安徽省黃山市白楊中學高三數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，則下列一定成立的是(

)A．若a3＞0，則a2013＜0 B．若a4＞0，則a2014＜0C．若a3＞0，則S2013＞0 D．若a4＞0，則S2014＞0參考答案：C【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】對于選項A，B，D可通過q=﹣1的等比數(shù)列排除，對于選項C，可分公比q＞0，q＜0來證明即可得答案．【解答】解：對于選項A，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列1，﹣1，1，﹣1，…，顯然滿足a3＞0，但a2013=1＞0，故錯誤；對于選項B，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但a2014=1，故錯誤；對于選項D，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但S2014=0，故錯誤；對于選項C，因為a3=a1?q2＞0，所以a1＞0．當公比q＞0時，任意an＞0，故有S2013＞0；當公比q＜0時，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正確，故選：C．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．2.從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為（） A．2097 B． 2112 C． 2012 D． 2090參考答案：C略3.一個盛滿水的密閉三棱錐容器S－ABC，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞D，E，F(xiàn)，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的()A.

B.

C.

D.參考答案：D解：過DE作與底面ABC平行的截面DEM，則M為SC的中點，F(xiàn)為SM的中點．過F作與底面ABC平行的截面FNP，則N，P分別為SD，SE的中點．設三棱錐S-ABC的體積為V，高為H，S-DEM的體積為V1，高為h，則h:H=2:3,v1:v=8:27三棱錐F-DEM的體積與三棱錐S-DEM的體積的比是1：2（高的比），∴三棱錐F-DEM的體積4v:27三棱臺DEM-ABC的體積=V-V1=19v:27,∴最多可盛水的容積23v:27故最多所盛水的體積是原來的,選D4.已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直。與C交于A,B兩點，=12，P為C的準線上一點，則ABP的面積為A．18

B.

24

C.

36

D.

48參考答案：【知識點】直線與圓錐曲線的關系．H8

【答案解析】C解析：設拋物線的解析式為y2=2px（p＞0），則焦點為F（，0），對稱軸為x軸，準線為x=﹣∵直線l經(jīng)過拋物線的焦點，A、B是l與C的交點，又∵AB⊥x軸，∴|AB|=2p=12，∴p=6又∵點P在準線上，∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP?AB）=×6×12=36，故選C．【思路點撥】首先設拋物線的解析式y(tǒng)2=2px（p＞0），寫出次拋物線的焦點、對稱軸以及準線，然后根據(jù)通徑|AB|=2p，求出p，△ABP的面積是|AB|與DP乘積一半．5.設有不同的直線a，b和不同的平面α，β，給出下列四個命題：①若a∥α，b∥α，則a∥b；②若a∥α，a∥β，則α∥β；③若a⊥α，b⊥α，則a∥b；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B解：對于①，若a∥α，b∥α，則直線a和直線b可以相交也可以異面，故①錯誤；對于②，若a∥α，a∥β，則平面a和平面β可以相交，故②錯誤；對于③，若a⊥α，b⊥α，則根據(jù)線面垂直出性質(zhì)定理，a∥b，故③正確；對于④，若a⊥α，a⊥β，則α∥β成立；故選：B．6.l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有l(wèi)1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有l(wèi)1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1⊥l2參考答案：D【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系逐一核對四個選項得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，則有l(wèi)1∥l2或l1與l2相交或l1與l2異面，故A錯誤；如果l1⊥l2，l2⊥α，則有l(wèi)1∥α或l1?α，故B、C錯誤；如果l1⊥α，則l1垂直α內(nèi)的所有直線，又l2∥α，則過l2與α相交的平面交α于a，則l2∥a，∴l(xiāng)1⊥l2，故D正確．故選：D．7.一已知數(shù)列{}中，首項a1＝1，，數(shù)列｛bn｝的前n項和

（1）求數(shù)列｛bn｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛|bn|｝的前n項和．參考答案：（l）；（2）

【知識點】遞推公式；數(shù)列的和D1D4解析：（l）由已知，即，累加得：又。對于數(shù)列的前n項和：所以當時，（2）設數(shù)列的前n項和，則當時，，，當時，，故【思路點撥】（l）兩邊取對數(shù),變形后可利用累加法;（2）對n分兩種情況可得結(jié)果.8.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為棱長為1的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，點D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα的值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】用空間向量求直線與平面的夾角．【專題】計算題；綜合題．【分析】建立空間直角坐標系，求出平面AA1C1C的一個法向量是，和，計算cos＜，＞即可求解sinα，【解答】解：如圖，建立坐標系，易求點D（，，1），平面AA1C1C的一個法向量是=（1，0，0），所以cos＜，＞==，即sinα=．故選D．【點評】本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，考查計算能力，是基礎題．9.．正三棱柱的底面邊長為2,側(cè)棱長為,為中點,則直線與面所成角的正弦值為（）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知且,當時均有,則實數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，過中線中點任作一直線分別交，于，兩點，設，（），則的最小值是

▲

參考答案：略12.如果一個平面與一個圓柱的軸成（）角，且該平面與圓柱的側(cè)面相交，則它們的交線是一個橢圓.當時，橢圓的離心率是

.

參考答案：13.若x、y滿足約束條件的取值范圍是

.參考答案：[2,6]14.已知i是虛數(shù)單位，則（1﹣i）i=．參考答案：1+i【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】計算題．【分析】直接利用單項式乘多項式進行復數(shù)的乘法運算．【解答】解：（1﹣i）i=i﹣i2=1+i．故答案為1+i．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復數(shù)的乘法，滿足實數(shù)運算中的單項式乘多項式法則，是基礎題．15.已知函數(shù)f（x）=ex﹣mx+1（x≥0）的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線，則實數(shù)m的取值范圍為

．參考答案：（，+∞）【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；導數(shù)的概念及應用．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，運用兩直線垂直的條件可得ex﹣m=﹣有解，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到m的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=ex﹣mx+1的導數(shù)為f′（x）=ex﹣m，若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線，即有ex﹣m=﹣有解，即m=ex+，由ex＞0，則m＞．則實數(shù)m的范圍為（，+∞）．故答案為：（，+∞）．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查兩直線垂直的條件，屬于基礎題．16.已知圓：，直線：，設圓上到直線的距離等于1的點的個數(shù)為，則

參考答案：417.已知函數(shù)y=f（x+1）定義域是{x|﹣2≤x≤3}，則y=f（2|x|﹣1）的定義域是．參考答案：【考點】33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】求出f（x）的定義域，得到不等式﹣1≤2|x|﹣1≤4，解出即可．【解答】解：﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，∴﹣1≤2|x|﹣1≤4，∴0≤|x|≤，解得：﹣≤x≤，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足：，，．（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：．參考答案：（1）先用數(shù)學歸納法證明．①當時，∵，∴；②假設當時，，則當時，.由①②可知．再證．，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即．（2）要證，只需證，只需證其中，先證，令，，只需證．因為，所以在上單調(diào)遞減，所以.再證，令，，只需證，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，所以在上單調(diào)遞增，所以，綜上可得．（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，因為，所以，所以；另一方面，即，由迭代可得．因為，所以，所以；綜上，．19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點（2，0），且橢圓C的離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若動點P在直線x=﹣1上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，且P為線段MN中點，再過P：作直線l⊥MN．求直線l是否恒過定點，如果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（Ⅰ）由已知條件推導出a2=4，，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設P（﹣1，y0），，當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y﹣y0=k（x+1），由，得，由韋達定理結(jié)合已知條件推導出直線l恒過定點；當直線MN的斜率不存在時，直線l也過點．所以直線l恒過定點．解答：解：（Ⅰ）因為點（2，0）在橢圓C上，所以，所以a2=4，（1分）因為橢圓C的離心率為，所以，即，（2分）解得b2=3，所以橢圓C的方程為．（4分）（Ⅱ）設P（﹣1，y0），，①當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為y﹣y0=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，所以，因為P為MN中點，所以，即．所以，（8分）因為直線l⊥MN，所以，所以直線l的方程為，即，顯然直線l恒過定點．（10分）②當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=﹣1，此時直線l為x軸，也過點．綜上所述直線l恒過定點．（12分）點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程是否恒過定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．20.（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設線段的中點為，在直線上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；（III）求二面角的大小。參考答案：解析:解法一：（Ⅰ）因為平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因為為等腰直角三角形，

，所以又因為，所以，即⊥,所以⊥平面。

……4分（Ⅱ）存在點,當為線段AE的中點時，PM∥平面

取BE的中點N，連接AN,MN，則MN∥＝∥＝PC

所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN

因為CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，

所以PM∥平面BCE

……8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延長線于G，則FG∥EA。從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角因為FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.設AB=1,則AE=1,AF=.

FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG==故二面角F-BD-A的大小為arctan.

………………12分解法二:(Ⅰ)因為△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因為平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系A-xyz.設AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因為FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.從而，.所以,,.,.所以EF⊥BE,EF⊥BC.因為BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)M（0，0，）.P（1,,0）.從而=（，）.于是所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM∥平面BCE.

………………8分(Ⅲ)設平面BDF的一個法向量為，并設=（x，y，z）=(1，1，0)，

即去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）取平面ABD的一個法向量為=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小為.

……12分21.已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中軸的正半軸重合，且兩坐標系有相同的長度單位，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點Q的極坐標為。（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標方程；（II）若直線過點Q且與圓C交于M，N兩點，求當弦MN的長度為最小時，直線的直角坐標方程。參考答案：解：(Ⅰ)圓C的直角坐標方程為，