曲線的mdnheim曲線的主法向量與主法向量

當曲線和曲線1的點之間有一個共同的對應關系時，的主法線與1的副法線重疊，曲線就是馬納赫曲線，曲線1就是馬納赫夫人曲線。在三維Minkowski空間E31中,設r=r(s)為曲線Γ的方程,其中s為曲線Γ的弧長參數(shù).稱α=˙r=dr/ds為曲線的單位切向量,β=˙α/|˙α|為曲線的主法向量,γ=α(s)×β(s)為曲線的副法向量.引理1設α,β,γ為三維Minkowski空間中任一曲線的單位切向量、主法向量、副法向量.α為類空向量,β為類空向量,γ為類時向量時,對應的Frenet公式為˙α=κβ˙β=-κα+τγ˙γ=τβ引理2設α,β,γ為三維Minkowski空間中任一曲線的單位切向量、主法向量、副法向量.α為類空向量,β為類時向量,γ為類空向量時,對應的Frenet公式為˙α=κβ˙β=κα+τγ˙γ=τβ引理3設α,β,γ為三維Minkowski空間中任一曲線的單位切向量、主法向量、副法向量.α為類時向量,β為類空向量,γ為類空向量時,對應的Frenet公式為˙α=κβ˙β=κα+τγ˙γ=-τβ1im充分發(fā)揮不同自適應的frenet公式定理1在引理1的Frenet公式下,若r1=r1(s1)(s1為r1的自然參數(shù))為Mannheim曲線,r=r(s)為Mannheim曲線的侶線,則Mannheim侶線的曲率κ與撓率τ滿足˙τ=-κλ(1+λ2τ2)定理2在引理2的Frenet公式下,若r1=r1(s1)(s1為r1的自然參數(shù))為Mannheim曲線,r=r(s)為Mannheim曲線的侶線,則Mannheim侶線的曲率κ與撓率τ滿足˙τ=κλ(λ2τ2-1)定理3在引理3的Frenet公式下,若r1=r1(s1)(s1為r1的自然參數(shù))為Mannheim曲線,r=r(s)為Mannheim曲線的侶線,則Mannheim侶線的曲率κ與撓率τ滿足˙τ=κλ(1-λ2τ2)2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2設α1,β1,γ1分別為曲線r1=r1(s1)的單位切向量、主法向量、副法向量;α,β,γ分別為曲線r=r(s)的單位切向量、主法向量、副法向量.定理1證明r1=r1(s1)為Mannheim曲線,r=r(s)為Mannheim曲線的侶線,則Mannheim曲線Γ1的方程為r1(s1)=r(s)+λ(s)γ(s)(1)其中,λ(s)為數(shù)量函數(shù).兩邊對s1求導,由引理1得α1=(α+λτβ+˙λγ)dsds1(2)由Mannheim侶線定義,β1‖γ,得0=-˙λdsds1,而dsds1≠0,故˙λ=0,因而λ是一個常數(shù),于是α1=(α+λτβ)dsds1(3)設α1=ε(αcosθ+βsinθ)ε=±10≤θ≤2π(4)由式(3)和式(4),有式(4)兩邊對s1求導,由引理1有κ1β1=ε[-(κ+˙θ)αsinθ+(κ+˙θ)βcosθ+τγsinθ]dsds1其中˙θ=dθ/ds.因β1‖γ,可得-ε(κ+θ˙)sinθdsds1=0ε(κ+θ˙)cosθdsds1=0(7)但sinθ,cosθ不能同時為0,所以有κ+θ˙=0,即θ˙=-κ(8)由式(5),有sec2θθ˙=λτ˙(-κ)(1+λ2τ2)=λτ˙于是τ˙=-κλ(1+λ2τ2)(9)證畢.定理2證明由式(1)及引理2,得α1=(α+λτβ+λ˙γ)dsds1(10)由Mannheim侶線定義,有α1=(α+λτβ)dsds1(11)又設α1=ε(αchθ+βshθ)ε=±1(12)由式(11)和式(12),有εchθ=dsds1εshθ=dsds1λτ(13)式(12)兩邊對s1求導,由引理2有κ1β1=ε[(θ˙+κ)αshθ+(κ+θ˙)βchθ+τγshθ]dsds1其中θ˙=dθ/ds.由β1‖γ,得ε(κ+θ˙)shθdsds1=0ε(κ+θ˙)chιdsds1=0(14)而chθ>0,所以κ+θ˙=0,θ˙=-κ.由式(13),有(dsds1)2=11-λ2τ2(15)thθ=λτ(16)θ˙1ch2θ=λτ˙于是θ˙(1-λ2τ2)=λτ˙-k(1-λ2τ2)=λτ˙即τ˙=kλ(λ2τ2-1)(17)證畢.定理3證明由式(1)及引理3,得α1=(α-λτβ+λ˙γ)dsds1(18)由Mannheim侶線定義,有α1=(α-λτβ)dsds1(19)又設由式(19)和式(20),有εchθ=dsds1εshθ=-λτdsds1(22)(dsds1)2=11-λ2τ2(23)thθ=λτ(24)根據(jù)定理2的證明,由式(19)和式(20)同理可得κ+θ˙=0,θ˙=-κ.再由式(23)和式(24),有θ˙1ch2θ=-λτ˙θ˙(1-λ2τ2)=-λτ˙于是τ˙