第二節(jié)3幾種特殊類型函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分三角函數(shù)有理式的積分簡單無理函數(shù)的積分小結(jié)有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4

求積分解例5

求積分解例6

求積分解令說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令則記這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分令（萬能置換公式）例7

求積分解由萬能置換公式例8

求積分解（一）解（二）修改萬能置換公式,令解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.例9

求積分解討論類型解決方法作代換去掉根號.例10

求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分例11

求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例12

求積分解先對分母進行有理化原式簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)思考題將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.練習(xí)題練習(xí)題答案（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.（4）積分表見《高等數(shù)學(xué)》（四版）上冊（同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編）第452頁．（3）求積分時，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接或經(jīng)過簡單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說明例1

求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題例2

求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類公式有兩個選公式（105）將代入得例3

求表中不能直接查出,需先進行變量代換.令被積函數(shù)中含有在積分表（六）中查得公式（37）將代入得例4

求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的冪次減少兩次,重復(fù)使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少,直到求出結(jié)果.這個公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是對積分