結(jié)合近幾年的中考試題分析，二次函數(shù)是歷年中考的重要考點，學(xué)生應(yīng)掌握：通過實際問題分析體會二次函數(shù)的意義，并能確定二次函數(shù)的表達式；會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；能確定函數(shù)圖象的頂點、開口方向、對稱軸等信息，各題型均有涉及.二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識，是中考的重要內(nèi)容，主要考查二次函數(shù)的對稱軸及頂點坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，這些都是復(fù)習(xí)的重點，教學(xué)時應(yīng)抓住圖象平移的關(guān)鍵是頂點的平移，突破二次函數(shù)圖象的平移這一難點.易錯點：在用配方法求二次項系數(shù)不是1的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸及頂點坐標(biāo)時，常由于沒把二次項系數(shù)a提出來，而導(dǎo)致配方錯誤，得不出正確答案或配方雖正確，而把頂點坐標(biāo)符號寫錯.易混點：二次函數(shù)圖象的左右平移易混淆.1.二次函數(shù)的定義要注意a≠0的條件.2.拋物線的開口及最值由a的取值決定.3.對于二次函數(shù)圖象的平移，要注意左右平移時符號的變化.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例1】(2011·日照中考)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c>0.其中正確的命題是_______.(只要求填寫正確命題的序號)【思路點撥】

【自主解答】因為二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，0)，所以當(dāng)x=1時，y=a×12+b×1+c=a+b+c=0，所以①正確；由于二次函數(shù)的對稱軸為x=-1,所以-=-1,所以b=2a,故②不正確；由對稱軸及圖象與x軸的一個交點，知另一個交點為(-3，0)，所以ax2+bx+c=0的兩根為-3和1，故③正確；當(dāng)x=-1時，y<0，即a-b+c<0，又由上面提到b=2a,a>0，得b>0，∴a-2b+c<0，故④錯誤.因此正確的命題是①③.答案：①③1.(2011·聊城中考)下列四個函數(shù)圖象中，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是()【解析】選D.x<0時，即在y軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小.2.(2011·重慶中考)已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是()(A)a>0(B)b<0(C)c<0(D)a+b+c>0【解析】選D.拋物線開口向下，∴a<0，對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b>0，拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，當(dāng)x=1時，y>0，即a+b+c>0.確定二次函數(shù)對稱軸及頂點坐標(biāo)的方法：1.公式法：對稱軸是直線x=，頂點坐標(biāo)是2.配方法：將二次函數(shù)通過配方化為y=a(x-h)2+k的形式.對稱軸為x=h,頂點坐標(biāo)是(h,k).二次函數(shù)的圖象的平移【例2】(2011·濱州中考)拋物線y=(x+2)2-3可以由拋物線y=x2平移得到，則下列平移過程正確的是()(A)先向左平移2個單位，再向上平移3個單位(B)先向左平移2個單位，再向下平移3個單位(C)先向右平移2個單位，再向下平移3個單位(D)先向右平移2個單位，再向上平移3個單位【思路點撥】【自主解答】選B.根據(jù)y=a(x+h)2+k是由y=ax2經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫降?，其平移?guī)律是“左加右減，上加下減”得拋物線y=(x+2)2-3可由拋物線y=x2先向左平移2個單位，再向下平移3個單位得到.1.拋物線y=a(x+h)2+k可以由y=ax2經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫?，其平移?guī)律是：“h左加右減，k上加下減.”即自變量加減左右移，函數(shù)值加減上下移.2.y=ax2(a≠0)的圖象當(dāng)h>0時向左平移h個單位當(dāng)h<0時向右平移|h|個單位y=a(x+h)2的圖象當(dāng)k>0時向上平移k個單位當(dāng)k<0時向下平移|k|個單位y=a(x+h)2+k的圖象.口訣：h左加右減，k上加下減.3.(2011·樂山中考)將拋物線y=-x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的關(guān)系式是()(A)y=-(x+2)2(B)y=-x2+2(C)y=-(x-2)2(D)y=-x2-2【解析】選A.拋物線y=a(x+h)2+k可以由y=ax2經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫?，其平移?guī)律是：“h左加右減，k上加下減”即自變量加減左右移，函數(shù)加減上下移.4.(2011·江津中考)將拋物線y=x2-2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位得到的拋物線是______.【解析】y=x2-2x=(x-1)2-1,根據(jù)平移的規(guī)律得平移后的拋物線為y=(x-1-4)2-1+3=(x-5)2+2=x2-10x+27.答案：y=(x-5)2+2或y=x2-10x+27二次函數(shù)的平移1.注意平移的方向，h值正負(fù)左右移，k值正負(fù)上下移(h左加右減，k上加下減)，(h，k)是指由y=ax2到y(tǒng)=a(x+h)2+k的平移.2.平移時需要先配方再平移.二次函數(shù)表達式的確定【例3】(2011·菏澤中考)如圖，拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(-1，0).(1)求拋物線的關(guān)系式及頂點D的坐標(biāo)；(2)判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；(3)點M(m,0)是x軸上的一個動點，當(dāng)MC+MD的值最小時，求m的值.【思路點撥】

【自主解答】(1)把點A(-1，0)的坐標(biāo)代入拋物線的關(guān)系式y(tǒng)=x2+bx-2,整理后，解得b=-,所以拋物線的關(guān)系式為頂點D的坐標(biāo)為(2)△ABC是直角三角形.由y=得B(4，0)，AB=5，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.(3)作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′,則C′(0，2)，OC′=2.連接C′D交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，此時MC+MD的值最小.設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點E，則△C′OM∽△DEM.∴1.二次函數(shù)表達式的兩種形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0).2.設(shè)表達式的一般規(guī)律：(1)已知三個點的坐標(biāo)，通常設(shè)為一般式；(2)已知頂點坐標(biāo)和另外一點，通常設(shè)為頂點式；(3)頂點在原點，對稱軸為y軸，直接設(shè)為y=ax2；(4)拋物線過原點，直接設(shè)為y=ax2+bx.5.(2010·金華中考)已知二次函數(shù)y=ax2＋bx-3的圖象經(jīng)過點A(2，-3)，B(-1，0)．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿y軸向上平移______個單位．【解析】(1)由已知，有∴所求的二次函數(shù)的表達式為y=x2-2x-3.(2)46.(2011·廣東中考)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標(biāo)為(-1，0)，與y軸的交點坐標(biāo)為(0，3).(1)求出b,c的值，并寫出此二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍.【解析】(1)由題意得解得b=2,c=3,此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x2+2x+3.(2)解-x2+2x+3=0得x1=-1,x2=3；因為當(dāng)函數(shù)值y為正數(shù)時，函數(shù)圖象在x軸的上方，所以自變量x的取值范圍為-1<x<3.求二次函數(shù)表達式的一般步驟：1.設(shè)出適當(dāng)形式的函數(shù)表達式；2.代入已知點的坐標(biāo)，得到方程或方程組；3.解方程或方程組；4.寫出函數(shù)表達式.1.(2010·萊蕪中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+a的圖象不經(jīng)過()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選D.因為拋物線開口向上，所以a＞0,因為拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，所以-<0，又因為a＞0,所以b＞0,因此一次函數(shù)y=bx+a的圖象不經(jīng)過第四象限.2．(2010·昭通中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()(A)a<0，b<0，c>0，b2-4ac>0(B)a>0，b<0，c>0，b2-4ac<0(C)a<0，b>0，c<0，b2-4ac>0(D)a<0，b>0，c>0，b2-4ac>0【解析】選D.因為拋物線開口向下，所以a＜0,因為對稱軸在y軸右側(cè)，即->0，又因為a＜0,所以b＞0，因為拋物線與y軸交于正半軸，所以c＞0，因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2-4ac>0，故選D.

3.(2010·福州中考)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()(A)a＞0

(B)c＜0(C)b2-4ac＜0(D)a＋b＋c＞0【解析】選D.因為拋物線的開口向下，因此a＜0,拋物線與y軸交于正半軸，所以c＞0，因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2-4ac＞0，由圖象可知，當(dāng)x=1時，函數(shù)值為正，所以a＋b＋c＞0.4.(2010·成都中考)把拋物線y=x2向右平移1個單位，所得拋物線的函數(shù)表達式為()(A)y=x2+1(B)y=(x+1)2(C)y=x2-1(D)y=(x-1)2【解析】選D.拋物線y=x2的頂點坐標(biāo)是(0，0)，向右平移一個單位后，頂點坐標(biāo)是(1，0)，因此其表達式為y=(x-1)2.5.(2010·畢節(jié)中考)函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是()【解析】選C.選項C中，因為拋物線的開口向上，因此a＞0，又因為對稱軸在y軸的右側(cè)，所以->0，從而可得b＜0，此時直線y=ax+b經(jīng)過第一、三、四象限.6.(2010·襄樊中考)將拋物線y=-x2向上平移2個單位，再向右平移1個單位后，得到的拋物線的表達式為_______．【解析】拋物線y=-x2的頂點坐標(biāo)是(0，0)，平移后的頂點坐標(biāo)是(1，2)，而平移不改變a的值，因此平移后的表達式為：y=-(x-1)2+2.答案:y=-(x-1)2+27.(2010·上海中考)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y＝-x2＋bx＋c過點A(4,0)、B(1,3).(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；(2)記該拋物線的對稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點P(m,n)在第四象限，點P關(guān)于直線l的對稱點為E，點E關(guān)于y軸的對稱點為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值.【解析】(1)拋物線y＝-x2＋bx＋c過點A(4,0)，B(1,3).∴∴y=-x2+4x，配方得y=-(x-2)2+4，所以對稱軸為直線x=2，頂點坐標(biāo)為(2,4).(2)∵直線EP∥OA,E與P兩點，O與A兩點關(guān)于直線x=2對稱，∴OE=AP,∴梯形OEPA為等腰梯形，∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF，∴∠OEP=∠OFE,∴∠OFE=∠APE,∴OF∥AP,∴四邊形OAPF為平行四邊形，∵四邊形OAPF的面積為20，∴4(m2-4m)=20，∴m1=-1(舍)，m2=5,∴n=-5.8.(2010·寧波中考)如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(2，0)、B(0，-6)兩點.(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積.【解析】(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入y=-x2+bx+c得∴這個二次函數(shù)的表達式為y=-x2+4x-6.(2)∵該拋物線的對稱軸為直線x∴點C的坐標(biāo)為(4，0)，∴AC=OC-OA=4-2=2，∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6.9.(2009·寧波中考)如圖，拋物線y=ax2-5ax+4a與x軸相交于點A、B，且過點C(5，4).(1)求a的值和該拋物線頂點P的坐標(biāo)；(2)請你設(shè)計一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在第二象限，并寫出平移后拋物線的表達式.【解析】(1)把點C(5，4)代入拋物線y=ax2-5ax+4a得25a-25a+4a=4.解得a=1.∴該二次函數(shù)的表達式為y=x2-5x+4.∵y=x2-5x+4=(x-)2-.∴頂點坐標(biāo)為P().(2)答案不惟一(合理即可).如先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的二次函數(shù)表達式為二次函數(shù)一題多解話方法確定二次函數(shù)的表達式是中考的熱點之一.親愛的同學(xué)，為幫你掌握確定二次函數(shù)表達式的方法，現(xiàn)以一道中考題為例介紹確定二次函數(shù)表達式的方法，供你參考.【例】已知拋物線經(jīng)過點A(5，0)、B(6，-6)和原點.求此拋物線的函數(shù)表達式.

為了求出這個二次函數(shù)的表達式，我們先來回顧二次函數(shù)表達式的常見形式：

1.一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)，其特點是：等式右邊是二次三項式的一般形式.2.頂點式：y=a(x-h)2+k(a，h，k為常數(shù)，且a≠0)，其特點是：(h，k)是圖象的頂點坐標(biāo).

3.交點式：y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2為常數(shù),且a≠0),其特點是:等式右邊的常數(shù)x1,x2是拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo),即兩個交點坐標(biāo)是(x1,0)和(x2,0)(教材沒有特別要求,同學(xué)們可參考).

【分析一】因為拋物線經(jīng)過三點A(5，0)、B(6，-6)、O(0，0)，故可選用一般式來求其函數(shù)表達式.【解法一】設(shè)函數(shù)表達式是y=ax2+bx+c，則由題意，得故此拋物線的函數(shù)表達式是y=-x2+5x.

【點評】若已知圖象上的三點坐標(biāo)或三對x，y的對應(yīng)值，則通?？蛇x用一般式來求其函數(shù)表達式.這種方法是求二次函數(shù)表達式最基本、最常用的方法，務(wù)必熟練掌握.

【