第第頁(yè)廣東省揭陽(yáng)市普寧市勤建學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案）勤建學(xué)校高三年級(jí)上學(xué)期第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷2023.10

一單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分）

1在復(fù)平面內(nèi)，（-2+2i）（3﹣2i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2.若集合，，則（）

A．B．C．D．

3.已知，則“”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.．5.已知，則（）

A.B.C.D.

5.函數(shù)的部分圖象可能是()

A.B.C.D.

6.已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則（）

A.B.C.-2D.

7.函數(shù)y＝[f（x）]g（x）在求導(dǎo)時(shí)可運(yùn)用對(duì)數(shù)法：在解析式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得到，然后兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，于是，用此法探求的遞增區(qū)間為（）

A．（0，e）B．（0，e﹣1）C．（e﹣1，+∞）D．（e，+∞）

8.已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為（）

A7B.13C.20D.26

二、選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）

9.下列各不等式，其中不正確的是（）

A．B．

C．D..

10．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),若,則下列各式的符號(hào)不能確定的是().

A.B.C.D.

11.已知函數(shù)，有下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.為偶函數(shù)B.的值域?yàn)?/p>

C.在上單調(diào)遞減D在上恰有8個(gè)零點(diǎn)

12.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)，使得成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.已知函數(shù)則=______.

14.已知，，且，，則______．

15.已知圓M圓心在曲線上，且圓M與直線相切，則圓M面積的最小值為_(kāi)____.

16.若存在實(shí)數(shù)使得，則的值為_(kāi)_________.

四解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟）

(本小題滿分10分)

在中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D，且，．

（Ⅰ）求角A的大??；

（Ⅱ）求線段AD的長(zhǎng)．

(本小題滿分12分)

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

(2).設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求大于的最小的整數(shù).

19.（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值

20.(本小題滿分12分)

在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；

(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）

如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝（）.（1）當(dāng)＝時(shí)，求∠OPQ的大??；

（2）當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角的正弦值．

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.勤建學(xué)校高三年級(jí)上學(xué)期第二次調(diào)研考試（參考答案）

數(shù)學(xué)試卷2023.10

一單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分）

1．B2.D3.C4.A5.C6.A7.B8.D

二、選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）

9．BC10.AC11.AC12．BD

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.814.15.16.

四解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟）

17．(本小題滿分10分)

（Ⅰ）將代入得

∴，又∵，所以，又∵，故．

（Ⅱ）方法1：因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以

在中，由余弦定理得，故

而故

所以

在中，由正弦定理得，故

方法2：因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以

由得

解得

方法3：因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以

而故

即，解得．

18.（1）①

時(shí)，②

①-②得，，

當(dāng)時(shí)，，滿足上式，

故；

（2）由（1）得：，

③，

兩邊同乘以得：④

③-④得：

，，.

19.⑴，令，解得；令，解得.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

⑵當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上區(qū)間單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上區(qū)間單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，

即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.

綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，。

20.（1）如圖，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，

所以且，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑸榈闹悬c(diǎn)，

所以且

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又因?yàn)槠矫妫矫妫?/p>

所以平面．

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，

顯然二面角為銳二面角，設(shè)其平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.

21.(本小題滿分12分)

（1）設(shè)∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關(guān)系式．

因?yàn)椤螦QC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以O(shè)Q＝

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設(shè)∠OPQ＝α，則∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．

展開(kāi)并整理，得tanα＝，其中θ∈.

此時(shí)當(dāng)θ＝時(shí)，tanα＝.因?yàn)棣痢?0，π)，所以α＝.故當(dāng)θ＝時(shí)，∠OPQ＝.

（2）設(shè)f(θ)＝，θ∈.則f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，記銳角θ0滿足，

則，即

θ(0，θ0)θ0

f′(θ)＋0－

f(θ)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

由上表可知，f(θ0)＝是極大值，也是最大值．

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，則，tanα單調(diào)遞增

則當(dāng)tanα取最大值時(shí)，α也取得最大值．故在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，sinθ＝.

22.(本小題滿分12分)

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，.

，又切點(diǎn)為

切線方程為，化簡(jiǎn)得.

（2）【解法一】當(dāng)時(shí)，恒成立，故，

也就是，即，由得，

令，則，

令，則，

可知在單調(diào)遞增，則，即在恒成立，.

故在單調(diào)遞增.

所以，故在恒成立.所以在單調(diào)遞增，而，所以，故.

【解法二】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，故

由，令，得或，

①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)