20222023學年北京109中學高三（上）模擬考試數學試卷（10

月份）

一、單選題（每題4分，共40分）

2一、

1.（4分）已知：=1-ai,其中i為虛數單位，貝lj。=（）

l+i

A.-1B.1C.-2D.2

2.（4分）（/一§5的展開式中的系數為（）

A.10B.20C.40D.80

3.（4分）設x€R,則“cosx=0”是“sinx=l”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

4.（4分）COS2-COS2^2=（）

A-1B-立

a.22

5.（4分）已知雙曲線的一個頂點是（0,2）,其漸近線方程為〉=士級，則雙曲線的標準方

程是（）

A.%2-=1B.-y2=1

y22y2.

C.—-x2=1D.---=1

444

6.（4分）將函數y=s譏（2x+3）的圖象向左平移三個單位長度后，所得圖象對應的函數為

42

）

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

7.（4分）下列函數中，既是偶函數又在（0,3）上單調遞減的是（）

A.y=2?B.y=-x3C.y-cosD.y-

8.（4分）中國古代十進位制的算籌計數法在世界數學史上是一個偉大的創(chuàng)造.據史料推測,

算籌最晚出現在春秋晚期戰(zhàn)國初年.算籌計數的方法是：個位、百位、萬位……的數按

縱式的數碼擺出；十位、千位、十萬位……的數按橫式的數碼擺出.如7738可用算籌表

示為=LTT三UT.1-9這9個數字的縱式與橫式的表示數碼如圖所示，則3'。比64的運算

結果可用算籌表示為（）

縱式：111IIIIlliHillTTTUTHIT

X全

橫式：一===^11

123456789

A.11=111B.LI生c.w=n=

D.nw

a+b、1

9.(4分)f(x)=logo.5x,0<a<b,若p=/(VHK),q=f(T(/(a)+/(b))，

則下列關系式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

10.（4分）設函數f（x）=sin（o）x+J）在區(qū)間（0,n）恰有三個極值點、兩個零點，則3

的取值范圍是（）

5135191381319

A.[—,——）B.[―,——）C.（——，-]D.（——，——]

36366366

二、填空題（每題5分，共25分）

11.（5分）函數y=m（3—4x）的定義域是.

12.（5分）能說明“在△ABC中，若sin2A=sin23,則A=B”為假命題的一組A,5的值

是.

13.（5分）如圖所示，角a的終邊與單位圓交于點P,已知點P的坐標為（一|,3,則tan2a

14.（5分）已知/（x）是定義在R上的奇函數.當x>0時，f（x）=7-3x,則不等式/

（x）>九的解集用區(qū)間表示為

丫3va

/一若存在實數從使函數g（x）=于3有兩個

（x2,x>a

零點，則a的取值范圍是

三、解答題（共85分）

16.設/(x)—alnx++|x+l,其中“6R,曲線y—f(x)在點(1,/(D)處的切線垂

直于y軸.

(1)求。的值；

(2)求函數f(x)的極值.

17.如圖，在直三棱柱ABC-4B1C1中，D,E分別是AB.BB1的中點，已知力B=2,441=

AC-CB-V2.

(I)證明：BC1〃平面A1CD；

(II)求CD與平面4CE所成角的正弦值；

(III)求。到平面AiCE的距離.

18.已知函數/'(%)=+@)(4>0,3>0,101V分且/(x)圖像的相鄰兩條對稱

7T

軸之間的距離為5,再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件.

(I)確定/(X)的解析式；

(II)若g(x)=f(x)+2cos(2x+專)，求函數g(x)的單調減區(qū)間.

條件①：/(X)的最小值為-2；

條件②：/(%)圖像的一個對稱中心為(駕，0)；

條件③：/(%)的圖像經過點(普，-1).

19.北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調研分析，隨機抽取同時選考物理、化學的學生

330名，如表是物理、化學成績等級和人數的數據分布情況：

物理成ABC

績等級

化學成ABCABCABC

績等級

人數11053255701531210

(名)

(1)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績

等級為A,估計該生的化學成績等級為A的概率；

(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生中隨機抽取2人，以X表示這2人中物

理、化學成績等級均為A的人數，求X的分布列和數學期望(以上表中物理、化學成績

等級均為A的頻率作為每名學生物理、化學成績等級均為A的概率)；

(3)記抽取的330名學生在這次考試中數學成績(滿分150分)的方差為排名前

50%的成績方差為sj,排名后50%的成績方差為522,則52不可能同時大于512和522,

這種判斷是否正確.(直接寫出結論).

20.已知函數/(x)=xsinx.

(1)判斷函數/(x)在區(qū)間(0,%上的單調性，并說明理由；

(2)求證：函數/(x)在兀)內有且只有一個極值點；

(3)求函數。0)=華*在區(qū)間(1,TT］上的最小值.

21.集合Mk("20)是滿足下列條件的函數f(x)全體：如果對于任意的xi,X2&(&,+

8),都有/(XI)+f(X2)>/'(X1+X2).

(1)函數/(x)=/是否為集合M0的元素，說明理由；

(2)求證：當0<〃<1時，函數/(無)=〃是集合Mi的元素；

(3)對數函數/(x)=lgxEMk,求人的取值范圍.

2022-2023學年北京109中學高三（上）考試數學試卷（10月份）

參考答案與試題解析

一、單選題（每題4分，共40分）

2

1.（4分）已知幣=1-m,其中a€R,i為虛數單位，則由（）

A.-1B.1C.-2D.2

【解答】解：苗=（普消）=1-i=1一山,

則a=\.

故選：B.

2.（4分）（/一|）5的展開式中/的系數為（）

A.10B.20C.40D.80

【解答】解：（/一§5的展開式的通項公式為7i+l=稼（?）5Y（—|）k=（-2）

-3k

令10-3%=4,則％=2,

???展開式中d的系數為量（-2）2=40,

故選：C.

3.（4分）設賬R,則“cosx=0”是“sinx=l”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【解答】解：:sin2l+cos2>x=1,

①當cosx=0時，則sinx=±l,.??充分性不成立,

②當sinx=1時，則cosx=0,/.必要性成立,

???"cosx=0”是“sinx=l”的必要不充分條件.

故選：B.

4.（4分）COS2y^—COS2^=（）

D.立

A.-2C.

?--f2

【解答】解：COS?居一COS?金2TC71zj7127T27r71

=cos（一+一）-cos-=sin——cos-=—COS-=

2121212126

_V3

21

故選：B.

5.（4分）已知雙曲線的一個頂點是（0,2）,其漸近線方程為丫=士合，則雙曲線的標準方

程是（）

2y2X2

A.x2—=1B.———y2=1

44

y2y2/

C.—-%22=1D.---=1

444

y2x2

【解答】解：雙曲線的一個頂點是（0,2）,開始雙曲線方程為：—其漸近

4b2

線方程為'=±2羽

所以b=l,

所求雙曲線方程為：--X2=1.

4

故選：C.

*77"_TC

6.（4分）將函數y=s譏（2%+芻的圖象向左平移5個單位長度后，所得圖象對應的函數為

（）

A.y=sin2xB.y=-sin2xC.y=cos2xD.y=-cos2x

【解答】解：將函數y=sin（2x+芻的圖象向左平移W個單位長度后，

所得圖象對應的函數為y=sin（2x+ir+%）=-cos2x的圖象，

故選：D.

7.（4分）下列函數中，既是偶函數又在（0,3）上單調遞減的是（）

A.y=23B.y=-x3C.y=cos*D.y=

【解答】解：A,-：f（-x）="卜=2M=f（x）,.力二?況為偶函數,又?.?當x>0時,y

=2、單調遞增，...A錯誤，

B,?.?>=-/為奇函數，，臺錯誤，

YxX

C,V/（-x）=cos（一5）=COS-=f（x）,cos-為偶函數，

V0<x<3,.\0<^<1<?,.R=cos子在（0,3）上單調遞減，正確，

2222

2—%

D,.——>0,???-2<x<2,：.f（x）的定義域為（-2,2）,

2\x?2x

,:f(-x)=/〃----=/n(y-7^)-1=-In-----=—f(x),.*./(x)為奇函數，錯誤，

2-x'2+M2+x

故選：C.

8.(4分)中國古代十進位制的算籌計數法在世界數學史上是一個偉大的創(chuàng)造.據史料推測，

算籌最晚出現在春秋晚期戰(zhàn)國初年.算籌計數的方法是：個位、百位、萬位……的數按

縱式的數碼擺出；十位、千位、十萬位……的數按橫式的數碼擺出.如7738可用算籌表

示為上TT三可.1-9這9個數字的縱式與橫式的表示數碼如圖所示，則3'。貝64的運算

結果可用算籌表示為()

縱式：IIIIIIIlliHillTTTUT>

橫建式沖：一==—=一—工I_—L—=J=—=

123456789

A.II=IHB.=1=11=C.

D.

【解答】解：根據題意，3'。&64=36=729,

用算籌計數表示為n=w；

故選：D.

9.(4分(x)=logo,5x,0<a<b,若p=/(VHK),q=r=1(/(a)

則下列關系式中正確的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

【解答】解：(x)=logo,5x,0<a<bf

***P=/(V^)=log0.5(Voh)=2(Iog0.5?+log0.5/?)，

a+hQ+b1—

q=/(-y-)=log0.5(----)<log0.5(VoK)=P，

，2

1I

r=[(/(a)+/(b))=工(logo.5a+k>go.5b),

:?p=f>q.

故選：D.

10.(4分)設函數/(x)=sin(3x+給在區(qū)間(0,n)恰有三個極值點、兩個零點，則3

的取值范圍是()

5135191381319

A[B.[-,—)C.(——，-]D.(

-?了)3663T'T]

【解答】解：當3<0時?，不能滿足在區(qū)間（0,71）極值點比零點多，所以3>0;

函數/（]）=sin（u）x+^）在區(qū)間（0,Tt）恰有三個極值點、兩個零點,

■ji71元

(一,

(A)X4~737E3(0714-3o-),

57r

/.—VtOTl+n亍

23<3TT,

求得一<€0<?

6s

故選：C.

二、填空題（每題5分，共25分）

12

11.(5分)函數y=)(3-4%)+±的定義域是(-00,0)u(0,G.

【解答】解：由題意可知3-4%>0

%H0

所以3W(-8,0)U(0,》

所以函數的定義域為（一8,0）u（0,

故答案為：（-8,0）U（0,分.

12.（5分）能說明“在△ABC中，若sin2A=sin28,則A=8”為假命題的一組A,8的值

是4=60°,8=30°.

【解答】解：當4=60°,8=30°時，sin2A=sinl20°=—；sin2B=sin60°=苧，此

Blsin2A=sin2B/

故答案為：A=60°,B=30°.

13.（5分）如圖所示，角a的終邊與單位圓交于點P,已知點P的坐標為（一|,貝I]tan2a

_24

4

-4

245

【解答】解：?.?角a的終邊與單位圓交于點尸(一自二),--

33

--

355

2tana_24

則tan2a=

l-tan2a7

故答案為：—.

14.(5分)已知/(%)是定義在R上的奇函數.當x>0時，f(x)=x2-3x,則不等式/

(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-4,0)U(4,+8).

【解答】解：當x>0時，不等式/(x)>x化為7-3x>x,解得x>4；

當x<0時，-x>0,/(x)=-/(-x)=-x2-3x,不等式/(x)>x化為---3x>x,

解得-4<x<0.

而/(0)=0不滿足不等式/(x)>x.

綜上可得：不等式/(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-4,0)U(4,+8).

黨3YV(]

/-若存在實數A使函數g(x)=/(x)-6有兩個

｛x2,x>a

零點，則a的取值范圍是或a>U.

【解答】解：(x)=/(x)-分有兩個零點，

.V(x)=/,有兩個零點，即y=/(x)與y=/>的圖象有兩個交點，

由尸=7可得，X=0或X=1

①當4>1時，函數/1(X)的圖象如圖所示，此時存在從滿足題意，故4>1滿足題意

②當“=1時，由于函數/(X)在定義域R上單調遞增，故不符合題意

③當OVaVl時，函數/(x)單調遞增，故不符合題意

④a=0時，/(x)單調遞增，故不符合題意

⑤當。<0時，函數y=/(x)的圖象如圖所示，此時存在b使得，(x)與)，=匕有兩

故答案為：伍|a<0或。>1}

三、解答題(共85分)

1Q

16.設/(x)=4如:+自+*1,其中a€R,曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線垂

直于y軸.

(1)求。的值；

(2)求函數/(X)的極值.

【解答】解：(1)求導函數可得/(x)=?-A+l>

x2x2

?.?曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線垂直于y軸,

13

"(I)=0,g+L

a=

1Q

(2)由(1)知，f(x)=-伍什攝+分+1(x>0)

f(v)=_1__1,3^(3x+l)(x-l)

22

x2x22x

令/(x)=0,可得x=1或x=—/(舍去)

；0<xVl時，f'(x)<0,函數遞減；x>l時，/(x)>0,函數遞增

；.x=l時，函數/(X)取得極小值為3.

17.如圖，在直三棱柱ABC-486中，￡>,E分別是AB.的中點，已知AB=2,AA1=

AC-CB—V2.

(I)證明：BCi〃平面4C￡)；

(II)求CO與平面4CE所成角的正弦值；

(III)求。到平面4CE的距離.

【解答】證明：(/)連接AC1交4c于點F,則尸為ACi中點,

連接力F,又。是AB中點,

則BC\//DF,

?.?。bu平面ACO,BCiC平面ACO,

，BCi〃平面4CD

(〃)\'AB=2,BC=AC=V2,可得NACB=90°,即AC_LBC,

以C為坐標原點，C4,CB,CCi為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

LL^V2V2V2

則A(V2,0,V2),C(0,0,0),E(0,V2,——)，D(一，——，0),

222

TT-^2^

則C/i=(V2,0,V2),CE=(0,V2,—),

設平面4CE的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-CAr=V2x+V2z=0

則t—萬，令z=2,則y=-1,x--2>

n-CE=>/2y+^~z=0

二平面A1CE的一個法向量為n=(-2,-1,2),

t\J2ypZ

又CD=(—,—,0),

22

設CD與平面ACE所成角為6,

...smg叵L=一姿L=

z

\CD\-\n\J4+1+4XJ異;

(〃/)。到平面4CE的距離”=挈

同1x/4+4+42

10＜勁,且/(4)圖像的相鄰兩條對稱

71

軸之間的距離為了再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件.

(I)確定f(x)的解析式;

(II)若g(x)=/(%)+2cos(2x+著)，求函數g(x)的單調減區(qū)間.

條件①：/（X）的最小值為-2；

條件②：/（X）圖像的一個對稱中心為（聾，0）；

條件③：/（%）的圖像經過點（半，-1）.

71

【解答】解：（I）由于函數/G）圖像上兩相鄰對稱軸之間的距離為鼻,

所以函數/（%）的最小正周期7=2X＞兀，

所以3=竿=2,

此時/（x）=Asin（2x+（p）；

選條件①②，

因為/（x）的最小值為-A,

所以A=2f

因為函數/（x）的一個對稱中心為（罌，0），

所以2x含+＜p=/OT（keZ）,

解得W=k兀一詈，（fcGZ）,

因為|初

所以0=*'

所以/（%）=2sin（2x4-看）;

選條件①③，

因為/（尢）的最小值為-A,

所以A=2,

因為函數/（x）的圖像過得，一1）,

則樽）=-1，

艮|12si7i（等+乎）=—1,sin（竽+＞）=—*，

因為IwlV參

一,7n57r137r

所以一＜（p+—v——，

636

p*r21\I?57r1ITTTC

所以。+-y=-g-，0=3

所以f(%)=2sin(2x+5)；

選擇條件②③，

因為函數/(X)的一個對稱中心為(駕，0),

所以2x+3=kji(kGZ),

解得<p=k兀一普，(keZ),

因為|*|V*,

所以9=看，

此時/1(%)=4sin(2x+冷,

因為函數/(x)的圖像過(半，-1),

則鏢)=-1，

即As譏—F(p)——1,

”，11幾

所以Asin---=-1,

6

所以A=2,

所以/(%)=2sin(2x+看)；

綜上，不論選哪兩個條件，/(x)=2sm(2x+J)；

(II)由(I)知，/(%)=2sm(2%+5)，

所以g(x)=f(x)+2cos(2%+5)=2sin(2x+Q+2cos(2x+著)=2>/2sin(2x+駕),

,n57r37r

由一4-2kn<2x4--<—+2kn,kEZ,

2122

得莉+kn,kwZ,

n13

所以g(x)的單調遞減區(qū)間為|媼+/cm—n+kn]f依Z.

19.北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調研分析，隨機抽取同時選考物理、化學的學生

330名，如表是物理、化學成績等級和人數的數據分布情況:

物理成ABC

績等級

化學成ABcABCABC

績等級

人數no53255701531210

(名)

(1)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績

等級為A,估計該生的化學成績等級為A的概率；

(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生中隨機抽取2人，以X表示這2人中物

理、化學成績等級均為4的人數，求X的分布列和數學期望(以上表中物理、化學成績

等級均為4的頻率作為每名學生物理、化學成績等級均為A的概率)；

(3)記抽取的330名學生在這次考試中數學成績(滿分150分)的方差為排名前

50%的成績方差為s]2,排名后50%的成績方差為s/,則$2不可能同時大于sF和S22,

這種判斷是否正確.(直接寫出結論).

【解答】解：(1)設事件A為該生物理成績等級為A的情況下，化學成績等級為A,

樣本中物理成績等級為A的人數為110+53+2=165,

1102

在該群體中化學成績等級為A的人數為110,所以頻率為,=

由樣本估計總體可得P(4)=|,

故該生物理成績等級為A,估計該生化學成績等級為A的概率為1.

(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理、化學的學生隨機選取一名，物理、化學成績等級均

1101

為4的概率估計為二=

3303

由題意隨機變量X的取值范圍是｛0,1,2),

P(X=0)=(1)2=小

P(X=l)=Gx*x5=^

P(X=2)=(1)2=i,

則X的分布列:

X012

P441

r———

999

E(X)=0Xq4+lXg4+2Xg1=w2.

(3)不正確；

舉例：排名前50%的成績均為150分，方差為登=0,排名后50%的成績均為0分，方

差為S22=0,顯然，>0,所以s2>s￡,s2>s/,故，同時大于Si2和S22.

20.已知函數/(x)=xsinx.

(1)判斷函數/(x)在區(qū)間(0,今上的單調性，并說明理由；

(2)求證：函數/(x)在g,兀)內有且只有一個極值點：

(3)求函數g(x)=筆產在區(qū)間(1,