高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市禹城市綜合高中2024屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合或，集合，所以，則，故選：.2.如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：因?yàn)?所以故選：3.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則是為單調(diào)遞增數(shù)列的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若,則,則為單調(diào)遞減數(shù)列所以是為單調(diào)遞增數(shù)列的不充分條件若為單調(diào)遞增數(shù)列,則,則即或,所以故是為單調(diào)遞增數(shù)列的不必要條件故是為單調(diào)遞增數(shù)列既不充分也不必要條件故選：D.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意易知，，而在上的投影向量為：.故選：B.5.八卦是中國(guó)古老文化的深?yuàn)W概念，如圖示意太極八卦圖．現(xiàn)將一副八卦簡(jiǎn)化為正八邊形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，中心為O，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A. B.C.和是一對(duì)相反向量 D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A中，由正八邊形中，可得，則，所以，即，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由正八邊形中，可得，，則，所以B正確；對(duì)于C中，由和方向相反，但長(zhǎng)度不等，因此不是一對(duì)相反向量，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，所以D正確.故選：C.6.阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專(zhuān)業(yè)工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱(chēng)為“鎮(zhèn)樓神器”，由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移s（單位；cm）和時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離是5，且過(guò)點(diǎn)，則和的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，由振幅是2易知，故，則是的最高點(diǎn)，不妨記相鄰的最低點(diǎn)為，連接，過(guò)作軸，過(guò)作，交點(diǎn)為，如圖，則，，，故，得，又因?yàn)?，故，得，所以，因?yàn)槭堑狞c(diǎn)，故，得，即，因?yàn)?，所以，故?故選：A..7.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，因?yàn)?，所以，則是的一個(gè)周期，因?yàn)?，所以，?故選：C.8.已知，是方程的兩根，且，，則的值為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗由題知，，是方程的兩根，所以，即，因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)椋?，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)則（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.直線是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到〖答案〗BC〖解析〗可化為，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；當(dāng)時(shí)，，所以直線是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，C正確；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知定義在上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.有2個(gè)零點(diǎn)C.在上為減函數(shù)D.不等式的解集是〖答案〗AD〖解析〗在中，令，得，故A正確；又為上的奇函數(shù)，，，∴至少有三個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；設(shè)x1，，且，則，，，∴在上是增函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤：由題意，畫(huà)出的圖象如圖，等價(jià)于或，由圖可知不等式的解集為,故D正確.故選:AD.11.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若在方向上的投影向量為，則的最小值為C.若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，則D.若，則為定值18〖答案〗ACD〖解析〗如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，對(duì)A選項(xiàng)，∵，∴，∴，又E為中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，∵在方向上的投影向量為，∴，又Q是AC的中點(diǎn)，P在BC上，∴當(dāng)時(shí)，PQ最小，此時(shí)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，即P與E點(diǎn)重合，∵，∴，∴，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，∵，∴的平分線與BC垂直，∴是以BC為底邊的等腰三角形，∴，又由A選項(xiàng)分析知，∴根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知，∴，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．12.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為C.存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，則，其中，當(dāng)時(shí)，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，則為極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)無(wú)最小值，故不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，所以，故D正確；故選：AD三.填空題13.已知向量，則與夾角的大小為_(kāi)____________．〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故〖答案〗為：.14.已知，若，，則=．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因?yàn)?，所以，?5.已知函數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗由已知，，則所以，，所以，.故〖答案〗為：.16.已知，，則______.〖答案〗〖解析〗由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及已知條件可知：，當(dāng)，此時(shí)，不合題意；當(dāng)，符合題意；所以.故〖答案〗為：.四.解答題17.如圖，平行四邊形的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)M，E在BC上，且，直線DE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，記，．（1）試用，表示、；（2）試用，表示．解：（1）平行四邊形的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)M，，.（2）點(diǎn)E在BC上，且，，則，于是，即，，所以18.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若AD平分并交BC于D，且，，求的面積．解：（1）因，則，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，則，而，顯然有，即，則，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面積.19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.（1）解：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即，由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，所以；（2）解：，則，因?yàn)楹愠闪?，所以，所以的最小?20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以；（2），，，兩式相減得，所以.21.已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求的最小值.解：（1）由題意知：定義域?yàn)?，；令，則有兩個(gè)不等正根，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知：，是的兩根，則；；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，即的最小值為.22.設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性;（2）若，求證：．（1）解：由題，①當(dāng)時(shí)，，令則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令則，：當(dāng)，即時(shí)，在當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增