兩個(gè)重要極限16494_第1頁(yè)
兩個(gè)重要極限16494_第2頁(yè)
兩個(gè)重要極限16494_第3頁(yè)
兩個(gè)重要極限16494_第4頁(yè)
兩個(gè)重要極限16494_第5頁(yè)
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一、準(zhǔn)則I及個(gè)重要極限二、準(zhǔn)則II及個(gè)重要極限§1.6兩個(gè)重要極限

下頁(yè)鈴返回首頁(yè)2021/5/91一、準(zhǔn)則I

及第一個(gè)重要極限

如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件

(1)yn

xn

zn(n=1

2

3

)

準(zhǔn)則I（夾逼定理）準(zhǔn)則I

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件

(1)g(x)

f(x)

h(x)

(2)limg(x)

A

limh(x)

A

那么limf(x)存在

且limf(x)

A

下頁(yè)那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且￥?nlimxn=a

.

那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且￥?nlimxn=a

.

2021/5/92第一個(gè)重要極限

顯然BC

AB

AD

(因此sinx

x

tanx

DB1OCAx

簡(jiǎn)要證明

參看附圖

設(shè)圓心角

AOB=x

下頁(yè)2021/5/93應(yīng)注意的問(wèn)題

這是因?yàn)?/p>

令u=a(x)

則u

0

于是第一個(gè)重要極限下頁(yè)2021/5/94

例1

解:

解:

例2

下頁(yè)2021/5/95

例3

解:

解:

例4

下頁(yè)2021/5/96

例5

解:下頁(yè)2021/5/97

例6

解:首頁(yè)2021/5/98二、準(zhǔn)則II

及第二個(gè)重要極限單調(diào)數(shù)列

如果數(shù)列{xn}滿足條件x1

x2

x3

xn

xn+1

就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加的

如果數(shù)列{x

n}滿足條件x1

x2

x3

xn

xn+1

就稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少的

單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列

下頁(yè)2021/5/99準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

前面曾證明

收斂的數(shù)列一定有界

但有界的數(shù)列不一定收斂

現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明

如果數(shù)列不僅有界

并且是單調(diào)的

那么這個(gè)數(shù)列一定是收斂的

說(shuō)明下頁(yè)2021/5/910

可以證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的,根據(jù)準(zhǔn)則II

數(shù)列{xn}必有極限,

這個(gè)極限我們用e來(lái)表示,

即第二個(gè)重要極限e是個(gè)無(wú)理數(shù)

它的值是e=2

718281828459045

指數(shù)函數(shù)y=ex及對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx

中的底就是常數(shù)e

下頁(yè)2021/5/911第二個(gè)重要極限

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