，連接，因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，易證，則．又因為，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．（2）如圖所示，延長交的延長線于點S，聯(lián)結(jié)交于點T，則平面平面．作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過作交于點G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時，．7．【解析】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）如圖所示，作，垂