第二章第六節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束—曲面積分多元函數(shù)積分學(xué)(三)（一）對面積的曲面積分(第一型曲面積分)知識要點(diǎn)典型例題（二）對坐標(biāo)的曲面積分(第二型曲面積分)知識要點(diǎn)01典型例題1.概念:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（一）對面積的曲面積分(第一型曲面積分)物理意義:其中dS

稱為曲面面積元素.當(dāng)曲面

的方程為z=z(x,y)時(shí),非均勻曲面的質(zhì)量.當(dāng)曲面

的方程為x=x(y,z)時(shí),當(dāng)曲面

的方程為y=y(x,z)時(shí),知識要點(diǎn)01性質(zhì)8機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束有關(guān)于第一型曲面積分的對稱性結(jié)論,與三重積分中對面積的曲面積分與曲面的側(cè)(方向)無關(guān).性質(zhì)9(對稱性)2.性質(zhì)(與定積分類似)相應(yīng)的對稱性結(jié)論類似.為此,只需將三重積分換成第一型曲面積分,并把三重積分中的空間立體區(qū)域換成曲面,再將三重積分中的體積元素dv換成第一型曲面積分的曲面面積元素dS

即可.02機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.計(jì)算法(化為二重積分計(jì)算)則有:(1)若曲面的方程為z=z(x,y),曲面在xoy

坐標(biāo)面的投影區(qū)域?yàn)?2)若曲面的方程為“面積”化為“重積”算的投影區(qū)域?yàn)榍嬖趛oz

坐標(biāo)面則有:(3)若曲面的方程為y=y(x,z),曲面在xoz

坐標(biāo)面的投影區(qū)域?yàn)閯t有:①代②換③投影x=x(y,z),03機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束限的部分,例1(00.3分)設(shè)S:為S在第一卦解由于曲面S關(guān)于yoz和xoz坐標(biāo)面對稱,則有().關(guān)于x和y都是偶函數(shù),又在曲面上,x,y,z具有輪換C(6-34)典型例題f(x,y,z)=z所以有所以有即有故選項(xiàng)(C)正確.

對稱性,注釋本題考查對稱性在對面積的曲面積分中的應(yīng)用04例2

(95.6分)解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)的部分.則有有:計(jì)算曲面積分其中

為在柱體錐面

在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域記為:極坐標(biāo)對錐面

:注釋本題考查對面積的曲面積分的計(jì)算法.(6-24)錐面5機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.概念對坐標(biāo)的曲面積分(第二型曲面積分)2.性質(zhì)(與定積分類似)性質(zhì)8.其中為

取即對坐標(biāo)的曲面積分與有向曲面的方相反側(cè)的曲面.向(側(cè))有關(guān).知識要點(diǎn)6機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.計(jì)算法先將曲面

的方程表示為(1)要計(jì)算此時(shí)曲面分上側(cè)與下側(cè).再將曲面投影到設(shè)投影區(qū)域?yàn)?上側(cè)取+,下側(cè)取–)(化為二重積分計(jì)算)(2)要計(jì)算先將曲面的方程表示為此時(shí)曲面分前側(cè)與后側(cè).再將曲面投影到設(shè)投影區(qū)域?yàn)閦=z(x,y),xoy坐標(biāo)面,則有x=x(y,z),yoz坐標(biāo)面,則有(前側(cè)取+,后側(cè)取–)7機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)要計(jì)算先將曲面

的方程表示為y=y(x,z),此時(shí)曲面分右側(cè)與左側(cè).再將曲面

投影到xoz坐標(biāo)面,設(shè)投影區(qū)域?yàn)閯t有(右側(cè)取+,左側(cè)取–)口訣:“一代,‘面積’化為‘重積’算”.①②③二投,三定側(cè),84.高斯公式:其中

取封閉曲面的外側(cè),

是

所圍的空間區(qū)域.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8題型2

利用高斯公式計(jì)算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1(88,5分)

的外側(cè),計(jì)算曲解面積分

設(shè)S為曲面

注釋本題考查用高斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲面積分.由高斯公式知(其中本題常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是把三重積分的被積函數(shù)用“1”代換.(6-3)9機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2

(93.6分)計(jì)算是由曲面所圍立體表面的

解積分區(qū)域?yàn)榉忾]曲面,可直接用高斯公式.

球面坐標(biāo)

原式=注釋本題考查利用高斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲面積分.(6-20)其中

外側(cè).10例3

(90.8分)解是球面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求曲面積分的外側(cè)在z≥0的部分.分析而曲面又不是封閉曲面,本題直接計(jì)算不方便,此時(shí)一般都是采用補(bǔ)面后利用高斯公式.補(bǔ)xoy坐標(biāo)面上的平面注釋本題考查對坐標(biāo)的曲面積分和高斯公式.并取其下側(cè).則有:(6-12)(想想為何“?”變“+”?)其中S11機(jī)動目錄