第一章1.4.3空間向量的應(yīng)用

1.理解直線與平面所成角的概念.2.能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問(wèn)題.3.體會(huì)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步曲.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)題型探究當(dāng)堂訓(xùn)練學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)利用空間向量求空間角思考1

空間角包括哪些角？答案問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

答案線線角、線面角、二面角.思考2求解空間角常用的方法有哪些？答案?jìng)鹘y(tǒng)方法和向量法.梳理空間角包括線線角、線面角、二面角，這三種角的定義確定了它們相應(yīng)的取值范圍，結(jié)合它們的取值范圍可以用向量法進(jìn)行求解.(1)線線角：設(shè)兩條直線的方向向量分別為a，b，且a與b的夾角為φ，兩條直線所成角為θ，則cosθ＝____________.答案(3)二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的方向向量的夾角(注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方向).②先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一面的距離及到棱的距離，然后通過(guò)解直角三角形求角.如圖所示，已知二面角α－l－β，在α內(nèi)取一點(diǎn)P，過(guò)P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分別為O，A，連接AO，則AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補(bǔ)角的大小，從而確定二面角的大小.返回解析答案類型一求兩條異面直線所成的角題型探究

反思與感悟解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，反思與感悟在解決立體幾何中兩異面直線所成角問(wèn)題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF所成角的余弦值.解析答案解不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，分別取DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,1,2)，類型二求直線和平面所成的角解析答案反思與感悟解析答案解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1與側(cè)面A1ABB1所成的角.解析答案解析答案反思與感悟用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再用向量的有關(guān)知識(shí)求解線面角.方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進(jìn)行換算.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值.解由題設(shè)條件知，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD，AB，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).解析答案反思與感悟類型三求二面角例3

在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中點(diǎn)，求平面EAC與平面ABCD的夾角.解析答案解方法一如圖，以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PA＝AB＝a，AC＝b，連接BD與AC交于點(diǎn)O，取AD中點(diǎn)F，解析答案反思與感悟(1)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時(shí)，用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可求出，有時(shí)不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論，因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是明顯的.(2)注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角.反思與感悟解析答案返回解析答案解如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，返回解析答案當(dāng)堂訓(xùn)練

12345D12345解析答案12345解析答案解析取AC的中點(diǎn)為E，連接BE，則BE⊥AC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，

∴BE⊥平面AA1C1C，1234512345解析答案12345解析答案設(shè)AA1＝2AB＝2，則B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，

12345令z＝1，則y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2,1).設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為θ，

答案A12345解析答案4.正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A－BD－C的正弦值為_______.解析取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

12345解析答案1234512345解析答案解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，12345所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成角為60°，所以斜線PC與平面ABCD所成角為30°.答案30°規(guī)律與方法(2)利用法向量求二面角的余弦值的步驟：第一步，求