函數(shù)的持續(xù)性與一致持續(xù)性舒雄偉數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)07128011指導(dǎo)教師：汪天飛副專家【摘要】持續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中著重討論的一類函數(shù)，一致持續(xù)函數(shù)又是從持續(xù)函數(shù)的概念派生出來的。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時,總?cè)菀装押瘮?shù)持續(xù)性與一致持續(xù)性混淆，僅能淺層次理解其概念不能進(jìn)一步學(xué)習(xí)。因此，本文為理解決類似問題，并受一致持續(xù)性定理和數(shù)學(xué)分析教材幾個習(xí)題的啟發(fā)，對此加以推導(dǎo)證明，解釋了學(xué)習(xí)時經(jīng)常出現(xiàn)的幾個重要問題，歸納總結(jié)出持續(xù)函數(shù)與一致持續(xù)函數(shù)的幾個鑒定辦法，使得對持續(xù)函數(shù)與一致持續(xù)函數(shù)的內(nèi)涵有了更全方面的理解?！竞诵脑~】持續(xù)一致持續(xù)鑒定辦法=0\*Arabic0．引言持續(xù)函數(shù)對揭示自然界持續(xù)變化的現(xiàn)象有很重要的作用，如氣溫持續(xù)上升或下降，壓力的持續(xù)減少，距離的持續(xù)增加等等，它們數(shù)學(xué)抽象都是持續(xù)函數(shù)。學(xué)習(xí)持續(xù)函數(shù)，能夠通過局部預(yù)計函數(shù)值，對有界性，取極值，介值等的學(xué)習(xí)都有很大協(xié)助。從持續(xù)性派生的一致持續(xù)性，更是函數(shù)性質(zhì)從其局部到其整體上的拓展，使研究的函數(shù)性質(zhì)更進(jìn)一步全方面。=1\*Arabic1．研究的背景和意義在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時，總是很難理解概念和公式的意義，經(jīng)常只規(guī)定自己記住會用就行。學(xué)習(xí)函數(shù)的持續(xù)性和一致持續(xù)性時也有同樣的狀況，不理解為什么會用極限刻畫持續(xù)性，函數(shù)的極限與持續(xù)性有何關(guān)系，以及函數(shù)的一致持續(xù)性是如何由持續(xù)性派生，一致持續(xù)性定理在其它區(qū)間與否合用等問題，都成為我們學(xué)習(xí)持續(xù)函數(shù)和一致持續(xù)函數(shù)的障礙，本文解決了學(xué)習(xí)中幾個常見重要問題，對函數(shù)持續(xù)性的掌握更進(jìn)一步全方面，把函數(shù)持續(xù)性和一致持續(xù)性的關(guān)系作了深刻剖析，給出了持續(xù)性和一致持續(xù)性的幾個鑒定辦法，有助于本章有關(guān)內(nèi)容的掌握。２．函數(shù)持續(xù)性與一致持續(xù)性的概念從幾何形象上粗略地說，持續(xù)函數(shù)在坐標(biāo)平面上的圖像是一條連綿不停的曲線，一致持續(xù)函數(shù)的圖像能夠說是一條一致持續(xù)的曲線，不會產(chǎn)生陡然上升或者陡然下降的狀況。固然我們不能滿足這種直觀的認(rèn)識，下面我們給出持續(xù)函數(shù)和一致持續(xù)函數(shù)的精擬定義，從而方便研究兩者之間的關(guān)系。定義1設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義。若，則稱在點持續(xù)。2.1對于函數(shù)持續(xù)性定義借助于極限的解釋“函數(shù)在點持續(xù)”，粗略地說就是，點的函數(shù)值與點附近的點的函數(shù)值連接著。我們懂得，對于任意一種固定的充足靠近點的，只要，與就有一段距離（充足小的正數(shù)），在坐標(biāo)平面上，與就是兩個不同的點，從而點與就不能連接著。因此，在趨于的有限過程中，永遠(yuǎn)也不能使點與連接起來。為了使點與連接起來，必須在的無限過程中，使，即。只要這樣才干實現(xiàn)數(shù)學(xué)意義上定點與動點的連接，即持續(xù)。2.2函數(shù)持續(xù)性與一致持續(xù)性的定義定義2（持續(xù)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若，只要，，都有，則稱在區(qū)間I上持續(xù)。定義3（一致持續(xù)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若,只要，，都有，則稱在區(qū)間I上一致持續(xù)。2.3對比函數(shù)持續(xù)性和一致持續(xù)性普通來說,函數(shù)對于I上不同的點,對應(yīng)的正數(shù)是不同的.持續(xù)函數(shù)的取值除依賴之外,還與點有關(guān),由此寫以表達(dá)與和的依賴關(guān)系.如果能做到只與有關(guān),而與無關(guān),或者說存在適合I上全部點的公共,即,那么函數(shù)不僅在I上持續(xù),并且是一致持續(xù)了.2.4函數(shù)持續(xù)性和一致持續(xù)性的整體與局部關(guān)系函數(shù)在I上一致持續(xù)的整體性質(zhì)推出在I上每一點都持續(xù)的局部性質(zhì)，在定義3中把看作定點，把看作動點，即得到函數(shù)在持續(xù)，也就是說若函數(shù)在I上一致持續(xù)，則函數(shù)在I上必持續(xù)，反之不一定成立。如在上持續(xù)，但不一致持續(xù)。2.5函數(shù)一致持續(xù)性的實質(zhì)當(dāng)區(qū)間的任意兩個彼此充足靠近的點上的值的差，就絕對值來說，能夠任意小，即，時，有例1按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)持續(xù)(1)(2)證:(1)對,因，則存在，使得，有，因此，對于，取，就有，即在上持續(xù)．（2）對,取，就有，即在上持續(xù)．注：在（=1\*Arabic1）問中不能在區(qū)間找到一種最小正數(shù)的來共用，的取值會隨著位置的變化而變化；而在（2）問中在區(qū)間共用一種正數(shù)，只依賴于，條件更強(qiáng)，在上滿足一致持續(xù)．2.=6\*Arabic6函數(shù)一致持續(xù)性的否認(rèn)定義定義=4\*Arabic4（非一致持續(xù)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若,存在，，都有，則稱在區(qū)間I上非一致持續(xù)。例2討論函數(shù)在上的一致持續(xù)性解：令，對于任意的，可取，使得從而有那么在上不一致持續(xù)。３．函數(shù)持續(xù)性的鑒定辦法函數(shù)在點持續(xù)，有下列六種等價敘述，證明函數(shù)在一點持續(xù)或者鑒別函數(shù)在一點不持續(xù)，可根據(jù)函數(shù)構(gòu)造和需要應(yīng)用下列某個等價敘述。ⅰⅱ，只要，，都有ⅲ設(shè)，，有=4\*romanivⅴ對任意數(shù)列，，，有ⅵ，有注：證明三角函數(shù)的持續(xù)性，反函數(shù)的持續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的持續(xù)性都應(yīng)用ⅱ；證明指數(shù)函數(shù)的持續(xù)性應(yīng)用ⅲ；判斷不持續(xù)點是哪類不持續(xù)點常應(yīng)用ⅰ與=4\*romaniv。４．由一致持續(xù)性定理引申的鑒定辦法從例1(1)可見,由在區(qū)間上每一點持續(xù),并不能推出在區(qū)間上一致持續(xù)，然而對于定義在閉區(qū)間上的函數(shù)來說，由它在每一點都持續(xù)卻可推出在閉區(qū)間上的一致持續(xù)性.=4\*Arabic4.1閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的一致持續(xù)性定理１(一致持續(xù)性定理)若函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù),則在上一致持續(xù).證:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上持續(xù),則對此區(qū)間的任何一點,都能夠找到數(shù),使得當(dāng)及屬于區(qū)間時有.這是由于,當(dāng)充足小時,能夠使因此有.以來表達(dá)區(qū)間.很顯然,全部區(qū)間的全體覆蓋了區(qū)間.因此根據(jù)海涅-博雷爾引理就存在著有限多個區(qū)間也覆蓋了區(qū)間.設(shè)使眾多區(qū)間中最小的一種長度，并設(shè)及為區(qū)間上彼此距離不大于的兩個任意點，那么.事實上,點屬于眾多區(qū)間的某個區(qū)間:,但此時距不超出的點屬于區(qū)間,其中固然也包含.按照的定義,由此.例3證明在上一致持續(xù)證：，有此時等價于證明在上持續(xù)。由例1（1）知在上持續(xù)，則在上持續(xù)，那么在上持續(xù)，根據(jù)一致持續(xù)性定理，有在上一致持續(xù)。=4\*Arabic4.2半開半閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的一致持續(xù)性例4設(shè)在上持續(xù),且存在（有窮）.證明:(1)在上有界;(2)在上一致持續(xù).證:(1)由于存在,令,則對,使得對,有令,則,有.又由于在上持續(xù),故存在,使得,有.令,則,有,即在上有界.(2),使得,有,且由于在上持續(xù),從而一致持續(xù)。于是對于上述,,使得,只要,就有．取，對，只要,就有．即在上一致持續(xù).證畢．因此我們能夠總結(jié)得到下列推論：推論1：若在上持續(xù),且存在（有窮），則在上一致持續(xù).同理推論1，同樣運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則還能夠很容易得到下列推論：推論2：若在上持續(xù),且存在（有窮），則在上一致持續(xù).推論3：若在上持續(xù),且存在（有窮），則在上一致持續(xù).推論4：若在上持續(xù),且存在（有窮），則在上一致持續(xù).例5（1）證明在上一致持續(xù)。證：，由推論４，故在上一致持續(xù)。（2）證明在不一致持續(xù)。證：由于不存在，由推論1，故在不一致持續(xù)。=4\*Arabic4.3開區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的一致持續(xù)性根據(jù)上述的狀況,持續(xù)函數(shù)只需要滿足區(qū)間開的一端函數(shù)的極限存在（有窮）就能夠推出一致持續(xù),那么在開區(qū)間上與否只需要滿足兩端函數(shù)的極限存在（有窮）就能夠推出一致持續(xù),我們能夠作下列猜想:猜想:若在上持續(xù),且和存在（有窮），則在上一致持續(xù).證:由和存在的柯西收斂準(zhǔn)則知，,使得,只要，就有（A）只要，就有（B）現(xiàn)任取，使，則在上持續(xù)，故一致持續(xù)，于是存在，使得，只要，就有（C）令，來證，只要，就有事實上，當(dāng)時，由（A），;當(dāng)時,由（B）有;當(dāng)，由，據(jù)（C）有;當(dāng),且時,由于因此同理可證,當(dāng),且時,有證畢.根據(jù)猜想很容易得到下列推論:推論=5\*Arabic5：若在上持續(xù),且和存在（有窮），則在上一致持續(xù).推論=6\*Arabic6：若在上持續(xù),且和存在（有窮），則在上一致持續(xù).推論=7\*Arabic7：若在上持續(xù),且和存在（有窮），則在上一致持續(xù).例6證明在上一致持續(xù)，在上不一致持續(xù)。證：，，根據(jù)推論6，在兩端的極限均存在，則在上一致持續(xù)；又（無窮），故在上不一致持續(xù)。=4\*Arabic4.4各區(qū)間持續(xù)函數(shù)一致持續(xù)性鑒定辦法闡明（1）函數(shù)在無窮區(qū)間上一致持續(xù)不一定能推出函數(shù)趨于無窮時的極限存在。例如在上一致持續(xù)，但和不存在。（2）函數(shù)在開區(qū)間端點處的極限值必須是有窮的。例如例6，在上持續(xù)，但由于，在上不一致持續(xù)。=5\*Arabic5．函數(shù)一致持續(xù)的其它鑒定辦法=5\*Arabic5.=1\*Arabic1單調(diào)有界持續(xù)函數(shù)的一致持續(xù)性由函數(shù)極限的歸結(jié)原則，我們懂得若為某點空心鄰域的單調(diào)有界函數(shù)，則函數(shù)在該點的極限存在，那么能夠用單調(diào)有界這個條件替代極限存在，綜合前面的結(jié)論能夠得到以下推論：推論=8\*Arabic8：設(shè)為(有窮或無窮)內(nèi)單調(diào)有界的持續(xù)函數(shù)，則在上一致持續(xù).注：在上一致持續(xù)的實質(zhì)是在該區(qū)間的任何位置，只要自變量的兩個值達(dá)成一定的靠近程度，其對應(yīng)的函數(shù)值及可達(dá)成預(yù)先任意給定的靠近程度。例7證明在上一致持續(xù)。證：對于一切都有，，故是上的有界函數(shù)；任取，則有，，從而，，故即，因此在嚴(yán)格單調(diào)遞減。因此，在上一致持續(xù)。5.=2\*Arabic2滿足利普希茨(Lipschits)條件函數(shù)的一致持續(xù)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上滿足利普希茨(Lipschits)條件,即存在常數(shù),使得對I上任意兩點都有.證明在I上一致持續(xù).證:對,取,則,只要,有故在處一致持續(xù).例8證明在一致持續(xù)。證：由于，滿足利普希茨條件，因此在一致持續(xù)。5.=3\*Arabic3持續(xù)周期函數(shù)的一致持續(xù)性例9設(shè)在上持續(xù)，且為周期函數(shù)，證明在上一致持續(xù)。證：設(shè)的周期為，則對，存在整數(shù)，，使得由于在上持續(xù)，由一致持續(xù)性定理，在上一致持續(xù)，即若,使得，只要，就有對,若有=1\*Arabic1）如果，，則，故有=2\*Arabic2）如果，且，，則注意，于是有因此在上一致持續(xù).5.4數(shù)列在判斷函數(shù)一致持續(xù)性中的應(yīng)用定理1:在區(qū)間上一致持續(xù)的充要條件是：對中滿足的任意兩個數(shù)列，，必有例10討論函數(shù)在上的一致持續(xù)性解：對于點列，，有，則因此在上不一致持續(xù)。=6\*Arabic6．結(jié)語本文受華東師大版《數(shù)學(xué)分析》數(shù)學(xué)分析（第三版上冊）第四章函數(shù)持續(xù)性有關(guān)概念定理和習(xí)題的啟發(fā)，通過推理證明，運(yùn)用了函數(shù)極限的歸結(jié)原理，區(qū)間覆蓋定理，柯西收斂準(zhǔn)則等，分析了函數(shù)持續(xù)性和一致持續(xù)性的關(guān)系，解決了本人在學(xué)習(xí)本章時所遇的問題，并對有關(guān)內(nèi)容和函數(shù)持續(xù)性與一致持續(xù)性的鑒定辦法作了簡樸的總結(jié)，由于知識水平有限，還存在某些問題，希提出批評并指正。【參考文獻(xiàn)】[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版上冊）[M].北京:高等教育出版社,.[2][蘇]А.Я.辛欽.數(shù)學(xué)分析八講[M].北京:人民郵電出版社,.[3]李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點注釋[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,.[4]王少英.一致持續(xù)函數(shù)的鑒別法[J].唐山師范學(xué)院報第29卷第5期..[5]劉玉璉,楊奎元,劉偉,呂鳳.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,.[=6\*Arabic6]Taylor&Francis.Uniformcontinuityonunboundedintervals[J].RodrigoLopezPouso,.[7]MiguelLacruz&JoséG-Llavona.Compositionoperatorsbetweenalgebrasofuniformlycontinuousfunctions[J].Birkh?userVerlag,1997.[=8\*Arabic8]周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題演習(xí)（第一冊）[M].北京:科學(xué)出版社,.ThecontinuityanduniformcontinuityoffunctionXiongweishu【Abstract】Continuousfunctionisamostdiscussedsubjectinmathematicalanalysis,whileuniformlycontinuousfunctionisasubfieldofit.Inmathematicalanalysislearning,abeginnerfindsitdifficulttotellapartthecontinuityandunanimouscontinuityofafunction,whichhinderstheirunderstandingsandin-depthstudy.Forsolvingthisproblem,afteraseriesofresearchesinquestionsofmathematicalanalysisintextbooks,thisessayappliesdeductionandputsforwardpracticalestima