第四節(jié)空間曲面與曲線一、曲面及其方程二、旋轉(zhuǎn)曲面三、二次曲面舉例四、空間曲線上一頁目錄下一頁退出水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：一、曲面及其方程上一頁目錄下一頁退出以下給出幾例常見的曲面.解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為上一頁目錄下一頁退出解根據(jù)題意有所求方程為上一頁目錄下一頁退出根據(jù)題意有化簡(jiǎn)得所求方程解上一頁目錄下一頁退出例4

方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解上一頁目錄下一頁退出以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．上一頁目錄下一頁退出定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放二、旋轉(zhuǎn)曲面上一頁目錄下一頁退出旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖將代入上一頁目錄下一頁退出將代入得方程上一頁目錄下一頁退出解

圓錐面方程上一頁目錄下一頁退出例6

將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面上一頁目錄下一頁退出旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面上一頁目錄下一頁退出播放定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.上一頁目錄下一頁退出柱面舉例拋物柱面平面上一頁目錄下一頁退出從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸上一頁目錄下一頁退出二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之．相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的截痕法：

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．三、二次曲面舉例上一頁目錄下一頁退出（一）橢球面

橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：上一頁目錄下一頁退出橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面的交線為橢圓同理與平面和的交線也是橢圓.上一頁目錄下一頁退出橢球面的幾種特殊情況：旋轉(zhuǎn)橢球面由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：方程可寫為與平面的交線為圓.上一頁目錄下一頁退出球面截面上圓的方程方程可寫為上一頁目錄下一頁退出（二）拋物面（與同號(hào)）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).上一頁目錄下一頁退出與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.與平面不相交.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得拋物線上一頁目錄下一頁退出與平面的交線為拋物線.它的軸平行于軸頂點(diǎn)（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得拋物線.同理當(dāng)時(shí)可類似討論.上一頁目錄下一頁退出zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：上一頁目錄下一頁退出特殊地：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）與平面的交線為圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在軸上.上一頁目錄下一頁退出（與同號(hào)）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：設(shè)圖形如下：xyzo上一頁目錄下一頁退出（三）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的橢圓.上一頁目錄下一頁退出與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.上一頁目錄下一頁退出雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線.上一頁目錄下一頁退出截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線.（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得雙曲線.上一頁目錄下一頁退出單葉雙曲面圖形xyoz平面的截痕是兩對(duì)相交直線.上一頁目錄下一頁退出雙葉雙曲面xyo上一頁目錄下一頁退出空間曲線的一般方程

曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：四、空間曲線1、空間曲線的一般方程上一頁目錄下一頁退出例1

方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.上一頁目錄下一頁退出例2

方程組表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖.上一頁目錄下一頁退出空間曲線的參數(shù)方程2、空間曲線的參數(shù)方程上一頁目錄下一頁退出

動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解上一頁目錄下一頁退出螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比．即上升的高度螺距上一頁目錄下一頁退出消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影上一頁目錄下一頁退出如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面上一頁目錄下一頁退出類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線上一頁目錄下一頁退出例4

求曲線在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為上一頁目錄下一頁退出所以在面上的投影為線段.（3）同理在面上的投影也為線段.（2）因?yàn)榍€在平面上，上一頁目錄下一頁退出截線方程為解如圖,上一頁目錄下一頁退出上一頁目錄下一頁退出補(bǔ)充:空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面上一頁目錄下一頁退出例6解半球面和錐面的交線為上一頁目錄下一頁退出一個(gè)圓,上一頁目錄下一頁退出曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).小結(jié)上一頁目錄下一頁退出空間曲線的一般方程、參數(shù)方程．小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影．上一頁目錄下一頁退出橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法.（熟知這幾個(gè)常見曲面的特性）小結(jié)上一頁目錄下一頁退出思考題

指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？上一頁目錄下一頁退出思考題解答平面解析幾何中空間解析幾何中斜率為1的直線方程上一頁目錄下一頁退出思考題上一頁目錄下一頁退出思考題解答交線方程為在面上的投影為上一頁目錄下一頁退出思考題方程表示怎樣的曲線？上一頁目錄下一頁退出思考題解答表示雙曲線.上一頁目錄下一頁退出練習(xí)題上一頁目錄下一頁退出上一頁目錄下一頁退出上一頁目錄下一頁退出練習(xí)題答案上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．上一頁目錄下一頁退出定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.上一頁目錄下一頁退出定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.上一頁目錄下一頁退出定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.上一頁目錄下一頁退出定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.上一頁目錄下一頁退出定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.上一頁目錄下一頁退出定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫