北京市東城區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案一、選擇題每題2分，共16分。1.若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為0，則m的值為()A.2 B.1 C.0 D.答案；C2.下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A.正方形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.正五邊形答案；A3.關(guān)于二次函數(shù)的最大值或最小值，下列說法正確的是（）A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最大值6 D.有最小值6答案；D4.一只不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個(gè)球，下列事件是確定事件的為（）A.至少有1個(gè)球是黑球 B.至少有1個(gè)球是白球C.至少有2個(gè)球是黑球 D.至少有2個(gè)球是白球答案；A5.某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）A.180（1﹣x）2=461 B.180（1+x）2=461C.368（1﹣x）2=442 D.368（1+x）2=442答案；B6.如圖，在中，是直徑，弦的長為5，點(diǎn)D在圓上，且，則的半徑為（）A. B.5 C. D.答案；B7.抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖，AC，BD分別與⊙O切于點(diǎn)C，D，延長AC，BD交于點(diǎn)P．若，⊙O的半徑為6cm，則圖中的長為（）A.πcm B.2πcm C.3πcm D.4πcm答案；B8.如圖，正方形和的周長之和為，設(shè)圓的半徑為，正方形的邊長為，陰影部分的面積為．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A.一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系答案；B二、填空題每題2分，共16分。9.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________．答案；10.把拋物線向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為_______．答案；11.請寫出一個(gè)常數(shù)c的值，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值可以是____________．答案；0，（答案不唯一，即可）．12.2022年3月12日是我國第44個(gè)植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000幼樹移植成活數(shù)（棵）878934485722489831344318044幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活的概率是______．（結(jié)果精確到0.1）答案；0.913.以?ABCD對角線的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于BC邊的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），則C點(diǎn)坐標(biāo)為_____．答案；（2，﹣1）14.如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠B=50°，則∠OCD的度數(shù)等于___________．答案；20°15.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積（弦×失+失2）．弧田（圖中陰影部分）由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積約為______米．（）答案；16.我們給出如下定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)到圖形的距離是指這個(gè)點(diǎn)到圖形上所有點(diǎn)的距離的最小值．在平面內(nèi)有一個(gè)矩形，中心為O，在矩形外有一點(diǎn)P，，當(dāng)矩形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到矩形的距離d的取值范圍為__________．答案；三、解答題共68分，17-22題，每題5分，23-26題，每題6分，27-28題，每題7分。17.下面是小美設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點(diǎn)A在上．求作：的切線．作法：①作射線；②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C和點(diǎn)D；③分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)B；④作直線．則直線即為所求作的的切線.根據(jù)小美設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明.證明：連接，．由作圖可知，，．∴．∵點(diǎn)A在上，∴直線是的切線()(填寫推理依據(jù))．答案；（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，（2）證明：連接，．由作圖可知，，．∴，∵點(diǎn)A在上，∴直線是的切線(經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故答案為：；；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖能力和切線的證明；能夠按要求規(guī)范作圖是解題的關(guān)鍵．18.如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，，若，求的長.答案；如圖，連接．∵是的直徑，弦于點(diǎn)E，∴．又∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．19.下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：的過程，請仔細(xì)閱讀后，解答下面的問題．解：移項(xiàng)，得：．①二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：．②配方，得．③即.∵，∴．④∴，．⑤（1）第②步二次項(xiàng)系數(shù)化為1的依據(jù)是什么？（2）整個(gè)解答過程是否正確？若不正確，說出從第幾步開始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并直接寫出此方程的解．答案；（1）等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；（2）不正確，解答從第③步開始出錯(cuò)，正確的步驟為：配方，得．③即∵，∴．④∴，．⑤此方程的解為，．20.如圖，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b，c的值；（2）連結(jié)AB，交拋物線L的對稱軸于點(diǎn)M．求點(diǎn)M的坐標(biāo)；答案；（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得：，解得：，∴，；（2）設(shè)直線AB的解析式為：，將點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得：，解得：，∴一次函數(shù)解析式為：，由（1）得二次函數(shù)解析式為：，對稱軸為：，直線與的交點(diǎn)為M，∴當(dāng)時(shí)，，∴交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-3）．21.如圖，在邊長均為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均為格點(diǎn)(每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn))．（1）作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)；（2）連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段；（3）連接，，求出的面積（直接寫出結(jié)果即可）．答案；（1）如圖所示，點(diǎn)即為所求；（2）如圖所示，線段即為所求；（3）如圖所示，．22.2022年3月23日，“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，神舟十三號(hào)飛行乘組航天員翟志剛、王亞平、葉光富講了又一堂精彩的太空科普課．這場充滿奇思妙想的太空授課，讓科學(xué)的種子在億萬青少年的心里生根發(fā)芽．小明和小亮對航天知識(shí)產(chǎn)生了極大興趣，他們在中國載人航天網(wǎng)站了解到，航天知識(shí)分為“夢圓天路”、“飛天英雄”、“探秘太空”、“巡天飛船”等模塊．他們決定先從“夢圓天路”、“飛天英雄”、“探秘太空”三個(gè)模塊中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，分別設(shè)這三個(gè)模塊為A，B，C，用畫樹狀圖或列表的方法求出小明和小亮選擇相同模塊的概率．答案；由題意，畫樹狀圖如下：由圖可知，所有等可能的結(jié)果共有9種，其中，小明和小亮選擇相同模塊的結(jié)果有3種．則小明和小亮選擇相同模塊的概率為，答：小明和小亮選擇相同模塊的概率為．23.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)該方程的判別式的值最小時(shí)，寫出m的值，并求出此時(shí)方程的解．答案；（1）證明：∵，∵，∴．∴無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)，的值最?。畬⒋?，得解得：．24.擲實(shí)心球是中考體育考試項(xiàng)目之一，實(shí)心球投擲后的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從投擲到著陸的過程中，實(shí)心球的豎直高度(單位：m)與水平距離(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系．某位同學(xué)進(jìn)行了兩次投擲．（1）第一次投擲時(shí)，實(shí)心球的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0246810豎直距離y/m根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實(shí)心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系；（2）第二次投擲時(shí)，實(shí)心球的豎直高度y與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．記實(shí)心球第一次著地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，第二次著地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則_____(填“＞”“＝”或“＜”)．答案；（1）由表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以實(shí)心球豎直高度的最大值為，設(shè)拋物線的解析式為：，將點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）第一次拋物線解析式為，令，得到，（負(fù)值舍去），第二次拋物線的解析式為，令，得到，（負(fù)值舍去），，25.如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：直線是的切線；（2）若°，，求DF的長．答案；（1）證明：連接．∵是的直徑，平分，∴.又∵，∴．即．∴直線為的切線．（2）∵是的直徑，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，設(shè)則，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故26.已知二次函數(shù)．（1）求該二次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及對稱軸．（2）已知點(diǎn)都在該二次函數(shù)圖象上，①請判斷與的大小關(guān)系：（用“”“”“”填空）；②若，，，四個(gè)函數(shù)值中有且只有一個(gè)小于零，求a的取值范圍．答案；（1）令，則，∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．對稱軸．（2）①∵函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴。②∵函數(shù)圖象的對稱軸為直線，，∴點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)．當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，∴，不合題意．當(dāng)時(shí)，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，則，，，，四個(gè)函數(shù)值可以滿足，∴，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．解得．27.如圖，是等腰直角三角形，，為延長線上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）比較與的大小，并證明；（3）連接，為的中點(diǎn)，連接，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案；（1）補(bǔ)全圖形如圖所示（2），理由如下：∵，∴∵∴∵，∴由題意可知，∴∴在和中∴≌∴∵∴，∴（3）理由如下：連接，∵，為的中點(diǎn)，∴∵∴在和中∴≌∴，∴即∴為等腰直角三角形∴∵，∴28.在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：將圖形M繞直線上某一點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再關(guān)于直線對稱，得到圖形N，我們稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形．已知點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo)________；（2）若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）；（3）已知的半徑為1，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)A重合．若線段，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的取值范圍．答案；（1）如圖1，根據(jù)二次關(guān)聯(lián)圖形的定義分別找到和，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，∴由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)和關(guān)于直線對稱，∴點(diǎn)，即點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)