17.4一元二次方程的應用第2課時一元二次方程的實際問題會分析實際問題中蘊含的數(shù)量關系，找出等量關系,列出一元二次方程解決實際問題，并根據(jù)具體問題的實際意義,取符合實際意義的解作答經(jīng)歷分析和解決實際問題的過程,體會一元二次方程的數(shù)學建模作用體會數(shù)學來源于實踐,反過來又作用于實踐,增強應用數(shù)學的意識.知識點一列一元二次方程解實際問題的一般步驟1.列方程解實際問題的實質(zhì)列方程解實際問題就是先把實際問題抽象為數(shù)學問題(即轉(zhuǎn)化)然后通過解決數(shù)學問題來解決實際問題。列一元二次方程解實際問題的一般步驟審:是指審清題意,明確哪些是已知量,哪些是未知量以及它們之間的數(shù)量關系.設:是指設元,也就是設未知數(shù),設元又分直接設元和間接設元.所謂直接設元就是問什么設什么;如果直接設元列方程比較難或列出的方程比較復雜,這時可以考慮間接設元,間接設元雖然所設未知數(shù)不是我們所要求的,但更便于列出方程,因此間接設元也是常用的一種方法.列:列方程,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個等量關系,然后列代數(shù)式表示這個等量關系，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程.解:解方程,求出未知數(shù)的值.驗:檢驗方程的解是否正確及能否使實際問題有意義.答:回答問題一定要遵循“問什么答什么，怎樣問就怎樣答”的原則.簡記：審設列解驗答。即學即練（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）某超市一月份的營業(yè)額為300萬元，一月、二月、三月的總營業(yè)額1200萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程為（

）A．3001+x2=1200C．300+3001+x2=1200【答案】D【分析】根據(jù)增長率分別表示出二月、三月的營業(yè)額即可求解．【詳解】解：由題意得：二月的營業(yè)額為：300三月的營業(yè)額為：300故一月、二月、三月的總營業(yè)額為：300+300故根據(jù)總營業(yè)額為1200萬元，可列方程為：300故選：D【點睛】本題考查增長率問題．分別表示出二月、三月的營業(yè)額是解題關鍵．知識點二列一元二次方程解常見的實際問題常見題型列方程的理論依據(jù)行程問題路程=速度×時間平均增長率(降低率)問題為起始量,為終止量，為增長(或降低)的次數(shù)，平均增長率公式:(為平均增長率)平均降低率公式:(為平均降低率)傳播問題傳播的第二輪可以抽象為一元二次方程，設為傳染源數(shù)，為每個傳染源傳播的個數(shù)，則傳播兩輪后感染總個數(shù)為銷售利潤問題利潤=售價-進價;；售價=進價×(1+利潤率);總利潤=總售價－總成本=單件利潤×總銷售量幾何圖形問題利用幾何圖形的面積、周長公式存款利息問題本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期數(shù)數(shù)字問題兩位整數(shù)＝十位數(shù)字×10＋個位數(shù)字;三位整數(shù)＝百位數(shù)字×100＋十位數(shù)字×10＋個位數(shù)字工程問題一般情況把工作總量設為單位“1”當甲獨立完成整個工作時，工作時間與工作效率互為倒數(shù)工作效率×工作時間＝工作總量動態(tài)幾何問題運用幾何知識以及行程公式，一般采用間接設元的方法即學即練（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）如圖，要建一個面積為65平方米的倉庫，倉庫的一邊靠墻，并在與墻平行的一邊開一道1米寬的小門，現(xiàn)有32米長的木板，求倉庫的長與寬．設倉庫垂直于墻面的一邊長度為x米，則可列方程為（

）．

A．33-2xx=65 B．C．31-2xx=65 D．【答案】A【分析】設倉庫的垂直于墻的一邊長為x，而與墻平行的一邊開一道1米寬的門，現(xiàn)有能圍成32米長的木板，那么平行于墻的一邊長為32-2x+1米，而倉庫的面積為65平方米，由此即可列出方程．【詳解】解：設倉庫的垂直于墻的一邊長為x，則平行于墻的一邊長為32-2x+1米，依題意得32-2x+1x=65，即故選：A．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關系．題型一傳播問題例1（2022秋·上海寶山·八年級?？计谥校┯幸粋€人利用手機發(fā)短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送該條短信，經(jīng)過兩輪信息的發(fā)送，共有90人手機上獲得同一條信息，則每輪發(fā)送短信過程中平均一個人向人發(fā)送短信．【答案】9【分析】設每輪發(fā)送短信平均一個人向x個人發(fā)送短信，第一輪后共有1+x人收到短信，第二輪發(fā)送短信的過程中，又平均一個人向x個人發(fā)送短信，則第二輪后共有x1+x人收到短信，根據(jù)這樣經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送共有90【詳解】解：設每輪發(fā)送短信平均一個人向x個人發(fā)送短信，則：x1+x整理得：x解得x=9或x=-10（舍去）故答案為：9．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．該類題解答的關鍵在于分析每一輪中發(fā)送的人數(shù)與接收的人數(shù)，并能結(jié)合題意，列出方程．舉一反三1（2023·廣東陽江·統(tǒng)考一模）自年月以來，甲流便肆虐橫行，成為當前主流流行疾?。骋恍^(qū)有位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非?？?，小區(qū)經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過三輪傳染后累計是否超過人患了甲流？【答案】(1)人(2)不超過【分析】（1）設每輪感染中平均一個人傳染人，根據(jù)題意列方程解方程即可；（2）根據(jù)（1）可知每輪感染中平均一個人傳染人，進而得到三輪后患病總?cè)藬?shù)為即可解答．【詳解】（1）解：設每輪感染中平均一個人傳染人．根據(jù)題意得，解得，或，∵，∴，答：每輪感染中平均一個人傳染人；（2）解：根據(jù)題意可得：第三輪的患病人數(shù)為，∵，∴經(jīng)過三輪傳染后累計患甲流的人數(shù)不會超過人，答：經(jīng)過三輪傳染后累計患甲流的人數(shù)不超過人；【點睛】本題考查了一元二次方程與實際問題，讀懂題意明確數(shù)量關系是解題的關鍵．舉一反三2（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設有人參加活動，可列方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設有人參加活動，每個人與其他人握手的次數(shù)均為次，并且每個人與其他人握手均重復一次，由此列出方程即可．【詳解】解：設有x人參加活動，每個人與其他人握手的次數(shù)均為次，并且每個人與其他人握手均重復一次，由此可得：，故選：A．【點睛】題目主要考查一元二次方程的應用，理解題意，列出方程是解題關鍵．題型二增長率問題例2（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為x，則二月份的銷售量為：2561+x件；三月份的銷售量為：2561+x1+x件，又知三月份的銷售量為400（2）設當商品降價m元時，商品獲利4250元，再利用“銷量×每件商品的利潤=4250”列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據(jù)題意可得：2561+x解得：x1=0.25，答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%．（2）解：設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：40-25-m400+5m解得：m1=5，答：當商品降價5元時，商品獲利4250元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意、找到等量關系列出方程是解題的關鍵．舉一反三1（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）某超市一月份的營業(yè)額為300萬元，第一季度的營業(yè)額共1200萬元，如果平均每月增長率為，則由題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，然后根據(jù)一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額=1200列方程即可．【詳解】解：∵一月份的營業(yè)額為300萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為，∴三月份的營業(yè)額為，∴可列方程為．即．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．舉一反三2（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）最近國家出臺了一系列的政策，全國各地房市遇冷，以上海某地一處小區(qū)二手房為例，原價600萬元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為486萬元，則平均降價率為．【答案】10%【分析】直接利用降低率公式列出方程進行計算即可求解．【詳解】解：設平均降價率為x，由題意可得，600x1=0.1，0.1×100%=10%，故答案為：10%．【點睛】本題考查了增長率問題，牢記增長率（或降低率）公式a1±xn=b，其中a是原來的量，x是平均增長率（或平均降低率），n題型三營銷問題例3（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）為助力攻堅脫貧，某村村委會在網(wǎng)上直播銷售該村優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包，已知其3月份的銷售量達到400包，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包的進價25元，原售價為每包40元，該村在今年4月進行降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價1元，銷售量可增加5袋，當農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價多少元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元？【答案】每包降價4元【分析】先設當農(nóng)產(chǎn)品每袋降價m元時，該農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元，然后根據(jù)：利潤=（售價-進價）×數(shù)量，列出方程并解答即可．【詳解】解：設當農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價m元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元，由題意得：40-25-m400+5m解得：m1=4，m2=-69答：當農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價4元時，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，找到等量關系列出相應的方程是解答本題的關鍵．舉一反三1（2022秋·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期中）某商店如果將進貨價為每件10元的商品按每件12元出售，每天可銷售200件，這種商品如果每漲價一元，其銷售量就減少10件．(1)將售價定為每件多少元時，能使這天所獲利潤達到1200元？(2)將售價定為每件多少元時，能使這天所獲利潤最大？最大的利潤是多少？【答案】(1)把售價定為每件20元或22元能使每天利潤達到1200元(2)將售價定位每件21元時，能使這天可獲的利潤最大，最大利潤是1210元【分析】對于（1），設商品的售價定為x元，再表示出單間利潤和銷售量，然后根據(jù)單間利潤×銷售量=總利潤列出方程，再求出解即可；對于（2），設這天的利潤為y元，結(jié)合（1）列出函數(shù)關系式，再配方討論極值即可．【詳解】（1）設每件商品的售價定為x元，依題意，得(x-10)[200-10(x-12)]=1200，整理得：x2解得：x1=20，∴把售價定為每件20元或22元能使每天利潤達到1200元；（2）設這天的利潤為y元，則y=(x-10)[200-10(x-12)]=-10(x-21)∵-10＜∴當x=21時，y有最大值，最大值為1210，答：將售價定位每件21元時，能使這天可獲的利潤最大，最大利潤是1210元．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，函數(shù)最大值的問題等，根據(jù)等量關系列出關系式（方程）是解題的關鍵．舉一反三2（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）現(xiàn)在全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也大增，商場從廠家購進了A、B兩種型號的空氣凈化器，已知一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元，用7500元購進A型空氣凈化器和用6000元購進B型空氣凈化器的臺數(shù)相同．(1)求一臺B型空氣凈化器的進價為多少元？(2)在銷售過程中，A型空氣凈化器因為凈化能力強，嗓音小而更受消費者的歡迎，為了增大B型空氣凈化器的銷量，商場決定對B型空氣凈化器進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)查，當B型空氣凈化器的售價為1800元時，每天可賣出4臺，在此基礎上，售價每降低50元，每天多賣出1臺，如果每天商場銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，請問商場應將B型空氣凈化器的售價定為多少元？【答案】(1)1200元(2)1600元【分析】（1）設每臺B種空氣凈化器為x元，A種凈化器為元，根據(jù)用6000元購進B種空氣凈化器的數(shù)量與用7500元購進A種空氣凈化器的數(shù)量相同，列方程求解；（2）根據(jù)總利潤單件利潤銷量列出一元二次方程求解即可．【詳解】（1）設每臺B型空氣凈化器為x元，A型凈化器為元，由題意得，，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的根，則，答：每B型空氣凈化器、每臺A型空氣凈化器的進價分別為1200元，1500元；（2）設B型空氣凈化器的售價為a元，根據(jù)題意得:，解得：，答：如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，商社電器應將B型空氣凈化器的售價定為1600元．【點睛】本題考查了一元二次方程及分式方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系，注意分式方程應該檢驗，難度不大．題型四行程問題例4（2023秋·重慶開州·九年級統(tǒng)考期末）隨著人們對健康生活的追求，全民健身意識日益增強，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛．(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續(xù)走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時間都各自多走了分鐘，結(jié)果兩人又共走了米，求的值．【答案】(1)張大伯每分鐘走米，李大伯每分鐘走米(2)的值為【分析】（1）設李大伯徒步走的速度為每分鐘米，則張大伯每分鐘走米，根據(jù)兩人共走了米列方程，解得的值代入中計算即可；（2）結(jié)合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分鐘走米，由已知條件可得張大伯走了分鐘，李大伯走了分鐘，根據(jù)兩人又共走了米列方程，解方程并根據(jù)實際意義確定值即可．【詳解】（1）解：設李大伯徒步走的速度為每分鐘米，得解得∴（米）所以，張大伯每分鐘走米，李大伯每分鐘走米；（2）解：依題意，得整理得解得（舍），答：的值為．【點睛】本題考查了列一元一次方程解決問題，列一元二次方程解決問題，正確找到數(shù)量關系是解決問題的關鍵．舉一反三1（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）(1)當時，求關于t的函數(shù)關系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見解析【分析】（1）設關于t的函數(shù)關系式為，根據(jù)經(jīng)過點利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設關于t的函數(shù)關系式為，把點代入得，，解得，∴關于t的函數(shù)關系式為；（2）解：對于球來說，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設每次踢球t從0開始計算，因為球在草地上滾動時，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時又經(jīng)過了米，，又開始下一個循環(huán)，故第四次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，故第五次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，故第六次踢球所需時間為，經(jīng)過24米，故第七次踢球所需時間為，經(jīng)過48米，∵，，∴帶球走過200米，在第七次踢球時實現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點睛】此題考查了一元二次方程的應用、一次函數(shù)的應用、一元一次方程的應用，讀懂題意，準確計算是解題的關鍵．舉一反三2（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分別設小紅和小明的速度，根據(jù)等量關系（小明比小紅早5分鐘到達B地）列出等量關系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時間為：．小明在他從跑步開始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時間為：．故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的應用和一元二次方程的應用．解題的關鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關系式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時間．題型五工程問題例5某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．【答案】(1)A型設備每小時鋪設的路面110米(2)18【分析】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，可得：，解方程即可解得答案；（2）根據(jù)A型設備鋪的路+B型設備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案．【詳解】（1）設B型設備每小時鋪設的路面x米，則A型設備每小時鋪設路面米，由題意得，解得，米，所以A型設備每小時鋪設的路面110米；（2）根據(jù)題意得：，解得，（舍去），答：m的值是18．【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出方程．舉一反三1（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學校考期末）在今年3月5號的學雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團員去參加美化校園活動，如果八年級共青團員單獨做3小時，九年級共青團員再單獨做2小時，那么恰好能完成全部任務的25%；如果九年級共青團員先做4小時，剩下的由八年級共青團員單獨完成，那么八年級共青團員所用時間恰好比九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間多2【答案】八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為24小時，九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為16小時．【分析】設九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為x小時，則八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為x(x+2)x-4小時，根據(jù)“八年級共青團員單獨做3小時，九年級共青團員再單獨做2小時，那么恰好能完成全部任務的25%”，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間，再將其代入x(x+2)【詳解】解：設九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為x小時，則八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為x(x+2)x-4依題意得：3x(x+2)整理得：x2解得：x1經(jīng)檢驗，x1=0是原方程的增根，舍去；x∴x(x+2)x-4∴八年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為24小時，九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間為16小時．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．舉一反三2（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級河南師大附中校聯(lián)考期中）某市總預算億元用三年時間建成一條軌道交通線.軌道交通線由線路敷設、搬遷安置、輔助配套三項工程組成.從2015年開始，市政府在每年年初分別對三項工程進行不同數(shù)額的投資.2015年年初，對線路敷設、搬遷安置的投資分別是輔助配套投資的2倍、4倍.隨后兩年，線路敷設投資每年都增加億元，預計線路敷設三年總投資為54億元時會順利如期完工；搬遷安置投資從2016年初開始遂年按同一百分數(shù)遞減，依此規(guī)律，在2017年年初只需投資5億元，即可順利如期完工；輔助配套工程在2016年年初的投資在前一年基礎上的增長率是線路敷設2016年投資增長率的1.5倍，2017年年初的投資比該項工程前兩年投資的總和還多4億元，若這樣，輔助配套工程也可以如期完工.經(jīng)測算，這三年的線路敷設、輔助配套工程的總投資資金之比達到3:2.（1）這三年用于輔助配套的投資將達到多少億元？（2）市政府2015年年初對三項工程的總投資是多少億元？（3）求搬遷安置投資逐年遞減的百分數(shù).【答案】（1）36；（2）35億元；（3）50%【分析】（1）由線路敷設三年總投資為54億元及這三年的線路敷設、輔助配套工程的總投資資金之比達到3：2，可得答案．（2）設2015年年初，對輔助配套的投資為x億元，則線路敷設的投資為2x億元，搬遷安置的投資是4x億元，根據(jù)“線路敷設三年總投資為54億元、輔助配套三年的總投資為36億元”列方程組，解之求得x、b的值可得答案．（3）由x=5得出2015年初搬遷安置的投資為20億元，設從2016年初開始，搬遷安置投資逐年遞減的百分數(shù)為y，根據(jù)“2017年年初搬遷安置的為投資5億”列方程求解可得．【詳解】解：（1）三年用于輔助配套的投資將達到54×=36（億元）；（2）設2015年年初，對輔助配套的投資為x億元，則線路敷設的投資為2x億元，搬遷安置的投資是4x億元，根據(jù)題意，得：，解得：，∴市政府2015年年初對三項工程的總投資是7x=35億元；（3）由x=5得，2015年初搬遷安置的投資為20億元，設從2016年初開始，搬遷安置投資逐年遞減的百分數(shù)為y，由題意，得：20（1﹣y）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）答：搬遷安置投資逐年遞減的百分數(shù)為50%．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，分式方程的應用，找準等量關系，列出方程是關鍵.題型六數(shù)字問題例6（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學校校考階段練習）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出個位置相鄰的數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為161，那么根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為161，列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)圖表可以得出，圈出的9個數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設最小數(shù)為，則最大數(shù)為，根據(jù)題意得出：，故選：B．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)已知得出最大數(shù)與最小數(shù)的差為16是解題關鍵．舉一反三1（2023秋·湖南岳陽·九年級統(tǒng)考期末）小北同學在學習了“一元二次方程”后，改編了蘇軾的詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪淘盡，千古風流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”大意為：“周瑜去世時年齡為兩位數(shù)，該數(shù)的十位數(shù)字比個位小3，個位的平方恰好等于該數(shù)．”若設周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，則可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，則設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字為x-3，然后根據(jù)個位的平方恰好等于該數(shù)列出方程即可．【詳解】解：設周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，則設周瑜去世時年齡的十位數(shù)字為x-3，由題意得，故選：C．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．舉一反三2已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，則這個兩位數(shù)是．【答案】84【分析】等量關系為：個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和＝這個兩位數(shù)﹣4，把相關數(shù)值代入求得整數(shù)解即可．【詳解】設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：這個兩位數(shù)為84．故答案為：84【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．題型七幾何圖形問題例7（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)計劃在一個長，寬的矩形場地上，修建三條同樣寬的小路，豎直的與平行，水平的與平行，其余部分種草，已知草坪部分的總面積為，設小路寬，若滿足的方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設小路寬，則草坪的總長度為，總寬度為，根據(jù)題意得，進行計算即可得．【詳解】解：設小路寬，則草坪的總長度為，總寬度為，根據(jù)題意得，，，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)題意列出方程．舉一反三1（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，有一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，雞舍的一邊利用長為的墻，另外三邊用長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于墻的一邊上留一個寬的門．

(1)矩形的邊長分別為多少時，雞舍面積為？(2)雞舍面積能否達到？【答案】(1)矩形雞舍的長為，寬為(2)不能，見解析【分析】（1）設矩形雞舍垂直于房墻的邊為，矩形雞舍的另一邊長為，根據(jù)正方形面積的公式列式求出答案；（2）當，列出后進行整理得，最后根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況．【詳解】（1）解：設矩形雞舍垂直于房墻的一邊長為，則矩形雞舍的另一邊長為．依題意，得，解得，．當時，（舍去），當時，．答：矩形雞舍的長為，寬為；（2）解：當，則，整理得：，則，故所圍成雞舍面積不能為平方米．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，用題目給的條件列出一元二次方程是解題的關鍵．舉一反三2（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某景區(qū)計劃在一個長為，寬為40m的矩形空地上修建一個停車場，停車場中修建三塊相同的矩形停車區(qū)域，它們的面積之和為，三塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相等的行車通道，問行車通道的寬度是多少m？設行車通道的寬度是，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設行車通道的寬度為，再根據(jù)停車區(qū)域面積之和為列出一元二次方程，然后求解即可．【詳解】解：設行車通道的寬度為．根據(jù)題意，得．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解答本題的關鍵．舉一反三3（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）如圖，在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建小道（圖中陰影部分），其中AB=CD=EF=GH=xm，每段小道的兩邊緣平行，剩余的地方種植花草，要使種植花草的面積為

【答案】1040-【分析】題目中存在的等量關系為矩形花園的面積-小道的面積=864m【詳解】根據(jù)題意，得S小道=2×26x+40x-2x根據(jù)S矩形花園1040--2故答案為：1040--2【點睛】本題主要考查實際問題與二元一次方程，能用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出等量關系是解題的關鍵．舉一反三4（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學校考期中）如圖，小明家要建一個面積為150平方米的養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成．這堵墻長18米，在與墻平行的一邊，要開一扇2米寬的門．已知圍建養(yǎng)雞場的竹籬笆總長為33米（沒有剩余材料，接頭忽略不計），那么小明家養(yǎng)雞場的長和寬應分別為多少米？【答案】小明家養(yǎng)雞場的長和寬應分別為15米，10米【分析】設垂直于墻的一邊長為x米，結(jié)合題意可得到平行于墻的一邊長為33-2x+2米，再通過面積150平方米列出方程，從而計算得到答案．【詳解】設垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為33-2x+2米，由題意得x×∴2∴x1=當x=10時，33-2x+2=15當x=152時，33-2x+2=20＞∴這個養(yǎng)雞場與墻垂直的一邊應長10米．則33-2×10+2=15米∴小明家養(yǎng)雞場的長和寬應分別為15米，10米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用；求解的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解法并運用到實際問題的求解過程中，即可得到答案．題型八動態(tài)幾何圖形問題例8（2023·湖南湘潭·湘潭江聲實驗學校?？既＃┤鐖D，在中，，．點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，另外一點也隨之停止運動．

(1)幾秒后，四邊形的面積等于？(2)的面積能否等于？請說明理由．【答案】(1)1秒(2)不能，見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得當運動時間為時，，，，根據(jù)題意列出方程，進行求解即可；（2）看的面積能否等于，只需要看方程是否有解即可．【詳解】（1）解：，，當運動時間為時，，根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：或，當時，點重合，不符合題意，舍去，∴經(jīng)過1秒鐘，四邊形的面積等于；（2）解：的面積不能等于，理由如下：根據(jù)題意可得：，整理得：，，所列方程沒有實數(shù)根，∴的面積不能等于．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用以及根的判別式，關鍵在于理解清楚題意，找出等量關系列出方程求解．舉一反三1如圖，矩形中，，，點從開始沿邊向點以厘米/秒的速度移動，點從點開始沿邊向點以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時出發(fā)，求經(jīng)過幾秒時，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最??？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒時，五邊形的面積最小，最小值是39平方厘米【分析】（1）設運動時間為，則，，再由面積公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時，面積為9，則此時五邊形的面積最小，從而可得答案．【詳解】（1）解：設運動時間為，則，，則，解得：或．∴經(jīng)過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面積有最大值，則要使取最大值，則此時，面積為9，則此時五邊形的面積最小，最小值為．【點睛】本題主要考查動點問題，一元二次方程的應用，配方法的應用，熟練的解一元二次方程是解本題的關鍵．舉一反三2（2023春·云南昆明·九年級云南省昆明市第十中學校聯(lián)考開學考試）已知：如圖所示，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以的速度移動，當其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．(1)運動幾秒時四邊形的面積為？(2)的面積能否等于面積的一半？若能，求出運動時間，若不能，說明理由．【答案】(1)2秒(2)不能，理由見解析【分析】（1）設運動時間為t秒，表示出和，利用的面積減去，令其結(jié)果為16，得出方程，解之即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可．【詳解】（1）解：設運動時間為t秒，由題意可得：，，∴，∴四邊形的面積為，則，解得：或(舍)，∴運動2秒時，四邊形的面積為；（2）由題意可得：，整理得：，∵，∴不存在某一時刻，使得的面積等于的面積的一半．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，得出等量關系是解決問題的關鍵．題型九圖表信息問題例9某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費標準不超過人人均收費元超過人每增加一人，人均收費減少元，但人均收費不低于元(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？【答案】(1)15；(2)乙公司人．【分析】（1）設甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費用和人均收費標準，判斷出兩次都不超過10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；（2）設乙公司員工人，根據(jù)支付的費用先判斷出公司去的人數(shù)超過了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費減少60元，列出方程，求出的值，再根據(jù)人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．【詳解】（1）解：設甲公司有人，，，（人）．故答案為：（2）設乙公司人，，，，若，每人費用：，不符舍去，若，每人費用：，符合，答：乙公司人．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關鍵．舉一反三1某商店購進800個旅游紀念品，進價為每個50元，第一周以每個80元的價格售出200個，第二周若按每個80元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出10個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品以及清倉處理，以每個40元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利9000元．（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

40銷售量（件）

200（2）求第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？【答案】（1）填表見解析；（2）第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．【分析】（1）第二周的單價=第一周的單價-降低的價格，銷售量=200+10×降低的單價；清倉時的銷售量為：800-第一周的銷售量-第二周的銷售量；（2）等量關系為：總售價-總進價=9000．把相關數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡）

時間

第一周

第二周

清倉時單價（元）

80

80-x

40銷售量（件）

200

200+10x

400-10x故答案為：80-x，200+10x，400-10x；（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，x2-20x+100=0，解得：x1=x2=10，當x=10時，80-x=70．答：第二周每個旅游紀念品的銷售價格為70元．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應用，找出相等關系列一元二次方程求解是解題的關鍵．舉一反三2（2023·湖南張家界·統(tǒng)考一模）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分，將每個菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：，．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48．（1）請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435，求出這5個數(shù)中的最大數(shù)；

（3）嘉琪說：她用一個如圖所示菱形框，框出5個數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是95，直接判斷他的說法是否正確（不必敘述理由）．【答案】（1）證明見解析；（2）這5個數(shù)中最大數(shù)為29．（3）嘉琪的說法不正確．【分析】（1）、根據(jù)題目數(shù)據(jù)，設中間的數(shù)為a，則另外4個數(shù)可以用a的式子表示出來，即可列出算式進行證明；（2）、設最大數(shù)為x，列出方程組解答即可；（3）參考（2）問題思路，解出最大數(shù)，然后根據(jù)最大數(shù)所在位置即可判定．【詳解】（1）證明：設中間的數(shù)為a，則另外4個數(shù)分別為（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），=a2﹣1﹣（a2﹣49），=48．（2）解：設這5個數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為（x﹣14），依題意，得：x（x﹣14）＝435，解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合題意，舍去）．答：設這5個數(shù)中最大數(shù)為29．（3）嘉琪的說法不正確．設這5個數(shù)中最大數(shù)為y，則最小數(shù)為（y﹣14），依題意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合題意，舍去）．∵19在日歷的最后一列，∴不符合題意，∴嘉琪的說法不正確．【點睛】本題考查方程的應用問題，解題關鍵是準確的設未知數(shù)，然后列出方程解答．單選題1.如圖，長方形鐵皮的長為，寬為，現(xiàn)在它的四個角上剪去邊長為的正方形，做成底面積為的無蓋的長方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【分析】根據(jù)各邊之間的關系，可得出做成無蓋的長方體盒子的底面是長為，寬為的長方形，結(jié)合長方體盒子的底面積為，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵長方形鐵皮的長為，寬為，且在它的四個角上剪去邊長為的正方形，∴做成無蓋的長方體盒子的底面是長為長為，寬為的長方形．根據(jù)題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2.（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在長為30米，寬為18米的矩形地面上修筑等寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為480平方米，設道路的寬為x米，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】先將圖形利用平移進行轉(zhuǎn)化，可得空白長方形的面積=長×寬，列方程即可．【詳解】利用圖形平移可將原圖轉(zhuǎn)化為下圖，道路的寬為x米．

根據(jù)題意可得：．故選：B．【點睛】本題考查的是一元二次方程的實際運用，找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．3．某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，價格由100元降為64元．已知兩次降價的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若兩次降價的百分率均是x，則第一次降價后價格為元，第二次降價后價格為元，根據(jù)題意找出等量關系：第二次降價后的價格元，由此等量關系列出方程即可．【詳解】解：∵兩次降價的百分率都是x，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查列一元二次方程，關鍵在于讀清楚題意，找出合適的等量關系列出方程．二、解答題4.（2023春·廣東廣州·九年級?？奸_學考試）由陳冬、劉洋和蔡旭哲組成的神舟十四號航天員乘組，已于2022年12月4日由東風著陸場勝利返回．此次返回意義重大、影響深遠．2022年是中國完成空間站建造的決戰(zhàn)決勝之年，也是中國載人航天工程立項實施30周年。飛天逐夢，不僅讓飛行器深入太空，更讓科學精神扎根廣大青少年心中．神州十二號載人飛船脫離核心艙后繞地球飛行大約20圈后用時28.3個小時后返回東風著陸場，神州十三號繞地球飛行圈數(shù)逐漸減少而神州十四號載人飛船脫離空間站后繞地球飛行約5圈后用時9個多小時勝利返回．祖國的科技發(fā)展日新月異，作為未來接班人的同學們，建設航天強國，是我們不懈追求的航天夢．請利用上面數(shù)據(jù)，編制一道一元二次方程的應用題并解答”．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意編寫合情合理的應用題并進行解答即可．【詳解】飛天逐夢，不僅讓飛行器深入太空，更讓科學精神扎根廣大青少年心中．神州十二號載人飛船脫離核心艙后繞地球飛行大約20圈返回東風著陸場，，再次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)逐漸減少，神州十四號載人飛船脫離空間站后繞地球飛行約5圈后勝利返回．求每次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)的下降率．解：設每次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)的下降率為，則，解得：(舍去)答：每次發(fā)射載人飛船繞地球飛行圈數(shù)的下降率為．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，能提取相關數(shù)據(jù)是解題的關鍵．5.（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應降價多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）設每次降價的百分率為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設每件商品應降價元，由銷售問題的數(shù)量關系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為，由題意，得，（不符合題意，舍去）．答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，兩次下降的百分率為；（2）解：設每天要想獲得512元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價元，由題意，得，解得：．答：要使商場每天要想獲得512元的利潤，每件應降價2元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程應用，關鍵是根據(jù)題意找到等量關系，列出方程，解答即可．6．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶市天星橋中學?？茧A段練習）“鐵路建設助推經(jīng)濟發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設．渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設計運行時速比原鐵路設計運行時速提高了120千米/小時，全程設計運行時間只需8小時，比原鐵路設計運行時間少用16小時．（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設計運行里程是多少千米？（2）專家建議：從安全的角度考慮，實際運行時速要比設計時速減少m%，以便于有充分時間應對突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實際運行時間將增加小時，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設計運行時速比原鐵路設計運行時速提高了l20千米/小時，全程設計運行時間只需8小時，比原鐵路設計運行時間少用16小時”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據(jù)題意得出：進而求出即可．【詳解】（1）設原時速為xkm/h，通車后里程為ykm，則有：，解得：，答：渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設計運行里程是1600千米；（2）由題意可得出：，解得：，（不合題意舍去），答：m的值為20．7．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）中，，點P從點A開始沿邊向終點B以1的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊向終點C以2的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為t秒．(1)填空______，______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當t為何值時，的長度等于？(3)是否存在t的值，使得的面積等于？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或時，的長度等于(3)存在，【分析】（1）根據(jù)路程速度時間即可得出，然后用就可得出的值；（2）運用勾股定理可得：，代入（1）中數(shù)據(jù)計算即可；（3）根據(jù)三角形面積計算公式可得：，代入數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，，故答案為：；（2），∴是直角三角形，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，，或時，的長度等于；（3）由題意得：，即，解得：，，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，即，解得，時，的面積等于．【點睛】本題考查了三角形的動點問題，考查了列代數(shù)式，一元二次方程的解法，勾股定理的應用，三角形面積公式的運用，在解答時要注意所求的實際問題有意義．8．疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多老師在繁重的課務之余承擔起了核酸檢測的任務，化身可敬可愛的“大白”．據(jù)多日檢測結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個熟能生巧的現(xiàn)象，當每位大白檢測人數(shù)是人時，每位同學人均檢測時間是秒，而檢測人數(shù)每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數(shù)不超過人，設人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數(shù)（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時完成了檢測任務，那么他今日檢測總?cè)藬?shù)為多少人？【答案】(1)40，，29，26(2)他今日檢測總?cè)藬?shù)為人【分析】（1）設檢測人數(shù)為y，人均檢測時間為t（秒），由題意可得出y、t與x之間的函數(shù)關系式，即可補全表格；（2）根據(jù)人均檢測時間×檢測人數(shù)＝總檢測時間，可得關于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設檢測人數(shù)為，人均檢測時間為秒，由題意得：、，補全表格如下：檢測人數(shù)人人均檢測時間秒（2）解：由題意得，，解得，，當時，檢測總?cè)藬?shù)為人，每位大白的檢測人數(shù)不超過人，不符合題意，舍去，當時，檢測總?cè)藬?shù)為人，答：他今日檢測總?cè)藬?shù)為人．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，根據(jù)條件建立函數(shù)關系是解決本題的關鍵．9．（2023·四川成都·成都實外校考一模）為切實推進廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動．學生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量1