北航工科數(shù)學(xué)分析楊小遠(yuǎn)第節(jié)函數(shù)極限的定義與基本理論學(xué)時(shí)_第1頁(yè)
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§2.4函數(shù)的極限的定義與基本理論一、極限的定義問(wèn)題:如何用描述?定義1（鄰域）定義2（函數(shù)極限）注1注2左極限右極限定義3.（函數(shù)的左右極限）定理1左右極限存在但不相等,例1證二、函數(shù)極限的基本性質(zhì)證明：性質(zhì)1.（唯一性）證明：性質(zhì)2.（局部有界性）性質(zhì)3.(保序性)證明：性質(zhì)4.(保號(hào)性)證明：性質(zhì)5(夾逼定理)例2求解：如圖易得

三、極限的四則運(yùn)算性質(zhì)定理1（函數(shù)極限四則運(yùn)算性質(zhì)）例4有理函數(shù)的極限例8例9定理2（復(fù)合函數(shù)的極限）證明：注例5⑴⑵復(fù)合函數(shù)求極限⑶⑷復(fù)合函數(shù)求極限復(fù)合函數(shù)求極限⑸⑹定理3(海涅定理)

注:海涅定理建立了數(shù)列極限和函數(shù)極限的聯(lián)系

四、海涅定理和柯西定理證：結(jié)論得證例9證得證證明：定理4(柯西收斂定理)

思考題目用海涅定理重新證明：函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、保序性）；四則運(yùn)算；復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)；夾逼定理.海涅(Heine.H.E,1821～1881）德國(guó)數(shù)學(xué)家，是高斯、狄利克雷的學(xué)生.海涅在數(shù)學(xué)分析及應(yīng)用數(shù)學(xué)方面有較大的成就，他闡述了一致收斂的概念，證明了連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)定理.他在證明函數(shù)的一致連續(xù)性時(shí)，利用了閉區(qū)間具有有限開(kāi)覆蓋的性質(zhì)，較早地掌握了覆蓋定理的意義.因此，這個(gè)定理后來(lái)稱為海涅一波菜爾覆蓋定理.數(shù)學(xué)家介紹五、小結(jié)1、極限的定義2、函數(shù)極限的性質(zhì)3、極限的四則運(yùn)算性質(zhì)4、海涅定理和柯西定理

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