關(guān)于有限群論中的群群

在本手冊中，組是有限組，是素食者的集合是素食者的集合，當(dāng)n的正整數(shù)為時，表示m是g的大組，用m=g表示m是g的大組，用rg：m=；g：m，用rg：ng表示n是團隊g的正式組，而ng表示n是g的特征組。文本中的其他未提及的句子和符號是標準的。Frattini子群是有限群論中的一個重要子群,關(guān)于它的推廣是引起眾多作者興趣的課題,這方面的研究已有豐富的結(jié)果,文討論了如下的推廣子群:設(shè)p是一給定素數(shù),定義Φp(G)=∩{M|M<·G且|G:M|p=1};若G無極大子群M使|G:M|p=1,則令Φp(G)=G.S(G)=∩{M|M<·G,|G:M|p=1且|G:M|是合數(shù)};若G無極大子群M使|G:M|p=1且|G:M|是合數(shù),則令S(G)=G.本文引進上述子群的推廣.首先,我們規(guī)定:F0={Μ|Μ＜?G,|G:Μ|為π-數(shù)}?F1={Μ|Μ∈F0,且|G:Μ|∈π}?F2={Μ|Μ∈F0,且|G:Μ|?π}.定義1若F0≠《,令Φ0(G)=∩{M|M∈F0},若F0=《,令Φ0(G)=G;若F1≠《,則令Φ1(G)=∩{M|M∈F1},若F1=《,令Φ1(G)=G;若F2≠《,令Φ2(G)=∩{M|M∈F2},若F2=《,令Φ2(G)=G.由定義1容易看到Φp(G)即π=p′的Φ0(G),S(G)即π=p′的Φ2(G).另外,顯然有(1)Φi(G)??G,i=0,1,2;Φ(G)≤Φ0(G)=Φ1(G)∩Φ2(G).(2)文中給出了G是p-超可解群的定義:令p是一個素數(shù),如果群G的主因子或為p階循環(huán)群或為p′-群,而群G是π-超可解群的充要條件為G是p-超可解群,?p∈π.于是由定義1即得:G是π-超可解群的充要條件為G是π-可解群并且Φ2(G)=G.以下4個引理本文需要反復(fù)引用:引理1(文中定理7中的(i))設(shè)π=p′,p為給定素數(shù),則Φ0(G)可解.引理2(文中定理8中的(ii))設(shè)p為給定素數(shù),π=p′且G是π′-可解群,則Φ2(G)可解.引理3若K?G,則(1)Φ0(G)K/K≤Φ0(G/K),且當(dāng)K≤Φ0(G)時,Φ0(G)/K=Φ0(G/K);(2)Φ1(G)K/K≤Φ1(G/K),且當(dāng)K≤Φ1(G)時,Φ1(G)/K=Φ1(G/K);(3)Φ2(G)K/K≤Φ2(G/K),且當(dāng)K≤Φ2(G)時,Φ2(G)/K=Φ2(G/K).引理3可如Frattini子群的相應(yīng)結(jié)果類似地證明,略去.引理4(文中定理1.7)設(shè)π=p′且G是p-可解的,則Φ2(Φ2(G))=Φ2(G).注1Φi(G),i=0,1,2都可以不是可解群.例如令G為168階單群,π={3},則Φ0(G)=G;令π={2,3},則Φ1(G)=G;令π={3,7},Φ2(G)=G.下面我們先討論它們可解的條件及它們的一些重要性質(zhì).定理1設(shè)G是π′-可解群,則Φ0(G)可解.證明對群階用歸納法.不妨設(shè)Φ0(G)≠1,且N是G的含于Φ0(G)的一個極小正規(guī)子群.由于G/N也是π′-可解群,故由引理3和歸納假設(shè)知Φ0(G)/N=Φ0(G/N)可解.若W是G的含于Φ0(G)的另一個極小正規(guī)子群,則同理可得Φ0(G)/W也可解.于是Φ0(G)=Φ0(G)/(N∩W)ue0acΦ0(G)/N×Φ0(G)/W可解.進一步,設(shè)B是G的另一個極小正規(guī)子群且Bue02aΦ0(G),設(shè)K/B=Φ0(G/B),于是由歸納假設(shè)知K/B可解,由引理3知Φ0(G)B/B≤K/B.由B的極小性有Φ0(G)∩B=1,故Φ0(G)=Φ0(G)∩B可解.所以可設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群.因Φ0(G/N)=Φ0(G)/N,由歸納假設(shè)知Φ0(G)/N可解.又因G為π′-可解群,故N或為π-群,或為初等Abelp-群,p∈π′.若N為初等Abelp-群,p′∈π,則結(jié)論成立.故可設(shè)N是π-群.若Nue02aΦ(G),則存在M<·G,使Nue02aM,故G=MN,而|G:M|π′=|MN:M|π′=|N:M∩N|π′=1,于是M∈F0,故由定義1知Φ0(G)≤M,進而N≤M,從而G=M,矛盾.所以N≤Φ(G),于是由Φ(G)的冪零性知N可解.綜上知Φ0(G)是可解群.定理2設(shè)G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,則Φ2(G)可解.證明對群階用歸納法.可設(shè)Φ2(G)≠1且N是G的含在Φ2(G)的極小正規(guī)子群.若G/N為π-群,則由G為π′-可解知N為p-群,π′={p},從而π=p′,于是由引理2知Φ2(G)可解.故可設(shè)π′∩π(G/N)≠《,于是由引理3和歸納假設(shè)知Φ2(G)/N=Φ2(G/N)可解.以下同定理1的證明一樣可設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群.因G是π′-可解群,故N是π-群或p-群,p∈π′.若N是p-群,則Φ2(G)可解.故可設(shè)N是π-群.若N含在G的每個極大子群M∈F0內(nèi),則N≤Φ0(G),由定理1知N可解.故可設(shè)有M∈F0使Nue02aM,則G=MN,而且|G:M|∈π.設(shè)|G:M|=r,素數(shù)r∈π,考慮G在M的陪集表示,則|G||r!,由此得r=maxπ(G).對G的任意滿足|G:K|r=1的極大子群K,若Nue02aK,則G=KN.因N是π-群,有|G:K|π′=|N:K∩N|π′=1,且如果|G:K|為合數(shù),則N≤K矛盾.故|G:K|=s為一素數(shù),因|G:K|r=1,故有s≠r.又用G在K上的陪集表示知|G||s!又得s=maxπ(G),此與r=maxπ(G)矛盾,故N≤K,由引理1知N可解.綜上Φ2(G)是可解群.定理3設(shè)Φ2(G)=G.若G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,則Φ1(G)可解.證明對群階用歸納法.不妨設(shè)Φ1(G)≠1且N為G的含在Φ1(G)的極小正規(guī)子群.若G/N為π-群,則由G為π′-可解知N為初等Abelp-群,p∈π′,于是π∩π(G)?p′.因為Φ2(G)=G,故Φ1(G)=Φ0(G).由定理1知Φ1(G)=Φ0(G)可解.故可設(shè)π′∩π(G/N)≠《,于是由引理3和歸納假設(shè)知Φ1(G/N)=Φ1(G)/N可解.以下同定理1的證明一樣可設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群且N≤Φ1(G).同上定理2一樣可知或者Φ1(G)可解或者Φ1(G)/N可解.不妨設(shè)Φ1(G)/N可解,由Gπ′-可解知或者N為初等Abelp-群,p∈π′,或者N為π-群.若N為p-群,則Φ1(G)已是可解群.故可設(shè)N為π-群.若有M<·G使Nue02aM,則G=MN,且|G:M|=|N:M∩N|為π-數(shù).由Φ2(G)=G有|G:M|∈π,因此M∈F1,從而N≤Φ1(G)≤M,于是G=M矛盾.所以Φ1(G)≤M,?M<·G,因此Φ1(G)=Φ(G)為冪零群,故Φ1(G)可解.定理4若Φ0(G)是一個π-群,則Φ0(G)=Φ(G),并且G的Sylowp-子群是初等Abelp-群,?p∈π′∩π(G).證明設(shè)有M<·G使Φ0(G)ue02aM,則G=MΦ0(G).由于Φ0(G)是π-群,則|G:Μ|π′=|ΜΦ0(G):Μ|π′=|Φ0(G):Μ∩Φ0(G)|π′=1,于是M∈F0,故Φ0(G)≤M.矛盾.因此Φ0(G)含于G的每個極大子群中,故Φ0(G)=Φ(G),定理的后一結(jié)論由此即得.定理5Z(G)≤Φ2(G),因而Z∞(G)≤Φ2(G).證明若F2=《,則Φ2(G)=G,結(jié)論顯然成立.設(shè)F2≠《,令M∈F2,若Z(G)ue02aM,則G=Z(G)M,顯然M?G,從而|G:M|為素數(shù),矛盾.故Z(G)≤M,從而Z(G)≤Φ2(G).若Z(G)=1,則Z∞(G)=1≤Φ2(G).若Z(G)≠1,令ˉG=G/Ζ(G),由群階歸納可得Φ2(ˉG)≥Ζ∞(ˉG),但Φ2(ˉG)=Φ2(G)/Ζ(G),Ζ∞(ˉG)=Ζ∞(G)/Ζ(G),故Z∞(G)≤Φ2(G).下面我們再利用Φ2(G)給出有限群的幾個結(jié)構(gòu)定理.定理6若G是使Φ2(G)非可解的極小階群,Φ1(G)可解.則Φ1(G)=1,并且G有唯一極小正規(guī)子群N及一個無核極大子群M,使:(1)G=MN,|G:M|=maxπ(G)=maxπ(Φ2(G))∈π;(2)N是非Abel單群,N≤Φ2(G).證明由于Φ2(G)不可解,故Φ2(G)≠1,可設(shè)N是G的含于Φ2(G)的極小正規(guī)子群.由引理3和G的極小性知Φ2(G)/N=Φ2(G/N)可解.同定理1一樣地可設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群.因Φ1(G)可解,若N≤Φ1(G),則N可解,從而Φ2(G)可解,矛盾.故Nue02aΦ1(G).于是由N的唯一極小性知Φ1(G)=1且有M∈F1使Nue02aM.再由N的唯一極小性知∩x∈GΜx=1,即M是無核群,且G=MN,|G:M|=r∈π.用G在M陪集上的轉(zhuǎn)置表示知|G||r!,故r=maxπ(G).因G=MN,|G:M|=|N:M∩N|=r,從而r||Ν|,而N≤Φ2(G),所以r=maxπ(Φ2(G)).再由N為G的極小正規(guī)子群知N是非Abel特征單群,又|N:M∩N|=r為素數(shù),故N為非Abel單群.注2滿足定理6的群G可以是非Abel單群.例如令G=A5,π={3,5},則N=Φ2(G)=A5,Φ1(G)=1滿足定理6條件.定理7設(shè)G是使Φ2(G)非超可解的極小階群,若G是π′-可解群,則或者(1)定理6的結(jié)論成立;或者有(2)G=Φ2(G)=NT,N是G的超可解剩余,也是G的唯一極小正規(guī)子群,|N|=ps,p∈π′,s>1;T是G的超可解投射子.證明因Φ2(G)不是超可解的,故Φ2(G)≠1.設(shè)N是G的含在Φ2(G)的極小正規(guī)子群,則如定理1一樣可知N是G的唯一極小正規(guī)子群,因為G是π′-可解群,故N或者是初等Abelp-群,p∈π′,或者N是π-群.(1)若N是π-群,設(shè)K是G的任一極大子群,若Nue02aK,則|G:M|=|NK:K|=|N:N∩K|,故K∈F0,再由N≤Φ2(G)知Φ2(G)ue02aK,于是K∈F1,即有|G:K|∈π.若N可解,則N為初等Abelq-群,q∈π,于是N∩K?N,又N∩K?K,故N∩K?G,又由N的極小性知N∩K=1,所以有|N|=|G:M|=q,即N為循環(huán)群.再由引理3得Φ2(G/N)=Φ2(G)/N是超可解的,故Φ2(G)超可解.此與G是使Φ2(G)非超可解的群矛盾,所以N不可解.設(shè)N不可解,則N是非Abel單群.因Gπ′-可解,故由定理1知Φ0(G)=Φ1(G)∩Φ2(G)可解,所以Nue02aΦ1(G),由此知Φ1(G)=1.用定理6的類似證法可以證明此時定理6的結(jié)論在G中成立.(2)若N是初等Abelp-群,p∈π′,由Φ2(G)非超可解知|N|=ps,s>1.令SF是Φ2(G)的超可解剩余,則SF??Φ2(G).又由G是使Φ2(G)非超可解的極小階群,故Φ2(G/N)=Φ2(G)/N是超可解的,N是G的唯一極小正規(guī)子群,故SF=N.再因N是一個初等Abelp-群,由文中的定理有Φ2(G)=NT,T是Φ2(G)的超可解投射子,且N∩T=1.設(shè)X是使|Φ2(G):X|p=1的Φ2(G)的極大子群,顯然N≤X,否則Φ2(G)=XN,從而|Φ2(G):X|p=|N|≠1,矛盾.因為|Τ:Τ∩X|p=|ΤX:X|p=|Φ2(G):X|p=1,所以X=N(T∩X)且T∩X包含T的一個Sylowp-子群.若T∩X不是T的極大子群,則存在H<·T,使T∩X<H<·T,進而X=N(T∩X)<NH<Φ2(G),此矛盾于X<·Φ2(G),故T∩X<·T.因T是超可解的,其極大子群的指數(shù)為素數(shù),所以|Φ2(G):X|=|NT:X|=|XT:X|=|T:T∩X|為素數(shù).再根據(jù)Φ2(G)的定義知Φ2(Φ2(G))=Φ2(G),因此若Φ2(G)≠G,則由G的極小性知Φ2(G)超可解,矛盾,所以有G=Φ2(G)=NT,N∩T=1.定理8設(shè)G是使Φ2(G)非超可解的極小階群,若G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,則G=Φ2(G)=NT,N是G的超可解剩余,也是G的唯一極小正規(guī)子群,|N|=ps,p∈π′,s>1;T是G的超可解投射子.證明如定理7一樣,可證明G有唯一的極小正規(guī)子群N且N≤Φ2(G).因為G是π′-可解群,其中π′∩π(G)≠《,由定理2知Φ2(G)可解,故N是初等Abelp-群.(1)若p∈π,則可如定理7的證明一樣地導(dǎo)出矛盾.(2)若p∈π′,則可如定理7一樣地證明定理8的結(jié)論成立.定理9設(shè)G是π′-可解群,π′∩π(G)≠《,則Φ2(G)是π-超可解群,因此Φ2(Φ2(G))=Φ2(G).證明對群階用歸納法證明Φ2(G)是π-超可解的.不妨設(shè)N是含在Φ2(G)中的極小正規(guī)子群,由定理2知Φ2(G)可解,故N是初等Abelp-群.若π′∩π(G/N)=《,則π′∩π(G)={p},于是由引理4知Φ2