2.2.3兩條直線的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.掌握兩條直線相交的判定方法，會求兩條相交直線的交點坐標．(重點)2．掌握兩條直線平行與垂直的判定方法，注意利用直線方程的系數(shù)和利用斜率判定直線平行與垂直的差別．(重點)3．靈活選取恰當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓷l直線的位置關(guān)系．(難點)1.通過學(xué)習(xí)兩直線位置關(guān)系的方法，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．借助兩直線方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).1．兩條直線相交、平行與重合的條件(1)代數(shù)方法判斷兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系，可以用方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解進行判斷(如下表所示)方程組的解位置關(guān)系交點個數(shù)代數(shù)條件無解平行無交點A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)有唯一解相交有一個交點A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)有無數(shù)個解重合無數(shù)個交點A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)(2)幾何方法判斷若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置關(guān)系，其方法如下：設(shè)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，①l1與l2相交?k1≠k2；②l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；③l1與l2重合?k1＝k2且b1＝b2.2．兩條直線垂直對應(yīng)關(guān)系l1與l2的斜率都存在，分別為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2圖示1．已知A(2,0)，B(3,3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于()A．－3B．3C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)B[因為k＝kAB＝eq\f(3－0,3－2)＝3，所以l的斜率為3.]2．直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直D[設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－1，故l1與l2垂直．]3．l1過點A(m,1)，B(－3,4)，l2過點C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，則m＝________.0[∵l1∥l2，且k2＝eq\f(1－2,1－0)＝－1，∴k1＝eq\f(4－1,－3－m)＝－1，∴m＝0.]4．經(jīng)過點P(－2，－1)，Q(3，a)的直線與傾斜角為45°的直線垂直．則a＝________.－6[由題意知eq\f(a－－1,3－－2)＝－1，所以a＝－6.]兩條直線平行的判定【例1】根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．(1)l1經(jīng)過點A(2,1)，B(－3,5)，l2經(jīng)過點C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1經(jīng)過點E(0,1)，F(xiàn)(－2，－1)，l2經(jīng)過點G(3,4)，H(2，3)；(3)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過點M(1，eq\r(3))，N(－2，－2eq\r(3))；(4)l1平行于y軸，l2經(jīng)過點P(0，－2)，Q(0,5)．[思路探究]先確定各題中直線的斜率是否存在，斜率存在的直線利用斜率公式求出斜率，再利用兩條直線平行的條件判斷它們是否平行．[解](1)由題意知，k1＝eq\f(5－1,－3－2)＝－eq\f(4,5)，k2＝eq\f(－7＋3,8－3)＝－eq\f(4,5)，所以直線l1與直線l2平行或重合，又kBC＝eq\f(5－－3,－3－3)＝－eq\f(4,3)≠－eq\f(4,5)，故l1∥l2.(2)由題意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，所以直線l1與直線l2平行或重合，kFG＝eq\f(4－－1,3－－2)＝1，故直線l1與直線l2重合．(3)由題意知，k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝eq\f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq\r(3)，k1＝k2，所以直線l1與直線l2平行或重合．(4)由題意知l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，所以l1∥l2.1．判斷兩條直線平行，應(yīng)首先看兩條直線的斜率是否存在，即先看兩點的橫坐標是否相等，對于橫坐標相等是特殊情況，應(yīng)特殊判斷．在證明兩條直線平行時，要區(qū)分平行與重合，必須強調(diào)不重合才能確定平行．因為斜率相等也可以推出兩條直線重合．2．應(yīng)用兩條直線平行求參數(shù)值時，應(yīng)分斜率存在與不存在兩種情況求解．1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直線PQ∥直線MN，求m的值．[解]當m＝－2時，直線PQ的斜率不存在，而直線MN的斜率存在，MN與PQ不平行，不合題意；當m＝－1時，直線MN的斜率不存在，而直線PQ的斜率存在，MN與PQ不平行，不合題意；當m≠－2且m≠－1時，kPQ＝eq\f(4－m,m－－2)＝eq\f(4－m,m＋2)，kMN＝eq\f(3－1,m＋2－1)＝eq\f(2,m＋1).因為直線PQ∥直線MN，所以kPQ＝kMN，即eq\f(4－m,m＋2)＝eq\f(2,m＋1)，解得m＝0或m＝1.當m＝0或1時，由圖形知，兩直線不重合．綜上，m的值為0或1.兩條直線垂直的判定【例2】(1)l1經(jīng)過點A(3,2)，B(3，－1)，l2經(jīng)過點M(1,1)，N(2,1)，判斷l(xiāng)1與l2是否垂直；(2)已知直線l1經(jīng)過點A(3，a)，B(a－2,3)，直線l2經(jīng)過點C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．[思路探究](1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的條件判斷；若一條直線的斜率不存在，再看另一條的斜率是否為0，若為0，則垂直；(2)當兩直線的斜率都存在時，由斜率之積等于－1求解；若一條直線的斜率不存在，由另一條直線的斜率為0求解．[解](1)直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為0，所以l1⊥l2.(2)由題意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．當l1的斜率不存在時，3＝a－2，即a＝5，此時k2＝0，則l1⊥l2，滿足題意．當l1的斜率k1存在時，a≠5，由斜率公式，得k1＝eq\f(3－a,a－2－3)＝eq\f(3－a,a－5)，k2＝eq\f(a－2－3,－1－2)＝eq\f(a－5,－3).由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即eq\f(3－a,a－5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－5,－3)))＝－1，解得a＝0.綜上所述，a的值為0或5.利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法1．一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；再看另一條直線的兩點的縱坐標是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進行第二步．2．二代：就是將點的坐標代入斜率公式．3．求值：計算斜率的值，進行判斷．尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進行討論．提醒：若己知點的坐標含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時，要注意討論斜率不存在的情況．2．已知直線l1的斜率為k1＝eq\f(3,4)，直線l2經(jīng)過點A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，則實數(shù)a＝________.1或3[∵l1⊥l2，且k1＝eq\f(3,4)，∴kAB＝－eq\f(4,3)，即eq\f(a2＋1－－2,0－3a)＝－eq\f(4,3)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.]直線平行與垂直的綜合應(yīng)用[探究問題]1．已知△ABC的三個頂點坐標A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判斷△ABC的形狀嗎？[提示]如圖，AB邊所在的直線的斜率kAB＝－eq\f(1,2)，BC邊所在直線的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以點B為直角頂點的直角三角形．2．若已知直角三角形ABC的頂點A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值嗎？[提示]若∠A為直角，則AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(1＋1,1－5)＝－1，得m＝－7；若∠B為直角，則AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即eq\f(1＋1,1－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3；若∠C為直角，則AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2.綜上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.【例3】如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為O(0,0)，P(1，t)，Q (1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.試判斷四邊形OPQR的形狀．[思路探究]利用直線方程的系數(shù)關(guān)系，或兩直線間的斜率關(guān)系，判斷兩直線的位置關(guān)系．[解]由斜率公式得kOP＝eq\f(t－0,1－0)＝t，kQR＝eq\f(2－2＋t,－2t－1－2t)＝eq\f(－t,－1)＝t，kOR＝eq\f(2－0,－2t－0)＝－eq\f(1,t)，kPQ＝eq\f(2＋t－t,1－2t－1)＝eq\f(2,－2t)＝－eq\f(1,t).所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，從而OP∥QR，OR∥PQ.所以四邊形OPQR為平行四邊形．又kOP·kOR＝－1，所以O(shè)P⊥OR，故四邊形OPQR為矩形．1．將本例中的四個點，改為“A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)，順次連接A，B，C，D四點，試判斷四邊形ABCD的形狀．”[解]由題意A，B，C，D四點在平面直角坐標系內(nèi)的位置如圖，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．又因為kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．2．將本例改為“已知矩形OPQR中按逆時針順序依次為O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，試求頂點R的坐標．”[解]因為OPQR為矩形，所以O(shè)Q的中點也是PR的中點，設(shè)R(x，y)，則由中點坐標公式知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1－2t,2)＝\f(1＋x,2)，,\f(0＋2＋t,2)＝\f(t＋y,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2t，,y＝2.))所以R點的坐標是(－2t,2)．1．利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形的形狀的步驟2．判定幾何圖形形狀的注意點(1)在頂點確定的前提下，判定幾何圖形的形狀時，要先畫圖，猜測其形狀，以明確證明的目標．(2)證明兩直線平行時，僅僅有k1＝k2是不夠的，還要注意排除兩直線重合的情況．(3)判斷四邊形形狀，要依據(jù)四邊形的特點，并且不會產(chǎn)生其他的情況．1．本節(jié)課的重點是理解兩條直線平行或垂直的判定條件，會利用斜率判斷兩條直線平行或垂直，難點是利用斜率判斷兩條直線平行或垂直．2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)判斷兩條直線平行的步驟，(2)利用斜率公式判斷兩條直線垂直的方法，(3)判斷圖形形狀的方法步驟．3．本節(jié)課的易錯點是利用斜率判斷含字母參數(shù)的兩直線平行或垂直時，對字母分類討論．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線斜率相等，則這兩條直線平行． ()(2)若l1∥l2，則k1＝k2. ()(3)若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則兩直線相交． ()(4)若兩直線斜率都不存在，則兩直線平行． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×[提示](1)、(4)中兩直線有可能重合，故(1)(4)錯誤；(2)可能出現(xiàn)兩直線斜率不存在情況，故(2)錯誤；(3)正確．2．過點(eq\r(3)，eq\r(6))，(0,3)的直線與過點(eq\r(6)，eq\r(2))，(2,0)的直線的位置關(guān)系為()A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正確A[過點(eq\r(3)，eq\r(6))，(0,3)的直線的斜率k1＝eq\f(\r(6)－3,\r(3)－0)＝eq\r(2)－eq\r(3)；過點(eq\r(6)，eq\r(2))，(2,0)的直線的斜率k2＝eq\f(\r(2)－0,\r(6)－2)＝eq\r(3)＋eq\r(2).因為k1·k2＝－1，所以兩條直線垂直．]3．已知直線l1的傾斜角為60°，直線l2的斜率k2＝m2＋eq\r(3)－4，若l1∥l2，則m的值為________．±2[由題意得m2＋eq\r(3)－4＝tan60°，解得m＝±2.]4．當m為何值時，過兩