一類(lèi)具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性及其Hopf分岔一類(lèi)具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性及其Hopf分岔

摘要：神經(jīng)元是構(gòu)成大腦和神經(jīng)系統(tǒng)的基本單元，研究神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔特性對(duì)理解神經(jīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為具有重要意義。本文研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。通過(guò)數(shù)值模擬和理論分析，我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定條件下存在Hopf分岔，從而呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的非線性行為。

關(guān)鍵詞：神經(jīng)元模型，時(shí)滯，磁通Hindmarsh-Rose模型，穩(wěn)定性，Hopf分岔

1.引言

神經(jīng)元是構(gòu)成大腦和神經(jīng)系統(tǒng)的基本單元，它們之間的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)連接和動(dòng)態(tài)行為是神經(jīng)系統(tǒng)功能的基礎(chǔ)。研究神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔特性對(duì)理解神經(jīng)系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制和相關(guān)疾病的發(fā)展具有重要意義。近年來(lái)，磁通Hindmarsh-Rose模型由于其簡(jiǎn)潔性和豐富的非線性行為受到了廣泛關(guān)注。

2.模型建立及分析

我們考慮了一類(lèi)具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型。該模型的動(dòng)力學(xué)方程如下：

\[

C\frac{{dV}}{{dt}}=-g(V-V_r)(V-V_s)-w+I_{\text{ext}}(t-\tau)

\]

\[

\frac{{dw}}{{dt}}=a(b(V-V_r)-w)

\]

\[

\frac{{d\phi}}{{dt}}=\omega-c(V-V_r)

\]

其中，V是神經(jīng)元膜電勢(shì)，w是離子通道變量，C是膜電容，g是離子通道的最大電導(dǎo)率，V_r和V_s是分別代表復(fù)極化和激發(fā)電位的恢復(fù)值，I_{\text{ext}}是外部輸入電流，\tau是時(shí)滯參數(shù)，a、b、c和\omega分別是與電壓和時(shí)間尺度有關(guān)的模型參數(shù)。

為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔特性，我們首先進(jìn)行了數(shù)值模擬。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)值，并給定初始條件，我們通過(guò)求解模型的動(dòng)力學(xué)方程，并繪制相空間圖和時(shí)序圖。根據(jù)分析結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)外部輸入電流I_{\text{ext}}的幅度超過(guò)某個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的周期解，表現(xiàn)為振蕩行為。這種周期性行為是Hopf分岔的結(jié)果，且周期解的頻率與外部輸入電流的幅度密切相關(guān)。

為了更深入地理解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，我們還進(jìn)行了理論分析。通過(guò)線性穩(wěn)定性分析和中心流形定理，我們推導(dǎo)了系統(tǒng)的特征方程，并得到了Hopf分岔發(fā)生的條件和Hopf分岔點(diǎn)的特征指數(shù)。理論分析結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果吻合良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔特性。

3.結(jié)果與討論

通過(guò)數(shù)值模擬和理論分析，我們研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定參數(shù)范圍內(nèi)存在Hopf分岔，從而呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的非線性行為。這種周期性振蕩行為可能與神經(jīng)系統(tǒng)中信號(hào)傳遞和信息處理的特性有關(guān)。

此外，我們還觀察到模型的振蕩頻率隨著外部輸入電流的幅度變化而變化。這一現(xiàn)象表明外部刺激的強(qiáng)度可能通過(guò)調(diào)節(jié)神經(jīng)元活動(dòng)的頻率來(lái)調(diào)控整個(gè)神經(jīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。這對(duì)于諸如神經(jīng)調(diào)控，功能恢復(fù)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

4.結(jié)論

本文研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象。通過(guò)數(shù)值模擬和理論分析，我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定條件下存在Hopf分岔，呈現(xiàn)出周期性振蕩行為。我們的研究對(duì)于理解神經(jīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，揭示復(fù)雜的非線性機(jī)制具有重要的意義。

盡管我們?cè)谘芯恐凶龀隽艘幌盗械募僭O(shè)和簡(jiǎn)化，但我們的結(jié)果仍然為進(jìn)一步理解神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)行為和功能恢復(fù)提供了重要的參考和啟示。今后的研究可以進(jìn)一步探索不同類(lèi)型神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔行為，推動(dòng)神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展與進(jìn)步。

通過(guò)研究具有時(shí)滯的磁通Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性和分岔現(xiàn)象，我們發(fā)現(xiàn)該模型在一定參數(shù)范圍內(nèi)存在Hopf分岔，呈現(xiàn)出周期性振蕩行為。這種非線性行為可能與神經(jīng)系統(tǒng)中信號(hào)傳遞和信息處理的特性有關(guān)。此外，我們還觀察到外部輸入電流的幅度變化會(huì)引起模型振蕩頻率的變化，這表明外部刺激可能通過(guò)調(diào)節(jié)神經(jīng)元活動(dòng)的頻率來(lái)調(diào)控整個(gè)神經(jīng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。這些發(fā)現(xiàn)對(duì)于神經(jīng)調(diào)控和功能恢復(fù)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。我們的研究為理解神經(jīng)