第01講3.1.1函數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①函數(shù)的概念；②了解函數(shù)的三要素；③掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；④掌握求函數(shù)的值；⑤掌握區(qū)間的寫法.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握函數(shù)概念及函數(shù)的三要素，會(huì)判斷同一函數(shù)，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域及值域.知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的概念1、初中學(xué)習(xí)的函數(shù)的傳統(tǒng)定義設(shè)在一個(gè)變化的過(guò)程中，有兩個(gè)變量和，如果給定了一個(gè)值，相應(yīng)地就有唯一確定的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系.2、函數(shù)的近代定義一般地，設(shè)，是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集.函數(shù)的四個(gè)特征：①非空性：，必須為非空數(shù)集（注意不僅非空，還要是數(shù)集），定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個(gè)元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個(gè)自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)（可以多對(duì)一，不能一對(duì)多）.④方向性：函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向，那么新的對(duì)應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.【即學(xué)即練1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【詳解】由函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的自變量，有唯一的值相對(duì)應(yīng)，選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對(duì)多的情況，其中選項(xiàng)A、C、D皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).故選：ACD知識(shí)點(diǎn)02：函數(shù)的三要素1、定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．2、對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它是對(duì)自變量實(shí)施“對(duì)應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3、值域：與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).【即學(xué)即練2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【詳解】，，或所以定義域?yàn)椋?故答案為：知識(shí)點(diǎn)03：函數(shù)相等同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才相等,即是同一個(gè)函數(shù).【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，定義域相同，但，所以，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)椋x域不同，所以，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)槎x域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，又，所以，是同一函數(shù)，故D正確.故選：D知識(shí)點(diǎn)04：區(qū)間的概念1區(qū)間的概念設(shè)，是實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的全體，叫做閉區(qū)間，記作，即，。如圖：，叫做區(qū)間的端點(diǎn)．在數(shù)軸上表示一個(gè)區(qū)間時(shí)，若區(qū)間包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若區(qū)間不包括端點(diǎn)，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示．集合區(qū)間2含有無(wú)窮大的表示全體實(shí)數(shù)也可用區(qū)間表示為，符號(hào)“”讀作“正無(wú)窮大”，“”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，即。集合區(qū)間【即學(xué)即練4】（2023秋·廣東廣州·高一西關(guān)培英中學(xué)校考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)榧希?，所以，即，故選：B.題型01函數(shù)關(guān)系的判斷【典例1】（2023秋·湖北襄陽(yáng)·高一襄陽(yáng)四中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，排除A；選項(xiàng)C中，存在一個(gè)x對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，不是函數(shù)的圖象，排除C；選項(xiàng)D中，x取不到0，不符合題意，排除D.故選：B.【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，從到的函數(shù)為（

）A．f： B．f：C．f： D．f：【答案】D【詳解】解：對(duì)A：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為0,1,2，所以選項(xiàng)A不能構(gòu)成函數(shù)；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為0,1,4，所以選項(xiàng)B不能構(gòu)成函數(shù)；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為0,2,4，所以選項(xiàng)C不能構(gòu)成函數(shù)；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的為,1,3，所以選項(xiàng)D能構(gòu)成函數(shù)；故選：D.【變式1】（多選）（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一校考期末）下列對(duì)應(yīng)中是函數(shù)的是（

）．A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y為不大于x的最大整數(shù)，，D．，其中，，【答案】AC【詳解】對(duì)于A，對(duì)集合中的每個(gè)元素x，按照，在中都有唯一元素y與之對(duì)應(yīng)，A是；對(duì)于B，在區(qū)間內(nèi)存在元素x，按照，在R中有兩個(gè)y值與這對(duì)應(yīng)，如，與之對(duì)應(yīng)的，B不是；對(duì)于C，對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，按照“y為不大于x的最大整數(shù)”，都有唯一一個(gè)整數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，C是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，按照，在中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，D不是.故選：AC題型02集合與區(qū)間的轉(zhuǎn)化【典例1】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知全集,集合,則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解:由題知,,故或.故選:B【典例2】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市海珠中學(xué)?？计谀┤艏?，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由集合交集運(yùn)算可得.故選：C.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）全集，集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由A中不等式變形得：，即，由中不等式解得：，即，，又全集，則,故選：.題型03同一個(gè)函數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)與的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；對(duì)于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù).故選：C【典例2】（都選）（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┫旅娓鹘M函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．（），C．， D．，【答案】BC【詳解】對(duì)于A，，，定義域和對(duì)應(yīng)法則不一樣，故不為同一函數(shù)；對(duì)于B，，，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；對(duì)于C，，，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；對(duì)于D，，，定義域不同，故不為同一函數(shù)；故選:BC【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，因?yàn)?，且，的定義域均為R，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，，和的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)閧，且}，函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.題型04求函數(shù)值【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則_________．【答案】4【詳解】因?yàn)?所以,故答案為：4.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則＝______．【答案】3【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故答案為?【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，.故選：B.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，．（1）計(jì)算：____________；（2）計(jì)算：____________．【答案】1/3.5【詳解】（1），，所以．（2）由（1）知，從而，故，而，所以．故答案為：1；.題型05根據(jù)函數(shù)值請(qǐng)求自變量或參數(shù)【典例1】（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)的值域是，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海蔬x：D【典例2】（多選）（2022秋·湖南岳陽(yáng)·高一湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】∵函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域?yàn)?，滿足題意的選項(xiàng)是：BC.故選：BC.【變式1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故D正確；故選：D．題型06函數(shù)的定義域（具體函數(shù)的定義域）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，解得，故定義域?yàn)?故選：B【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【詳解】由，得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋海蚀鸢笧椋骸咀兪?】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】【詳解】令，可得，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.題型07函數(shù)的定義域（抽象函數(shù)的定義域）【典例1】（2023秋·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【詳解】因?yàn)?，即，所以，所以，所?故答案為：.【典例2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）若的定義域?yàn)?，求的定義域．【答案】.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t要使函數(shù)有意義，則，解得,∴函數(shù)的定義域?yàn)?【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____．（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【詳解】（1）令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?）令，，則，．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?；題型08函數(shù)的定義域（復(fù)合函數(shù)的定義域）【典例1】（2023秋·福建寧德·高一福建省霞浦第一中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C【典例2】（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)）的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（，4） B．[，4）C．（，6） D．（，2）【答案】C【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，即，得，所以定義域?yàn)?，又，，取交集得的定義域?yàn)?，．故選：C．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【詳解】解法1：由函數(shù)，則滿足，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，令，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?解法2：由，，可得，令，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.題型09函數(shù)的定義域（實(shí)際問(wèn)題中的定義域）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)有，由得，故選A.【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）周長(zhǎng)為定值的矩形，它的面積是這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意知，矩形的一邊長(zhǎng)為x，則該邊的鄰邊長(zhǎng)為，由得，故這個(gè)函數(shù)的定義域是.故選：D【變式1】（2022秋·山東煙臺(tái)·高一校考階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為40m的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)種植一邊長(zhǎng)為（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】設(shè)矩形另一邊的長(zhǎng)為m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面積，解得：.故答案為：題型10函數(shù)的值域（常見（一次，二次，反比例）函數(shù)的值域）【典例1】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一?？计谥校┖瘮?shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，又所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減則，又，所以所以的值域?yàn)?故選：B.【典例2】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域、值域，并畫出圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析(6)答案見解析【詳解】（1）定義域?yàn)?，值域?yàn)椋斜砣缦拢鹤鞒鰣D象如圖：（2）的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋斜砣缦拢鹤鞒鰣D象如圖：.（3）的定義域?yàn)椋斜砣缦拢鹤鞒鰣D象如圖：由圖知：值域?yàn)?（4）的定義域?yàn)椋斜砣缦拢鹤鞒鰣D象如圖：由圖知：值域?yàn)椋唬?）的定義域?yàn)?，開口向下的拋物線，最大值為，所以值域?yàn)椋斜砣缦拢鹤鞒鰣D象如圖：（6）的定義域?yàn)?，?duì)稱軸為，開口向上，，所以值域?yàn)?；列表如下：作出圖象如圖：【變式1】例題3．（2022秋·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.(1);(2),.【答案】(1)(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)?題型11函數(shù)的值域（根式型函數(shù)的值域）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?故選：A．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域?yàn)開________.【答案】【詳解】令，則，容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，，所以該函數(shù)在時(shí)取到最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)值域?yàn)?故答案為：【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.【答案】【詳解】設(shè)則所以因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?題型12函數(shù)的值域（分式型函數(shù)的值域）【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【答案】D【詳解】解：，∴y，∴該函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：D．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀?）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)值域?yàn)?；?）函數(shù)定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)值域?yàn)?【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．【答案】【詳解】由解析式知：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，∴整理可得：，即該方程在上有解，∴?dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，有，整理得，即，∴綜上，有函數(shù)值域?yàn)?故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.【答案】【詳解】解：，因?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)榱?，整理得方程：?dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：題型13根據(jù)函數(shù)的值域求定義域【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故D正確；故選：D．【典例2】（多選）（2022秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，則其定義域可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】令，解得，令，解得或-2，可作出函數(shù)圖象如圖：設(shè)定義域?yàn)?，所以或，故AD正確，BC錯(cuò).故選：AD.【變式1】（多選）（2022秋·湖南岳陽(yáng)·高一湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則區(qū)間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】∵函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域?yàn)?，滿足題意的選項(xiàng)是：BC.故選：BC.題型14重點(diǎn)方法之換元法求值域【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?故選：A．【典例2】（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┣蠛瘮?shù)的值域.【答案】函數(shù)定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)值域?yàn)?題型15重點(diǎn)方法之分離常數(shù)法求值域【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.【答案】.【詳解】由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，又由，可得所以函?shù)的值域?yàn)?【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：【答案】【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以函?shù)的值域?yàn)椋}型16數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合的思想方法）【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖像，得，故D正確；故選：D．【典例2】（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則其值域?yàn)椋?/p>

）.A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)圖像可由圖像向右平移一個(gè)單位得到，如圖所示:，結(jié)合圖像可知，函數(shù)的值域?yàn)?故選：D題型17易錯(cuò)題（換元必?fù)Q范圍）【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：．【答案】【詳解】設(shè)（換元），則且，令.因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)?【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)?；故答案為?.1.1函數(shù)的概念A(yù)夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，那么的值（

）A．3 B．5 C．7【答案】C【詳解】.故選：C2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．或【答案】A【詳解】的自變量需滿足，所以定義域?yàn)?，故選：A3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列各函數(shù)中，與函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，故的定義域?yàn)?對(duì)于A，的定義域?yàn)?，且解析式與相同，故為同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于B,，故不是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于C,的定義域?yàn)椋鴮?duì)定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，對(duì)于D,的定義域?yàn)椋鴮?duì)定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故選:A4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知高斯取整函數(shù)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】取整函數(shù)，所以.故選：A5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下表給出了x與和的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表格可知的值為（

）x1234x123431424321A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，所以，故選：B6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，是函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，時(shí)，，有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不存在，不是函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中的元素0在集合B中沒有對(duì)應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A7．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）【答案】D【詳解】由解得，又，得.故選：D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：令，當(dāng)時(shí)，，又，所以，，即所以，故選：D．二、多選題9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)定義域?yàn)?，且，，則下列結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】解：因?yàn)?，，所以，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故BD選項(xiàng)正確，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BD10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”．1930年美國(guó)人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義．已知集合M＝{1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】解：在A中，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；在B中，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；在C中，任取，總有，故C正確；在D中，任取，總有，故D正確．故選：CD．三、填空題11．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)二次函數(shù)（，）的值域是，則的最小值是____________．【答案】【詳解】當(dāng)二次函數(shù)的圖象開口向上，且與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其值域?yàn)椋?，∴，?∴由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．故答案為：.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)?；故答案為：四、解答題13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得：，所以集合.，∴，∴或，∴或；（2），①當(dāng)時(shí)，，即，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由，得，解得：，綜上所述：a的取值范圍為.14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)閇1，3]，求的值【答案】【詳解】由題意定義域?yàn)椋瑒t在上有解，當(dāng)符合題意，當(dāng)，即的解集為[1，3]，故1和3為關(guān)于y的二次方程的兩個(gè)根所以解得B能力提升1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】為開口方向向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)令，解得：，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】C【詳解】解：令，，令，則，原函數(shù)化為，該函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)；又因?yàn)?，所以，函?shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求，的值；(2)求證：的定值；(3)求的值．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)202