專(zhuān)題26：立體幾何中的最值問(wèn)題<<<專(zhuān)題綜述>>><<<專(zhuān)題綜述>>>立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,與空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問(wèn)題常常在近幾年高考中出現(xiàn)，立體幾何中的最值問(wèn)題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面,此類(lèi)問(wèn)題多以規(guī)則幾何體為載體,涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理，空間角與距離的求解等，求此類(lèi)問(wèn)題一般是直接法和函數(shù)法。<<<專(zhuān)題探究>>><<<專(zhuān)題探究>>>題型題型一：與線段有關(guān)的最值問(wèn)題立體幾何中與線段最值有關(guān)的問(wèn)題，一般都是轉(zhuǎn)化為某一變量的函數(shù)，若是求兩線段和的最值問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為平面圖形的直線段最短問(wèn)題來(lái)處理.例1(2023·安徽省十校聯(lián)考)在側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐P-ABC中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),M,N分別為PE和平面PAF【思路點(diǎn)撥】想方設(shè)法把BM+MN轉(zhuǎn)化到某一平面的兩個(gè)線段和，再通過(guò)直線段最短即可得出答案.練1(2022·河北省高考模擬題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1【思路點(diǎn)撥】將△ADA1與矩形A1DCB.題型二：與面積題型二：與面積有關(guān)的最值問(wèn)題根據(jù)問(wèn)題分析截面圖形的形狀與幾何體的位置關(guān)系，從性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系著手解決問(wèn)題。例2(2020·河北省高考模擬題)已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的高為2，兩個(gè)底面均為邊長(zhǎng)為1的正方形，過(guò)BD1作平面α分別交棱AA【思路點(diǎn)撥】一種方法是由于幾何體的對(duì)稱(chēng)性,通過(guò)極端情況來(lái)處理;另一種方法求平行四邊形BFD練2(2022·浙江省聯(lián)考題)如圖，AC是圓O的直徑，PA與圓O所在的平面垂直且PA=AC=2，B為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為點(diǎn)A在線段PC、PB上的投影,當(dāng)【思路點(diǎn)撥】由位置關(guān)系知道△AMN為直角三角形，且AM⊥MN，利用三角形面積公式和基本不等式解決問(wèn)題題型三：題型三：與體積有關(guān)的最值問(wèn)題分析幾何體的形狀，找出底面積與高的關(guān)系，建立體積為某一變量的函數(shù)，再通過(guò)求函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解。例3(2022·新高考1卷9)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四A.[18,814] B.[27【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正棱錐和球的性質(zhì)，建立四棱錐的體積為高h(yuǎn)的函數(shù)，進(jìn)而可求范圍.練3(2022·全國(guó)乙卷理科)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為(

)A.13 B.12 C.33【思路點(diǎn)撥】設(shè)法把四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為底面正方形邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，利用最值計(jì)算方法求解<<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>><<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>>1.(2023·江蘇省宿遷市期末)已知四棱錐P-ABCD外接球表面積為S,體積為V,PA⊥平面ABCD,PA=4,∠ABC=2π3，且433≤VA.10π≤S B.20π≤S C.103π≤S 2.(2023·安徽省宿州市模擬)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4A.814π,24π B.9π,24π C.2433.(2023·四川省成都市模擬)某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，則該四棱錐的表面積最小值是(

)A.16 B.8 C.32 D.244.(2022·)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，點(diǎn)M滿足AA.點(diǎn)P所在區(qū)域面積為π4B.線段|PC1C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得MP⊥PD.四面體P-A15.(2023·浙江省溫州市模擬·多選)傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn);如圖是一個(gè)圓柱容球，O1,O2為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓O1的一條直徑,若球的半徑r=2,A.球與圓柱的表面積之比為1:2B.平面DEF截得球的截面面積最小值為16C.四面體CDEF的體積的取值范圍為(0,D.若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則PE+PF的取值范圍為[2+26.(2023·湖北省武漢市模擬)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2(1)AP+D1P的最小值為

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(2)直線AP與平面AA17.(2023·江西省新余市模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=3，平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且滿足直線AA1與平面α所成的角為30°8.(2023·浙江省臺(tái)州市模擬)已知正三棱錐