河南省鄭州市河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．黃金矩形是寬（）與長(zhǎng)（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.2．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.13．已知直線，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面4．函數(shù)的最小值為（）A. B.1C.2 D.e5．《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問(wèn)第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺6．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.7．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.9．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.10．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對(duì)是（）A. B.C. D.11．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見(jiàn)現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，則曲線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，再縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.12．函數(shù)，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.無(wú)法確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則__________14．設(shè)函數(shù)，，對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______15．圓被直線所截得弦的最短長(zhǎng)度為_(kāi)__________.16．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)計(jì)算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機(jī)數(shù)x（，且）表示是否下雨：當(dāng)時(shí)表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時(shí)，表示該地區(qū)不下雨，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒(méi)有下雨）．時(shí)間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計(jì)算如果該地區(qū)2021年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，點(diǎn)E為棱PC的動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（2）若E為棱PC上任一點(diǎn)，滿足，求二面角P-AB-E的余弦值.19．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線l的方程.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面積為，求a+c的值21．（12分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF2，BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.2、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?故選：A.3、D【解析】以正方體為載體說(shuō)明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D4、B【解析】先化簡(jiǎn)為，然后通過(guò)換元，再研究外層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值【詳解】化簡(jiǎn)可得：令，故的最小值即為的最小值，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，易知對(duì)求導(dǎo)可得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增則有：故選：B5、A【解析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.【詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)第日織布為，有，所以，故選:A.6、D【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則面積為，陰影部分由一個(gè)大等腰直角三角形和一個(gè)梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B8、C【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得故選：C9、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項(xiàng).【詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線，所以，則，又點(diǎn)在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量10、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對(duì)是，故選：11、C【解析】設(shè)單位圓上一點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過(guò)橫向均勻壓縮至原來(lái)的一半，縱向均勻壓縮至原來(lái)的，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.12、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，又實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，又因?yàn)椋?，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.14、【解析】首先求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當(dāng)時(shí)，取最大值1，∵對(duì)任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∵當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值1，故，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔15、【解析】首先確定直線所過(guò)定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長(zhǎng)度為.【詳解】由得：，直線恒過(guò)點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長(zhǎng)度為.故答案為：.16、10【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：10三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）；該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【解析】（1）利用概率模擬求概率；（2）套用公式求回歸直線方程即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，所給的20組數(shù)據(jù)中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，故所求的概率為；（2）由題中所給的數(shù)據(jù)可得，，所以，，所以回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，所以該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【點(diǎn)睛】求線性回歸方程的步驟：①求出；②套公式求出；③寫出回歸方程；④利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)；18、（1）（2）【解析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（2）設(shè)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)求出的值，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量求二面角【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD，平面，所以因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，點(diǎn)E為棱PC的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以,，設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)直線BE與平面PBD所成角為，則，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為，【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)镋為棱PC上任一點(diǎn)，所以設(shè)，所以，因?yàn)椋裕獾?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角P-AB-E的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角P-AB-E余弦值為19、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離d等于圓的半徑r即可求得答案；（2）由并結(jié)合（1）即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑,若直線與圓相切，則圓心到直線：距離，即，可得：.【小問(wèn)2詳解】由（1）知圓心到直線的距離，因?yàn)?，即，解得：，所以，整理可得：，解得：或，則直線的方程為或.20、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)求出，即可得到結(jié)果（2）利用三角形的面積求出，通過(guò)由余弦定理求解即可【詳解】解：（1）因?yàn)閎cosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16∴a+c=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面積公式解三角形問(wèn)題，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到21、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點(diǎn)為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線段AF2，BF2中點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(2)由,得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依題意易知，OM⊥ON，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2⊥BF2.因?yàn)?x1－3，y1)，(x2－3，y2)，所以(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝