2023-2024學年四川省成都市高三三診模擬數(shù)學（理）試題一、單選題（每小題僅有一個正確選項，選對得5分，共60分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)值域可得，易知，即可求得.【詳解】由函數(shù)的值域為可知，或所以；由可得；所以可得.故選：B2.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1【正確答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)出復數(shù)，結(jié)合復數(shù)運算的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)，，因為，所以，，所以，又，所以，解得，所以故選：C.3.如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（）A.， B.， C.， D.，【正確答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個點的值，則去除，這兩個數(shù)據(jù)后，整體波動性減小，故.故選：D.4.已知單位向量，滿足，若向量，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算以及夾角的余弦公式，可得答案.詳解】由單位向量，則，即，，.故選：B.5.世界數(shù)學三大猜想：“費馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”．281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國數(shù)學家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和．在不超過17的質(zhì)數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出基本事件總數(shù)，再求出和為奇數(shù)事件所包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】不超過17的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，共7個，隨機選取兩個不同的數(shù)，基本事件總數(shù)，其和為奇數(shù)包含的基本事件有：，共6個，所以.故選：B6.函數(shù)在上的圖像大致為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由奇偶性排除兩個選項，再取特值即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為，而，且，即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點不對稱，排除選項CD；而當時，，排除選項A，選項B符合要求.故選：B7.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（）A. B.1 C. D.4【正確答案】C【分析】首先在正方體中還原幾何體，然后利用錐體的體積公式計算其體積即可.【詳解】如圖所示，題中三視圖對應的幾何體為圖中棱長為2的正方體中的三棱錐，其體積.故選：C.8.將函數(shù)圖像上各點橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位得到曲線C．若曲線C的圖像關(guān)于軸對稱，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先根據(jù)圖像變化得到曲線C為：，由圖像關(guān)于軸對稱得，進而可求得答案.【詳解】由題意得變化后的曲線C為：，曲線C的圖像關(guān)于軸對稱，故，又，即當，故選：B.9.兩千多年前，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面，平面截圓錐側(cè)面所得曲線記為C，則曲線C所在雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，得到點的坐標，從而得到雙曲線方程，然后結(jié)合離心率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)平面，平面與圓錐側(cè)面的交線為，過垂直于的母線與曲線交于，不妨延長至，使.過垂直于的截面交曲線為，設(shè)在平面內(nèi)的投影為點，以為原點，投影為軸建立平面直角坐標系，易知點為雙曲線頂點.設(shè)，則可求點坐標為，代入方程：，知，故雙曲線離心率為，故選:.10.函數(shù)，定義域為，有唯一極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由已知，根據(jù)題意，分別從，和三種情況借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并判斷是否滿足題意，然后對應列式求解即可.【詳解】由已知，，所以，當時，因為，所以，所以，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；，所以，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；當時，要使得有唯一極值點，即滿足，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：A.11.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A12.已知數(shù)列，，，，，，是數(shù)列的前項和，則（）A.656 B.660 C.672 D.674【正確答案】D【分析】由題意，利用窮舉法，一一列舉尋找規(guī)律，利用周期思想可得答案.【詳解】由題意知數(shù)列是一個周期為的數(shù)列.窮舉法找規(guī)律，易發(fā)現(xiàn)從第項開始，每項重復出現(xiàn)，故只需要分段計算即可.，共個分段，每段的和為，，，，，所以，故.故選：D.二、填空題（每小題5分，共20分）13.若，滿足，則的最小值是________．【正確答案】1【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標函數(shù)的幾何意義計算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影區(qū)域，其中點，，令，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線：，平移直線到直線，當直線過點A時，直線的縱截距最小，最小，，所以的最小值是1.故114.已知，則的展開式中項的系數(shù)為_________.【正確答案】80【分析】根據(jù)微積分基本定理求出，再利用二項展開式通項即可得到答案.【詳解】，故,根據(jù)二項展開式通項為，令，求得，可得展開式中的系數(shù)為，故80.15.過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，設(shè)拋物線的準線與軸的交點為，當時，___________.【正確答案】8【分析】令過焦點直線為并聯(lián)立拋物線，應用韋達定理得且，根據(jù)求得，根據(jù)拋物線定義求.【詳解】令過焦點直線為，代入得：，所以，則，由，則，所以，即，由拋物線定義知.故816.已知函數(shù)，定義域均為，且，，，，則_______.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)值的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】由，得，所以.將代入，并整理得，所以，所以是以為周期的周期函數(shù).由可知，也是以為周期的周期函數(shù)，所以.由得，又因為，所以，解得，所以.所以.故答案為.關(guān)鍵點睛：解決此題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)，的周期，利用函數(shù)的周期性即可.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（一）必考題，第17～21題為必做題，每個試題考生都必須作答，共60分.17.在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求的值；（2）若，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）依題意可得，即可得到，利用正弦定理將邊化角，即可得到，再由平方關(guān)系計算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及（1）的結(jié)論得到，從而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，從而得解.【小問1詳解】由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負值舍去）.【小問2詳解】由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.18.某農(nóng)科所對冬季大棚內(nèi)的晝夜溫差與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率之間的關(guān)系進行分析研究，記錄了2023年1月1日至1月12日大棚內(nèi)的晝夜溫差與每天每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日溫差/℃101113128109111310129發(fā)芽數(shù)/顆212428281522172230182718；；；已知發(fā)芽數(shù)與溫差之間線性相關(guān)，該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這12組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的10組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天的數(shù)據(jù)的概率；（2）若選取的是1日與6日的兩組數(shù)據(jù)，試根據(jù)除這兩日之外的其他數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（精確到1）（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選取的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為求得的線性回歸方程是可靠的，試問：（2）中所得的線性回歸方程是否可靠.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【正確答案】（1）（2）（3）是可靠的【分析】（1）利用組合及組合數(shù)公式，結(jié)合古典概型的概率的計算公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件及參考數(shù)據(jù)，求出，進而即可求出回歸方程；（3）利用（2）的回歸方程求出時的預報值，結(jié)合已知條件即可求解.【小問1詳解】從組數(shù)據(jù)中任選組，選法數(shù)為;選取的組數(shù)據(jù)恰好是相鄰的天，選法數(shù)為；所以所求概率為.【小問2詳解】設(shè)剩下的組數(shù)據(jù)分別為.;，；，；所以所以.所以所求回歸方程為.【小問3詳解】當時，.因為，所以根據(jù)所給的研究方案，可以判斷（2）中所得的線性回歸方程是可靠的.19.如圖，在四邊形ABCP中，△ABC為邊長為的正三角形，CP＝CA，將△ACP沿AC翻折，使點P到達的位置，若平面平面ABC，且．（1）求線段的長；（2）設(shè)M在線段上，且滿足，求二面角的余弦值．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）取BC中點O，連接，，根據(jù)題意得到，結(jié)合題意，利用線面垂直的判定得到平面，進而得到，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進而得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】取BC中點O，連接，，因為△ABC為等邊三角形，O為BC的中點，則，又，，平面，∴平面，∴．所以，即為等邊三角形，所以，又平面平面，，所以平面，所以，又，所以．【小問2詳解】因為平面，，以點O為坐標原點，、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由已知可得．綜上，二面角的余弦值為．20.已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設(shè)直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得到橢圓的下頂點為和橢圓過點求解；（2）設(shè)點坐標為，當直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立，由，結(jié)合韋達定理求解；當直線斜率不存在時驗證即可.【小問1詳解】解：由題意，橢圓的下頂點為，故.由對稱性，橢圓過點，代入橢圓方程有，解得.故橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)點坐標為.當直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：.設(shè)，則.，，，為定值，即與無關(guān)，則，此時.經(jīng)檢驗，當直線斜率不存在時也滿足，故點坐標.21已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，，證明：．【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導，分，和討論導函數(shù)的正負，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)（），利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解即可；（3）結(jié)合前面的解析，取時，則，利用不等式的放縮即可證明.【小問1詳解】由題意可知的定義域為，令，則，①當時，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減．②當時，，時，，時，，時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．③當時，，時，，時，，時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．【小問2詳解】當時，恒成立，故，所以，即，由得，令（），則，令，則，在單調(diào)遞增，則，即在恒成立，故在單調(diào)遞增．所以，故在恒成立．由在單調(diào)遞增，而，，故．【小問3詳解】取時，，則，所以，因此，則.利用導數(shù)證明不等式的基本步驟：1.作差或變形；2.構(gòu)造新的函數(shù)；3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值；4.根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.并用鉛筆在答題卡選考題區(qū)域內(nèi)把所選的題號涂黑.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系xOy中，圓的方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），已知圓與曲線相切，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求圓的半徑r和曲線的極坐標方程；（2）已知在極坐標系中，圓與極軸交點為D，射線與曲線、分別相交于點A、B（異于極點），求面積的最大值．【正確答案】（1）3，極坐標方程為（2）【分析】（1）消去參數(shù)，求出曲線的普通方程，確定其圓心與半徑，結(jié)合圓的圓心，確定兩圓內(nèi)切，求出圓的半徑；（2）在極坐標下求出弦長AB，進而求出點D到直線AB的距離為，表達出面積，利用基本不等式求出最大值.【小問1詳解】由曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)）得：，故曲線是