第02講三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）【知識梳理】一、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點．二、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【考點剖析】題型一、三角形的高例1．如圖，△ABC中AB邊上的高是（）A．線段AD B．線段AC C．線段CD D．線段BC【變式1】小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別為4，9，12，如何求這個三角形的面積?”小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()．【變式2】如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．例2．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，試作出BC邊上的高AE，并求AE的長．例3．如圖，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點O．（1）在△BOC中，OB邊上的高是，OC邊上的高是，BC邊上的高是．（2）在△AOC中，OA邊上的高是，OC邊上的高是，AC邊上的高是．（3）在△AOB中，OA邊上的高是，OB邊上的高是，AB邊上的高是．題型二、三角形的中線例4．BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長的差是．【變式1】已知BD是△ABC的一條中線，△ABD與△BCD的周長分別為21，12，則AB﹣BC的長是．例5.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長．例6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長．題型三、三角形的三條重要線段例7．已知△ABC，如圖，過點A畫△ABC的角平分線AD、中線AE和高線AF．例8．在△ABC中，線段AP，AQ，AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【變式】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④題型四：三角形面積例9．若△ABC中，∠ACB是鈍角，AD是BC邊上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，則△ABC的面積等于．【變式1】如圖所示，在△ABC中，D、E分別為BC、AD的中點，且，則為________．【變式2】如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）猜想：△ABD與△ADC的面積有何關(guān)系？并簡要說明理由；（2）在△BED中作BD邊上的高；（3）若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？題型五：重心例10．（2022秋·湖北恩施·八年級?？茧A段練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點，，，均在格點上，則點是的（

）A．三條內(nèi)角角平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條高的交點 D．無法確定【變式】（2022秋·八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點在小正方形的頂點上，則的重心是點______．（從中選擇）題型六、三角形的穩(wěn)定性例11.如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么?【變式1】如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構(gòu)成的幾個連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【變式2】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·八年級課時練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．三角形的高、中線、角平分線都是線段 B．三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部C．銳角三角形的三條中線一定交于同一點 D．三角形的三條高交于同一點2．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，若是的中線，，則（

）A．12 B．10 C．16 D．83．（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯誤的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣東東莞·八年級校聯(lián)考期中）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是（

）A．三角形的中線 B．三角形的角平分線 C．三角形的高 D．以上答案均正確5．（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）下列四個圖形中，線段是的高的是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級?？计谥校┤切稳龡l（

）的交點叫做三角形的重心A．高 B．角平分線 C．外角角平分線 D．中線7．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E是的中點，連結(jié)，．若的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6二、填空題8．（2023秋·湖南株洲·八年級?？计谀┤鐖D，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為___．9．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，是的_________邊上的高；在中，是_________上的高，還是_________的高；是_________的_________邊上的高．10．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，，分別是的高和中線，已知，，則的面積為_____________．11．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊的中點，且面積等于，則的面積等于______．12．（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，G是上的一點，且，連接，若的面積為6，則圖中陰影部分的面積是__________．13．（2023秋·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為____．14．（2023秋·湖南郴州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，已知點分別為的中點，若的面積為，則陰影部分的面積為_______15．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，則△ABD的面積為_____________．三、解答題16．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的兩條中線、相交于點O，已知的面積為14，的面積為3，求四邊形的面積．17．（2023秋·八年級課時練習(xí)）在銳角中，，，、分別是的邊、上的高，且，求的長．18．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知分別是的高和中線，，，求：(1)的面積；(2)的長；(3)和的周長的差．19．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，線段的交點稱作格點，請按下列要求作圖并填空(1)畫出中，邊上的高；(2)畫出中，邊上的高；(3)直接寫出的面積是______.20．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知．(1)畫出的中線和角平分線；(2)畫出的高，．21．（2023秋·八年級單元測試）在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為個單位長度，的三個頂點的位置