金屬礦床露天開采第一章品位與儲量計算第一節(jié)概述投資一個礦床開采工程，首先必須估算其品位和儲量。一個礦床的礦量、品位及其空間分布是對礦床進行技術(shù)經(jīng)濟評價、可行性研究、礦山規(guī)劃設(shè)計以及開采方案優(yōu)化的根底，是礦山投資決策的重要依據(jù)。因此，品位估算、礦體圈定和儲量計算是一項影響深遠(yuǎn)的工作，其質(zhì)量直接影響到投資決策的正確性和礦山規(guī)劃及開采方案的優(yōu)劣。從一個市場經(jīng)濟條件下的礦業(yè)投資者的角度看，這一工作做不好可能導(dǎo)致兩種對投資者不利的決策：(1)礦體圈定與品位、礦量估算結(jié)果比實際情況樂觀，估計的礦床開采價值在較大程度上高于實際可能實現(xiàn)的最高價值，致使投資者投資于利潤遠(yuǎn)低于期望值，甚至帶來嚴(yán)重虧損的工程。(2)與第一種情況相反，礦床的礦量與品位的估算值在較大程度上低于實際值，使投資者錯誤地認(rèn)為在現(xiàn)有技術(shù)經(jīng)濟條件下，礦床的開采不能帶來可以接受的最低利潤，從而放棄了一個好的投資時機。然而，準(zhǔn)確地估算出一個礦床的礦量、品位絕非易事。大局部礦體被深深地埋于地下，即使有露頭，也只能提供靠近地表的局部信息。進行礦體圈定和礦量、品位估算的數(shù)據(jù)主要來源于極其有限的鉆孔巖心取樣。數(shù)據(jù)量相對于被估算的量往往是一比幾十萬乃至幾百萬的關(guān)系，即對一噸巖心進行取樣化驗的結(jié)果，可能要用來推算幾十萬乃至幾百萬噸的礦量及其品位?？梢圆贿^分地說，礦量、品位的估算是世界上最大膽的外推。因此，礦體圈定與礦量、品位估算不僅是一項十分重要的工作，而且是一項極具挑戰(zhàn)性的工作。做好這一工作要求掌握現(xiàn)代理論知識與手段，并應(yīng)用它們對有限的數(shù)據(jù)進行各種詳細(xì)、深入的定量、定性分析；同時也要求從事這一工作的地質(zhì)與采礦工程師具有科學(xué)的態(tài)度和求實精神。本章將較詳細(xì)地介紹當(dāng)今世界上常用的礦量、品位估算方法，包括探礦數(shù)據(jù)的分析、處理和用于品位估值的剖面法、平面法及礦床模型法等。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)作為品位估值的一種方法，從其誕生起就顯示了強大的生命力，得到了越來越廣泛的應(yīng)用，本章對此給予較大的篇幅。本章的主要目的不是教會讀者如何一步一步地應(yīng)用所介紹的方法，對一個礦床進行礦量、品位估算，而是使讀者了解這些方法的內(nèi)涵，為讀者提供在不同條件下應(yīng)用最合理的分析、評價方法所需的知識根底。第二節(jié)探礦數(shù)據(jù)及其預(yù)處理一、鉆孔取樣用于礦體圈定與礦量、品位估算的數(shù)據(jù)主要來源于探礦鉆孔的巖心表1－1鉆孔巖芯信息記錄鉆孔號：zk10；孔口坐標(biāo)：6086.21E，6821.68N，205.01；設(shè)計深度：135M；實際深度：143.26M；開孔方位角：開孔傾角：90o；開孔日期：1994年10換層深度每層提取每層巖芯巖石礦石描述自(M)至(M)共計(M)巖芯長度(M)采取率(%)0.0013.9313.93表土層13.9330.6916.761.69.5云母石英巖：黃綠色，片狀結(jié)構(gòu)，主要組成礦物為石英(約25～30％)，云母(約４０％)和角閃石〔約２５％〕，其次有些磁鐵礦。30.6943.0312.349.778.61陽起磁鐵石英巖：鋼灰色～灰白色，細(xì)粒結(jié)構(gòu)，主要組成礦物為石英(約４０～４５％)，磁鐵石(約３０～３５％)，陽起石(約１５～２０％)。：：：::：：：：：：：取樣。鉆孔一般按照一定的網(wǎng)度布置在一些叫做勘探線的直線上〔圖1-1〕。在鉆孔過程中，每鉆一定深度〔一般在3米左右〕將巖心取出，做好標(biāo)記后按順序放在箱中供搬運、貯存和化驗。地質(zhì)人員對取出的巖心進行定性觀察和簡單的測試，以確定每一段巖心的主要物理特性，如巖心長度、巖性、顏色、硬度等，并記錄下來，形成對鉆孔穿過地段的地質(zhì)特性的定性描述。表1-1是一個鉆孔的巖心觀測結(jié)果的局部記錄表。為直觀起見，常常把表中的數(shù)據(jù)和文字描述繪成鉆孔柱狀圖〔圖1-2〕。為了確定巖心的化學(xué)成分和品位，將巖心的一半送往化驗室進行化驗，另一半保存下來備用。樣品的化驗結(jié)果記錄在如表1-2所示的表中，或輸入計算機的數(shù)據(jù)庫中。手工記錄時常將表1-1和表1-2合并為一個表，稱為鉆孔地質(zhì)資料記錄表。對所有鉆孔的定性描述和取樣化驗結(jié)果構(gòu)成了勘探區(qū)域的根本地質(zhì)數(shù)據(jù)，這些取樣化驗數(shù)據(jù)是進行礦體圈定和礦量、品位估算的依據(jù)。在礦量和品位計算前，一般需要對取樣數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，包括樣品組合處理和“表1-2鉆孔巖芯取樣化驗結(jié)果記錄鉆孔號：zk10；孔口坐標(biāo)：6086.21E，6821.68N，205.01；設(shè)計深度：135M；實際深度：143.26M；開孔方位角：開孔傾角：90o；開孔日期：1994年10試樣號采樣間隔化學(xué)分析結(jié)果(%)備注自(M)至(M)共計(M)TFeFeSFe108330.6933.693.0029.8016.6022.50108433.6936.693.0032.2015.6025.10108536.6939.693.0032.9516.0028.00108639.6943.033.3426.4014.0021.00：::::::：::::::二、樣品組合處理樣品組合處理就是將幾個相鄰樣品組合成為一個組合樣品，并求出組合樣品的品位。當(dāng)?shù)V巖界限清楚，且在礦石段內(nèi)垂直方向上品位變化不大時，常常將礦石段內(nèi)〔即上下礦巖界限之間〕的樣品組合成一個組合樣品〔圖13－3〕，這種組合稱為礦段組合。組合樣品的品位是組合段內(nèi)各樣品品位的加權(quán)平均值，即 (1-1)式中，li為第i個樣品的長度；gi為第i個樣品的品位；n為礦石段內(nèi)樣品個數(shù)。式1-1中用的是長度加權(quán)，是最常用的方法。如果不同樣品的比重相差較大，可以采用重量加權(quán)法。對于擬用露天開采的礦床，更具實際意義的樣品組合處理是臺階樣品組合，即把一個臺階高度內(nèi)的樣品組合成一個組合樣品〔圖1-4〕。組合樣品的品位為： (1-2)式中，H為臺階高度。當(dāng)一個樣品跨越臺階分界線時〔如圖1-4中第一和第五個樣品〕，在計算中樣品的長度取落于本臺階的那局部長度〔即圖1-4中的l1’’和l5’對鉆孔取樣進行臺階樣品組合處理的意義在于：(1)對取樣數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計學(xué)、地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)分析，以及利用取樣值進行品位估值時，只有當(dāng)每個樣品具有相同的支持體，即每個樣品的體積相同時，分析計算結(jié)果才有意義。(2)露天開采在垂直方向上是以臺階為開采單元的，一旦臺階的參考標(biāo)高和臺階高度被確定，沿臺階高度無論品位如何變化，也無法進行選別開采。因此，在一個臺階高度內(nèi)采用不同的取樣品位是毫無意義的。(3)組合樣品的品位較原樣品品位變化小，在一定程度上減輕了“極值〞品位對分析計算的影響，也使樣品的統(tǒng)計分布曲線和半變異函數(shù)曲線〔這些概念將在以后幾節(jié)講述〕趨于規(guī)那么。(4)樣品組合處理減少了樣品總數(shù)，節(jié)省計算機內(nèi)存和計算時間。三、極值樣品(Outlier)處理極值樣品是指那些品位值比絕大多數(shù)樣品的品位〔或樣品平均品位〕高出許多的樣品，它們在貴重金屬礦床較為常見。例如，在一金礦床取樣1000個，經(jīng)化驗，這些樣品的平均品位為10克/噸，其中有十個樣品的品位在100克(1)限值處理：即將極值樣品的品位降至某一上限值。比方在上述例子中，將所有高于100克/噸的樣品的品位降至100克(2)刪除處理：即將極值樣品從樣本空間中刪去，不參與分析計算。使用上述處理方法時應(yīng)非常謹(jǐn)慎。雖然極值樣品在數(shù)量上占樣品總數(shù)的比例很小，但由于其品位很高，對礦石的總體品位和金屬量的奉獻值都很大。因此，不加分析地進行降值或刪除處理會嚴(yán)重歪曲礦床的實際品位和金屬含量，人為地降低礦床的開采價值。這一點可用下面的例子說明。假設(shè)對一金礦床進行鉆探取樣后得知，品位值服從對數(shù)正態(tài)分布〔圖1-5〕。所有樣品的平均品位為=10克/噸，中值為m=3克/噸〔即高于3克/噸和低于3克/噸的樣品各占50％〕；有1％的樣品品位高于100克/噸。假設(shè)將這1％的極值樣品取出，單獨計算其平均值，得190克/噸。那么這1％的樣品對礦床總金屬量的奉獻為〔190×1％〕/=1.9/10=19%。也就是說，百分之一的數(shù)據(jù)量代表的是百分之十九的金屬量！假設(shè)取邊界品位為3克/噸〔高于3克/噸為礦石，否那么為廢石〕，礦石的平均品位〔即高于3克/噸的那局部樣品的平均品位〕經(jīng)計算為16克/噸。如果把極值樣品從樣品空間刪除，礦石的平均品位變?yōu)椤?6×50％－190×1％〕/〔50％－1％〕＝12.45克/噸，也就是說，礦石品位被低估了22％。如果將極值樣品進行限值處理，將其品位值降到100克/噸，礦石的平均品位變?yōu)間/tg/tm=3=101001.0%圖1-5金礦取樣品位對數(shù)正態(tài)分布示意圖在正常、穩(wěn)定的經(jīng)濟環(huán)境中，采礦的利潤率也就是15％左右。因此，不加分析地將極值樣品進行刪除或限值處理，很可能將本來能夠獲取正常利潤的礦床人為地變?yōu)闆]有開采價值，從而導(dǎo)致錯誤的投資決策。這對于一個在市場經(jīng)濟條件下，以盈利為主要目的的礦業(yè)投資者來說，無疑是一個重大的決策失誤。這里必須澄清的是，極值樣品是實實在在存在的有效樣品，并不是指那些由于化驗或數(shù)據(jù)錄入錯誤造成的、具有“錯誤品位值〞的樣品。如果有根據(jù)認(rèn)為某些樣品的品位是錯誤的，將這些樣品從樣本空間中刪除不僅是合理的而且是必要的。對極值樣品的最理想的處理方法是，經(jīng)過對探礦區(qū)域的地質(zhì)構(gòu)造和成礦機理進行深入分析，將這些樣品的發(fā)生區(qū)域〔或構(gòu)造〕劃分出來，在進行品位與礦量的分析計算時，這些樣品只參與其發(fā)生區(qū)域的品位與礦量計算，而不把它們外推到發(fā)生區(qū)域之外。但是在大多數(shù)情況下，由于鉆孔網(wǎng)度大，的地質(zhì)信息滿足不了這種區(qū)域劃分的要求。這時，可以將礦床看成是由兩種不同的礦化作用形成的：樣品中占絕大多數(shù)的“正常樣品〞可以看作是由主體礦化作用產(chǎn)生的樣本空間；極值樣品是由次礦化作用產(chǎn)生的樣本空間。然后利用統(tǒng)計學(xué)方法計算出空間任一點屬于每一類礦化作用的概率，再根據(jù)這些概率計算礦床的品位與礦量。這一方法超出了本書的范疇，有興趣的讀者可參閱Journel(1988)和Parker等人(1979)的論文。第三節(jié)取樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學(xué)分析對取樣數(shù)據(jù)進行上述的預(yù)處理以后，做一些統(tǒng)計學(xué)分析可以提供不少有關(guān)礦床的有用信息。因此統(tǒng)計學(xué)分析常常是取樣數(shù)據(jù)分析的第一步。對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計學(xué)分析的主要目的是確定：(1)品位的統(tǒng)計分布規(guī)律及其特征值；(2)品位變化程度；(3)樣品是否屬于不同的樣本空間；(4)根據(jù)樣品的分布特征，初步估計礦床的平均品位以及對于給定邊界品位的礦量和礦石平均品位。一、取樣品位的統(tǒng)計分布規(guī)律為了確定取樣品位的統(tǒng)計分布規(guī)律，首先將取樣品位值繪成如圖1-6所示的直方圖。圖中橫軸為品位，豎軸為落入每一品位段的樣品數(shù)占樣品總數(shù)的百分比。從直方圖的輪廓線形狀可以看出品位大體上屬于何種分布；從直方圖在橫軸方向的分散程度可看出取樣品位的變化程度。圖1-6給出的是幾種常見的品位分布情況。圖(a)是一品位變化程度中等的正態(tài)分布，這樣的分布在礦體厚大的層狀或塊狀的硫化類礦床〔如銅礦〕中最為常見；圖(b)是一品位變化小的正態(tài)分布，常見于鐵、鎂等礦床；圖(c)是一對數(shù)正態(tài)分布〔即品位的對數(shù)值服從正態(tài)分布〕，品位變化大，此類分布常見于鉬、錫、鎢以及貴重金屬〔如金、鉑〕礦床；圖(d)是一“雙態(tài)〞分布，即分布曲線是由兩個不同分布組成的，說明樣品來源于不同的樣本空間。雙態(tài)分布說明在礦床中很可能存在不同類型的礦石，或在不同區(qū)域呈現(xiàn)不同的成礦特征。如果圖(d)所示的情況出現(xiàn)，就需要對礦床地質(zhì)和成礦機理進行深入分析，盡可能找出對應(yīng)于不同分布的區(qū)域，然后對礦床進行區(qū)域劃分，把來源于每一區(qū)域的樣品進行別離，并做單獨分析計算。30%30%15%050%25%02.01.0%Cu(a)5025%Fe(b)6630%30%15%15%003g/tAu(c)(d)(c)(d)圖圖1-6常見取樣品位分布規(guī)律的直方圖不同類型的礦床，其取樣品位服從不同的統(tǒng)計學(xué)分布規(guī)律，但大多數(shù)礦床的品位服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。下面對這兩種分布的特征值及置信區(qū)間計算作簡要介紹。二、正態(tài)分布檢驗樣品值是否服從正態(tài)分布的一個簡單方法是將樣品的累加發(fā)生頻率〔即小于某一品位的樣品數(shù)占樣品總數(shù)的百分比〕與品位繪在正態(tài)概率紙上〔圖1-7〕。圖中橫坐標(biāo)為累加概率，縱坐標(biāo)為品位。如果數(shù)據(jù)點根本落在一條直線上，那么就可以將樣品的分布看成是正態(tài)分布。正態(tài)分布的特征值有均值μ和方差。μ和的真值是未知的。當(dāng)我們獲得n個樣品，每個樣品的值為xi(i=1,2,……,n)時，μ和的估計值可分別用下面的式子計算。(1-3)(1-4)或(1-5)S2的平方根S是樣本空間均方差σ的估計值。從統(tǒng)計學(xué)理論可知，一個正態(tài)樣本空間的均值μ的估計量也服從正態(tài)分布，其均值為μ，方差為(1-6)累積發(fā)生頻率〔概率座標(biāo)〕累積發(fā)生頻率〔概率座標(biāo)〕圖圖1-7正態(tài)分布概率圖圖1-7正態(tài)分布概率圖設(shè)均值μ小于的概率為p，大于-p的概率也為p，那么μ落在與-p之間的概率為1-2p〔圖1-8〕。我們稱[，-p]為均值在置信度為1-2p時的置信區(qū)間。當(dāng)樣品數(shù)n>25時，均值的68％和95％〔即p為16％和2.5％〕置信區(qū)間可用下面的式子計算1-2p1-2pppp圖1-8置信區(qū)間示意圖 68％置信區(qū)間： (1-7)95％置信區(qū)間： (1-8)當(dāng)n<25時，計算任意置信度的置信區(qū)間的一般公式如下： (1-9)式中t1-p是學(xué)生分布〔也稱為t分布〕表中自由度為n-1時，t<t1-p的概率為1-p的t值。t分布表見附表1-1。例如，當(dāng)n=10，p=5%，即1-p=95%時，從表中可查得t1-p=1.833。如果樣品的平均品位為=20％，均方差S＝10。那么置信度為1-2p=90％的置信區(qū)間為也就是說，平均品位的真值μ有90％的可能性是在14.2％和25.8％之間。三、對數(shù)正態(tài)分布當(dāng)一個隨機變量X的對數(shù)loge(X)服從正態(tài)分布時，X就服從對數(shù)正態(tài)分布。檢驗樣品是否服從對數(shù)正態(tài)分布的方法與檢驗正態(tài)分布的方法相似。將圖1-7中縱坐標(biāo)由算術(shù)坐標(biāo)變?yōu)閷?shù)坐標(biāo)可得圖1-9。如果繪于圖1-9的數(shù)據(jù)點根本落在一條直線上，就可認(rèn)為樣品是服從對數(shù)正態(tài)分布的。對數(shù)正態(tài)分布有二參數(shù)與三參數(shù)之分。當(dāng)loge(X)是正態(tài)分布時，X服從二參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布。在某些情況下，loge(X)不是正態(tài)分布，而當(dāng)X加上一常數(shù)β時，loge(X+β)是正態(tài)分布，這時我們說X服從三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布。三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布有三個特征值：即加數(shù)β，(X+β)的對數(shù)均值和(X+β)的對數(shù)方差。當(dāng)我們有n個樣品時，就可以對這三個參數(shù)進行估值。如果樣品數(shù)目足夠大，β可用下式估計：(1-10)式中，m為對應(yīng)于50％累加概率的取樣值，m也被稱為幾何均值或中直。f1和f2分別為對應(yīng)于累加概率p和1－p的取樣值。理論上講，p可以取任意值，但p取5％與20％之間時得到的結(jié)果最正確。累積發(fā)生頻率〔概率座標(biāo)〕累積發(fā)生頻率〔概率座標(biāo)〕圖1-9對數(shù)正態(tài)分布概率圖令yi為(xi+β)的自然對數(shù)，即yi=loge(xi+β) (1-11)那么(X+β)的對數(shù)均值用下式估計(1-12)(X+β)的幾何均值m的估計值為(1-13)對數(shù)方差的估計值為 (1-14)或 (1-15)三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布的均值μ，幾何均值m與對數(shù)方差之間存在以下關(guān)系 (1-16)當(dāng)利用上面的公式從樣品值計算出對數(shù)正態(tài)分布的特征值的估計值和以后，就可以獲得均值μ的估計值：(1-17)式中，γ為從附表1-2中根據(jù)n和Se2查得的系數(shù)，例如當(dāng)n=10，Se2=1.4時、γ為1.936。當(dāng)n>1000時，γ可用下式計算：(1-18)置信度為1-2p的均值置信區(qū)間計算公式為：區(qū)間上限：(1-19)區(qū)間下限： (1-20)式中，為從附表1-3a中根據(jù)n和查出的系數(shù)。附表1-3a列出的是當(dāng)p=0.95時的Ψ值，附表1-3b列出的是當(dāng)p=0.05時的Ψ值。更為完整的表可以在有關(guān)概率統(tǒng)計書中找到。當(dāng)n很大(>1000)時，Ψp可用下式計算：(1-21)式中，，tp是從學(xué)生分布表〔附表1-1〕中查得的數(shù)值。［例1-1］：設(shè)從一金礦床取樣10個，取樣品位服從二參數(shù)正態(tài)分布，即β=0。應(yīng)用式(1-12)至(1-14)計算得：對數(shù)均值：=0.600，幾何均值：=1.822，對數(shù)方差：=0.050。試估計礦體的平均品位和90％置信區(qū)間。解：從附表1-2中查得：當(dāng)=0.04和n=10時γ=1.020，當(dāng)=0.06和n=10時，γ=1.030。因此，對于=0.05和n=10，線性插值得γ=1.025。應(yīng)用公式(1-17)，算得平均品位的估計值為：＝1.822×1.025=1.868置信度為90％〔即0.9〕時，p=0.05，1-p=0.95。從表3a和3b中分別查得：Ψ0.95=1.194Ψ0.05=0.897因此置信區(qū)間為：上限：下限：也就是說：有90％的可能性，平均品位的真值μ是在1.676和2.230之間。第四節(jié)品位－礦量曲線邊界品位是用于區(qū)分礦石與廢石的臨界品位值，礦床中高于邊界品位的局部是礦石，低于邊界品位的是廢石。很顯然，邊界品位定的越高，礦石量也就越小。因此，邊界品位是一個重要的參數(shù)，它的取值將通過礦石量及其空間分布影響礦山的生產(chǎn)規(guī)模、開采壽命和礦山開采規(guī)劃。在一定的技術(shù)經(jīng)濟條件下就一給定礦床而言，存在著一個使整個礦山的總經(jīng)濟效益到達最大的最正確邊界品位。邊界品位的優(yōu)化是當(dāng)今世界礦業(yè)界的重大科研課題之一，但由于超出本節(jié)范圍，這里不加詳述。5050403020103210邊界品位〔g/t〕礦量(Mt)圖圖1-10品位-礦量曲線示意圖將一系列邊界品位和與之相對應(yīng)的礦石量繪成曲線就形成所謂的品位－礦量曲線〔圖1-10〕，由上面對邊界品位的定義可知，品位－礦量曲線是一條遞減曲線。由于品位－礦量曲線指明了任一給定邊界品位條件下的礦石量，它是對礦床進行初步技術(shù)經(jīng)濟評價的重要依據(jù)。當(dāng)品位服從均值為μ和方差為的正態(tài)分布時，品位－礦量曲線上的每一點可由下式求得：Tc=Tφ(uc) (1-22)式中，T為總礦巖量，即邊界品位為零的礦量，對于一給定礦床或礦床中的一給定區(qū)域，T是的。φ(uc)是高斯函數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布從uc到∞的積分：(1-23)式中，uc是邊界品位gc的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，即：(1-24)Tc中含有的金屬量Qc可由下式計算：(1-25)對應(yīng)于邊界品位gc的礦石平均品位，即品位高于邊界品位gc的那局部物料的平均品位為：(1-26)當(dāng)品位服從三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布時，可用下面的公式計算品位－礦量曲線：(1-27)式中，φ和T與正態(tài)分布條件下的定義相同；uc1為：(1-28)Tc中的金屬含量Qc為：(1-29)式中，uc2由下式算得： (1-30)應(yīng)用品位－礦量曲線進行品位、礦量分析時，必須注意以下幾點：(1)品位分布是從樣品值的分布得出的，分布的特征值μ，σ或是未知的，計算中只能用它們的估計值，S或Se。(2)露天開采時，礦石不是以幾公斤大小的樣品為單位采出的。對于選定的開采設(shè)備〔電鏟〕和臺階高度，存在所謂的最小選別單元〔SMU〕，礦床中的礦石是以SMU為單元采出的。SMU在體積上要比樣品大得多，如果把整個礦床分為體積為SMU的小塊〔稱為單元體〕，那么這些小塊的品位分布較樣品品位分布更為集中〔即方差更小〕。因此根據(jù)樣品分布計算的品位－礦量曲線并不能用來預(yù)報將被采出的品位－礦量關(guān)系。(3)單元體的真實品位是未知的，單元體是否是礦石，不是根據(jù)其真實品位確定的，而是根據(jù)對單元體的品位的估計值確定的。由于估計有誤差，根據(jù)估計值得出的品位－礦量曲線與實際采出的品位－礦量關(guān)系有一定的差異。第五節(jié)品位、礦量計算的垂直斷面法垂直斷面法是傳統(tǒng)的手工計算礦量的常用方法，其一般步驟為：第一步：沿勘探線做垂直剖面，將勘探線上的鉆孔及其取樣品位標(biāo)在剖面圖上〔圖1-11〕。303015000018342530232426193034191001218142019142821171623232425163232332273530232433292028262718312225193329263014182130261626282123182526251521圖1-11標(biāo)有取樣品位的剖面圖第二步：根據(jù)給定的邊界品位進行礦體圈定。簡單地講，礦體圈定的過程就是將相鄰鉆孔上高于邊界品位的樣品點相連的過程。當(dāng)一條礦體被一個鉆孔穿越，而在相鄰的鉆孔消失時，一般將礦體延伸到兩鉆孔的中點，或是根據(jù)礦體的自然尖滅趨勢在兩鉆孔之間實行自然尖滅。在礦體圈定過程中，要充分考慮礦床的地質(zhì)構(gòu)造〔如斷層和巖性〕和成礦規(guī)律。圖1-12是當(dāng)邊界品位等于25％時根據(jù)圖1-11中的取樣品位圈定的礦體示意圖。第三步：礦體圈定完成后，可用求積儀求得每個斷面上的礦石面積，然后就可以進行礦量計算。 (a)當(dāng)一條礦體在兩個相鄰斷面上的面積〔S1和S2〕相差不到40％時，兩斷面之間的礦體體積用下式計算：(1-31)式中，L為斷面間距。 (b)當(dāng)兩個相鄰斷面上的面積相差大于40％時，采用下式計算：(1-32) (c)當(dāng)?shù)V體在二斷面間是楔形尖滅時，計算公式為：計算出兩斷面間礦石塊段體積后，礦石塊段的礦量為：(1-33)式中，γ為本塊段礦石體重。然后將所有塊段的礦量相加，即得礦床的總礦量。0001623000016230151002523231816151002523231816182512322731262618251232273126263430142035302519212334301420353025192123302419182427222830241918242722282314242629302523142426293025261919212329333018252619192123293330182534283326263428332626301723232028142115213017232320281421152116181618圖圖1-12邊界品位為25％時礦體圈定示意圖第四步：計算礦體的平均品位： (a)對穿越礦體的每一鉆孔的樣品進行“礦段樣品組合〞，求出組合樣品的品位。 (b)求出每一組合樣品的影響面積。該面積是以鉆孔為中線向兩側(cè)各外推二分之一鉆孔間距得到的礦體面積。 (c)對組合樣品品位以其影響面積為權(quán)值進行加權(quán)平均計算，求出礦體在斷面上的平均品位。 (d)一條礦體的總平均品位是該條礦體在各斷面上的平均品位以斷面所代表的礦量為權(quán)值的加權(quán)平均值。上述礦體圈定與礦量、品位計算過程，可通過編制程序由計算機完成，但礦體圈定的完全計算機化具有較高的難度。垂直斷面法是一種傳統(tǒng)的手工方法，在我國仍廣泛采用，但在興旺國家由于計算機的廣泛應(yīng)用已根本成為過去。第六節(jié)礦量、品位計算的水平斷面法在露天礦山，礦石的開采是分臺階進行的，因此用于礦量、品位計算的一個水平斷面即為一個臺階。常用的水平斷面法有多邊形法和三角形法。s-48s-480.406600N300N600E300Es-200.175s-220.417s-210.489s-140.140s-130.427s-120.377s-240.685s-110.396s-230.215s-380.392s-370.320s-360.717s-150.806s-160.889s-350.475s-190.092s-180.089s-20.893s-171.009s-10.719s-270.453s-260.833s-250.230s-400.102s-410.023s-81.365s-420.915s-91.335s-430.519s-100.572s-440.040s-70.644s-460.258s-30.638s-371.615s-60.765s-450.034s-300.465s-280.409s-390.476s-500.012s-490.996s-310.063s-470.165s-510.228s-50.295s-330.027s-40.188s-320.228s-340.2250圖圖1-13臺階水平面上鉆孔取樣分布示意圖一、多邊形法(polygonalmethod)在多邊形法中，水平斷面上的每一鉆孔取樣〔即進行臺階樣品組合后的組合樣品〕，位于一個多邊形的中心。多邊形的形成由以下步驟完成：第一步：把穿越水平面的鉆孔根據(jù)鉆孔坐標(biāo)，繪于水平面上，并將本平面的組合樣品品位標(biāo)注在圖上〔圖1-13〕。第二步：根據(jù)經(jīng)驗和地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)分析，確定影響半徑R，R確實定將在后面的地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)局部介紹。第三步：以每一樣品為中心，確定其相鄰樣品，一般情況下相鄰樣品是落在半徑為2R的圈內(nèi)的樣品。以樣品S-41為例，其相鄰樣品如圖1-14a所示。第四步：用直線將中心樣品和相鄰樣品連接起來〔圖1-14a〕。第五步：在中心樣品與每一相鄰樣品的連線中點作垂直于連線的直線〔稱為二分線〕，這些二分線相交圍成的多邊形即為所求的多邊形。當(dāng)兩條二分線近于平行時，在二者相交之前，將與另外一條二分線相交，這時，取二者中離中心樣品最近者作為多邊形的邊。以樣品S-41為中心的多邊形如圖1-14b所示。s-25s-26s-25s-26s-40s-8s-41s-7s-46s-28s-25s-26s-40s-8s-41s-7s-46s-28(a)(b)(a)(b)圖圖1-14中心樣品四周均有樣品時多邊形的形成過程如果在某些區(qū)域，鉆孔間距大于2R，就以中心樣品為中心，以R為半徑做一八邊形。位于邊緣上的樣品，只在其一側(cè)有相鄰樣品而在另一側(cè)沒有相鄰樣品。這時，在沒有相鄰樣品的一側(cè)以中心樣品為中心，畫一半徑為R的圓。然后在0o,90o與±45o方向上分別作圓的切線，這些切線與有相鄰樣品一側(cè)的二分線相交就形成了所求的多邊形。圖1-15是以邊緣樣品S－14為例的多邊形形成過程。s-21s-21s-13Rs-14s-35s-2s-19s-18(a)(b)(b)s-21s-13s-14s-35s-2s-19s-18圖圖1-15邊緣樣品的多邊形的形成過程以每一樣品為中心形成多邊形后，在每一多邊形內(nèi)，品位被看作是常數(shù)且多邊形的品位等于其中心樣品的品位。第i個多邊形的重量Ti由下式計算：Ti=SiγH (1-34)式中，Si為第i個多邊形的面積，γ為體重；H為臺階高度。如果多邊形的品位xi大于邊界品位，該多邊形即為礦石多邊形，所有礦石多邊形的集合就形成了該水平面上的礦體?；趫D1-13中的樣品分布，應(yīng)用多邊形法進行品位計算和礦體圈定的結(jié)果如圖1-16所示。這里假設(shè)邊界品位為0.6％。水平斷面上的礦石總量T為礦石多邊形的重量之和，礦石的平均品位為礦石多邊形品位的面積加權(quán)平均值，即：(1-35)(1-36)式中，xi為礦石多邊形i的品位，n為礦石多邊形個數(shù)。在某些礦床中，往往不同區(qū)域的成礦作用與礦石種類不同，或是地質(zhì)構(gòu)造使礦體發(fā)生錯動。在這種情況下，使用多邊形法時，應(yīng)注意多邊形不跨越區(qū)域界限和構(gòu)造線。圖1-16多邊形法品位估算與礦體圈定結(jié)果圖1-16多邊形法品位估算與礦體圈定結(jié)果二、三角形法在多邊形法中，中心樣品的品位被外推到整個多邊形，即一個多邊形的平均品位只用了一個樣品作估計。一般情況下，對一給定體積的品位進行估算時，利用的數(shù)據(jù)越多，估計誤差越小。從而就產(chǎn)生了三角形法。在三角形法中，每一樣品是三角形的一個頂點。圖1-17是將圖1-13中的樣品相連形成的三角形。很顯然，在一定條件下頂點連法不同，所得到的三角形也不同。一般性的連接原那么是使每個三角形的邊盡可能短，面積盡可能小。每一三角形的品位xi是位于其頂點上的三個樣品品位的平均值，即：(1-37)品位高于邊界品位的三角形是礦石三角形，水平面上所有礦石三角形的集合形成該水平面上的礦體。一個水平面上的總礦量為礦石三角形的重量之和，礦石的平均品位為礦石三角形品位的重量或面積加權(quán)平均值。797972600N300N600E300E2215212347474822211615211749749369772935282737511836606297116120966085552336264132232539501099210888100858874361211375079736969727059422431333757475963547160353543494336434226圖圖1-17三角形法品位估算與礦體圈定結(jié)果三角形法的優(yōu)點在于它利用三個樣品的品位來估計一個三角形的平均品位。從理論上講，利用三角形法求得的品位、礦量較多邊形法誤差小。在應(yīng)用三角形法時，也要注意三角形不超越區(qū)域界限和地質(zhì)構(gòu)造線。第七節(jié)三維塊狀模型三維塊狀模型是將礦床劃分為許多單元塊形成的離散模型〔圖1-18〕。單元塊一般是尺寸相等的長方體。隨著計算機在礦山的普及應(yīng)用和計算機的容量與速度的不斷提高，三維塊狀模型在國際上得到越來越廣泛的應(yīng)用。三維塊狀模型不僅被廣泛用于品位、礦量計算，也被用于圖1-18三維塊段模型示意圖圖1-18三維塊段模型示意圖三維塊狀模型中單元塊的高度等于露天礦臺階高度，單元塊在水平方向一般取正方形，其邊長視具體情況而定。有人錯誤地認(rèn)為，單元塊越小，品位、礦量計算結(jié)果越精確。但是，從地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)理論可知，在數(shù)據(jù)〔即樣品數(shù)與樣品在空間的分布〕一定的條件下，單元塊越小，對其品位的估計誤差越大。另外，當(dāng)單元塊小到一定程度時，相鄰的幾個單元塊的品位估計值會非常接近，與它們的平均品位相差無幾，這種現(xiàn)象稱為平滑作用，故用一個大塊代替幾個小塊，品位與礦量的計算結(jié)果變化很小。而這樣做可以降低對計算機容量的要求，加快計算速度。一般的經(jīng)驗規(guī)那么是，單元塊在水平方向上的邊長不應(yīng)小于鉆孔平均間距的1/4或1/5。對于100米的鉆孔間距，單元塊的邊長一般取30將礦床分為單元塊后，需要應(yīng)用某種方法對每一小塊的平均品位進行估計。常用的方法有三，即最近樣品法、距離N次方反比法和地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)法〔即克里金法〕。三者均基于樣品加權(quán)平均的概念，即對落在以單元塊為中心的影響范圍內(nèi)的樣品品位進行加權(quán)平均求得單元塊的品位。三種方法的根本區(qū)別在于所用權(quán)值不同。本節(jié)介紹前兩種方法，第三種方法將在下節(jié)給予較詳細(xì)的論述。一、最近樣品法所謂最近樣品法就是將距離某一單元塊最近的樣品品位作為該單元塊的品位估計值。前面介紹的多邊形法其實是不規(guī)那么單元塊情況下的最近樣品法，最近樣品法的一般步驟為：第一步：以被估計的單元塊的中心為圓心，做半徑為影響半徑R的圓。第二步：計算落入影響范圍內(nèi)的每一樣品與單元塊中心點的距離。第三步：選取離單元塊中心最近的樣品，其品位即為被估單元塊的品位。當(dāng)沒有樣品落入影響范圍時，被估單元塊的品位是未知的。一般情況下，未知單元塊的品位取0值，當(dāng)廢石處理。如果有理由認(rèn)為未知單元塊所處的區(qū)域可能有礦石，未知單元塊的出現(xiàn)說明該區(qū)域的數(shù)據(jù)量太少，要想確定其品位與礦量，需要增加鉆孔。在三維狀態(tài)下，上述的影響范圍，由二維狀態(tài)下的圓變?yōu)榍?，需要對落入球?nèi)的所有樣品進行考查，找出離單元塊中心最近的樣品。求得礦床中所有單元塊的品位以后，品位大于邊界品位的單元塊的集合組成礦體。礦石量和礦石平均品位可由礦石單元塊重量的簡單累加和品位的平均求得。基于圖1-13所示的樣品分布和品位值，用最近樣品法求得該臺階上單元塊的品位如圖1-19所示。這里采用的影響半徑(R)為75m，邊界品位(gc)為0.6％。將圖1-19與圖1-16作比擬可見，用多邊形法與最近樣品法所得的礦體形態(tài)相近。600N600N00001818181842424949490000000000018181842424249494900000002121212140181842424249494914141414000212121214040696938384343431414141400021212121404069693838434343141414140002121393932327272818189894848141414000039393932327272818189894848488999990393939232372838345727210110189899999001010232323838345727210110189899999300N0300N010101010221361369292134134525277440010106464221361389292134134525277440048486464222626646416116176764646330484848484141262626646416116176764646330484848484141411717664040100100113300482323234117171766404010010011100002323232322222219193339391110000232323232222221919333939390000000000222222232333393939000000000000232323230000000300E600E00300E600E000000000232323230000000圖圖1-19最近樣品法品位估算與礦體圈定結(jié)果二、距離N次方反比法(InverseDistanceMethod)在多邊形法和最近樣品法中，只有一個樣品參與單元塊品位的估值，如果落入影響范圍的樣品都參與單元塊的品位估值，估值結(jié)果會更為精確。然而，由于各樣品距單元塊中心的距離不同，其品位對單元體的影響程度也不同。顯然，距離單元塊越近的樣品，其品位對單元體品位的影響也就越大。因而在計算中，離單元體近的樣品的權(quán)值應(yīng)比離單元體遠(yuǎn)的樣品的權(quán)值大。距離N次方反比法就是基于這一思想產(chǎn)生的。在此法中，一個樣品的權(quán)值等于樣品到單元塊中心距離的N次方的倒數(shù)〔1/dN〕。參照圖1-20，距離N次方反比法的一般步驟如下：第一步：以被估單元塊中心為圓心、以影響半徑R為半徑做圓，確定影響范圍〔在三維狀態(tài)下，圓變?yōu)榍颉场５诙剑河嬎懵淙胗绊懛秶鷥?nèi)每一樣品與被估單元塊中心的距離。第三步：利用下式計算單元塊的品位Xb：(1-38)式中，xi為落入影響范圍的第i個樣品的品位；di為第i個樣品到單元塊中心的距離。G7G7(1.00%)(0.60%)G4G1(0.40%)G8(0.80%)G2(0.50%)G5(1.00%)G6(0.50%)G9(0.70%)(0.60%)G3d2(60m)d6(60m)d9(45m)d7(75m)d4(30m)圖1-20距離N次方反比法示意圖在實際應(yīng)用中，有時采用所謂的角度排除，即當(dāng)一個樣品與被估單元塊中心的連線與另一個樣品與被估單元塊中心的連線之間的夾角小于某一給定值α?xí)r，距單元塊較遠(yuǎn)的樣品將不參與單元塊的估值運算〔如圖1-20中的G3與G5〕。α值一般在15度左右。如果沒有樣品落入影響范圍之內(nèi)，單元塊的品位為零。公式(1-38)中的指數(shù)N對于不同的礦床取值不同。假設(shè)有兩個礦床，第一個礦床的品位變化程度較第二個礦床的品位變化程度大，即第二個礦床的品位較第一個礦床連續(xù)性好。那么在離單元體同等距離的條件下，第一個礦床中樣品對單元塊品位的影響應(yīng)比第二個礦床小。因此，在估算某一單元塊的品位時第一個礦床中樣品的權(quán)值在同等距離條件下應(yīng)比第二個礦床中樣品的權(quán)值小。也就是說在品位變化小的礦床，N取值較??；在品位變化大的礦床，N取值較大。在鐵、鎂等品位變化較小的礦床中，N一般取2；在貴重金屬〔如黃金〕礦床中，N的取值一般大于2，有時高達4或5。如果有區(qū)域異性存在，不同區(qū)域中品位的變化不同，那么需要在不同區(qū)域取不同的N值。同時，一個區(qū)域的樣品一般不參與另一區(qū)域的單元塊品位的估值運算。以圖1-20為例，假設(shè)n=2，那么被估單元塊的品位為0.628。600N600N00001818193042454949490000000000018181839424549494900000002121213333418174142434949141414140002122223140436462424243494914141414000212324253940586875385343451414141400021302121344040696838384343143114140000393939313249735981768995466863359990393239393232727281809089474780159990010142323138289508972103101768948969300N0300N010121323239783584572721011018989999001029101010214136100911261341055249754004847105833221361369291134133525277404848484864642325261664521611317639474830484848414841361826266464161161777646463004834484841411717186540401001001100002323232320221716664040100100110000232323232222222219193340400000000000222222221919334039000000000000232323230000000300E600E00300E600E000000000222323220000000圖圖1-21距離平方反比法品位計算與礦體圈定結(jié)果基于圖1-13所示的樣品分布和品位值，應(yīng)用上述方法，當(dāng)N＝2，R=75m，gc=0.6％時，品位計算和礦體圈定結(jié)果如圖1-21所示。將圖1-16，1-19和1-21所示的計算結(jié)果作比擬，應(yīng)用距離平方反比法求得的礦體形態(tài)與前兩種方法〔多邊形法與最近樣品法〕得出的礦體形態(tài)之間的差異較為明顯。第八節(jié)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)法〔GeostatisticalMethod〕地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)是60年代初期出現(xiàn)的一個新興應(yīng)用數(shù)學(xué)分支，其根本思想是由南非的DanieKrige在金礦的品位估算實踐中提出來的，后來由法國的GeorgesMatheron經(jīng)過數(shù)學(xué)加工，形成一套完整的理論體系。在過去的三十多年中，地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)不僅在理論上得到開展與完善，而且在實踐中得到日益廣泛的應(yīng)用。如今，地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)在國際上除被用于礦床的品位估算外，也被用于其他領(lǐng)域中研究與位置有關(guān)的參數(shù)變化規(guī)律和參數(shù)估計。如農(nóng)業(yè)中農(nóng)作物的收成、環(huán)保中污染物的分布等等。本節(jié)將從礦床的品位估算的角度，簡要介紹地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的根本概念、原理和方法。一、區(qū)域化變量、協(xié)變異函數(shù)與半變異函數(shù)應(yīng)用傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)〔“傳統(tǒng)〞二字是相對于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)而言的〕可以對礦床的取樣數(shù)據(jù)進行各種分析，并估計礦床的平均品位及其置信區(qū)間。在給定邊界品位時，傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)也可用于初步估算礦石量和礦石平均品位。然而，傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)的分析計算均基于一個假設(shè)，即樣品是從一個未知的樣品空間隨機選取的，而且是相互獨立的。根據(jù)這一假設(shè)，樣品在礦床中的空間位置是無關(guān)緊要的，從相隔上千米的礦床兩端獲取的兩個樣品與從相隔幾米的兩點獲取的兩個樣品從理論上講是沒有區(qū)別的，它們都是一個樣本空間的兩個隨機取樣而已。但是在實踐中，相互獨立性是幾乎不存在的，鉆孔的位置〔即樣品的選取〕在絕大多數(shù)情況下也不是隨機的。當(dāng)兩個樣品在空間的距離很小時，樣品間會存在較強的相似性，而當(dāng)距離很大時，相似性就會減弱或不存在。也就是說，樣品之間存在著某種聯(lián)系，這種聯(lián)系的強弱是與樣品的相對位置有關(guān)的。這樣就引出了“區(qū)域化變量〞的概念。〔一〕區(qū)域化變量及協(xié)變異函數(shù)：如果以空間一點為中心獲取一樣品，樣品的特征值X(z)是該點的空間位置z的函數(shù)，那么變量X即為一區(qū)域化變量。顯然，礦床的品位是一個區(qū)域化變量，而控制這一區(qū)域化變量之變化規(guī)律的是地質(zhì)構(gòu)造和礦化作用。區(qū)域化變量的概念是整個地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)理論體系的核心，用于描述區(qū)域化變量變化規(guī)律的根本函數(shù)是協(xié)變異函數(shù)和半變異函數(shù)。設(shè)有兩個隨機變量X1與X2，如果X1與X2之間存在某種相關(guān)性，那么從傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)可知，這種相關(guān)關(guān)系由X1與X2的協(xié)方差σ(x1,x2)表示：σ(x1,x2)=E[(x1-E(x1))(x2-E(x2))] (1-39)讓和分別表示X1和X2的方差，那么：(1-40)(1-41)式中，E[*]表示隨機變量[*]的數(shù)學(xué)期望。X1與X2之間的相關(guān)系數(shù)為：(1-42)當(dāng)X1和X2互相獨立時，即二者之間不存在任何相關(guān)性時，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)均為零。當(dāng)X1和X2“完全相關(guān)〞時，相關(guān)系數(shù)為1.0〔或-1.0〕。如果X1和X2不是一般的隨機變量，而是區(qū)域化變量X在礦體Ω中的取值，即：X1代表X(z)：區(qū)域化變量X在礦體Ω中z點的取值；X2代表X(z+h)：區(qū)域化變量X在礦體Ω中距z點h處的取值。那么，由式(1-39)可計算X(z)與X(z+h)在礦體Ω中的協(xié)方差：(1-43)h)稱為區(qū)域化變量X在Ω中的協(xié)變異函數(shù)(Covariogram)。讓和分別表示X(z)與X(z+h)在礦體Ω中的方差,那么：(1-44)(1-45)那么X(z)與X(z+h)之間的相關(guān)系數(shù)為：(1-46)稱為區(qū)域化變量X在Ω中的相關(guān)函數(shù)(Correlogram)。對于任何礦床，都可能計算出其協(xié)變異函數(shù)，但在利用對礦床中單元體的品位進行估值時，需滿足二階穩(wěn)定性條件。[二階穩(wěn)定性條件](Secondorderstationarityconditions):X(z)的數(shù)學(xué)期望與空間位置z無關(guān)，即對任意位置z0：E[x(z0)]=μ(1-47)協(xié)變異函數(shù)與空間位置無關(guān)只與距離h有關(guān)，即對于任何位置z0：(1-48)當(dāng)(1-48)成立時，X(z)與X(z+h)的方差相等，即：，式(1-46)變?yōu)?1-49)〔二〕半變異函數(shù)用于描述區(qū)域化變量變化規(guī)律的另一個更具實用性的函數(shù)是半變異函數(shù)(Semivariogram)。半變異函數(shù)的定義為：(1-50)如果滿足二階穩(wěn)定性條件，半變異函數(shù)和協(xié)變異函數(shù)之間存在以下關(guān)系：(1-51)證明：圖1-22是關(guān)系式(1-51)的示意圖。γ(h)σ2σ(h)N圖1-22半變異函數(shù)與協(xié)變異函數(shù)的關(guān)系示意圖γ(h)σ2σ(h)N圖1-22半變異函數(shù)與協(xié)變異函數(shù)的關(guān)系示意圖當(dāng)h=0時，點z和z+h變?yōu)橐稽c，區(qū)域化變量X的取值X(z)與X(z+h)應(yīng)變?yōu)橥蝗≈?。從以上各式可以看出，。實際上，在同一位置獲得兩個完全相同的樣品是幾乎不可能的。如果我們從緊挨著的兩點(h=0)取兩個樣品，由于取樣過程中的誤差和微觀礦化作用的變化，兩個樣品不會完全相同；即使是把同一個樣品化驗兩次，由于化驗過程中的誤差，化驗結(jié)果也難以完全相同。因此，半變異函數(shù)在原點附近實際上不等于零，這種現(xiàn)象稱為塊金效應(yīng)。塊金效應(yīng)的大小用塊金值N表示：(1-52)應(yīng)用半變異函數(shù)進行參數(shù)估計時，需滿足內(nèi)蘊假設(shè)。[內(nèi)蘊假設(shè)](IntrinsicHypothesis)區(qū)域化變量X的增量的數(shù)學(xué)期望與位置無關(guān)，即對于區(qū)域Ω內(nèi)的任意位置z0:(1-53)半變異函數(shù)與位置無關(guān)，即對于區(qū)域Ω內(nèi)的任意位置z0:(1-54)內(nèi)蘊假設(shè)的內(nèi)涵是：區(qū)域化變量的增量，在給定區(qū)域Ω內(nèi)的所有位置上具有相同的概率分布。內(nèi)蘊假設(shè)要求的條件要比二階穩(wěn)定性條件寬松得多，當(dāng)滿足后者時，前者自然得到滿足。二、實驗半變異函數(shù)及其計算象普通隨機變量的概率分布特征值一樣，半變異函數(shù)對任一給定礦床Ω是未知的，需要通過取樣值對之進行估計。設(shè)從礦床Ω中獲得一組樣品，相距h的樣品對數(shù)為n(h)，那么半變異函數(shù)γ(h)可以用下式估計：(1-55)式中，X(zi)是在zi處的樣品值，X(zi+h)是在與zi相距h處的樣品值。由(1-55)計算的半變異函數(shù)稱為實驗半變異函數(shù)。下面舉例說明實驗半變異函數(shù)的計算過程。[例1-2]在一條直線上取得10個樣品，其位置如圖1-23所示，試計算實驗半變異函數(shù)。３３２７８７５５圖1-23一維取樣分布３３２７８７５５圖1-23一維取樣分布表1-3基于圖1-23中數(shù)據(jù)的半變異函數(shù)計算結(jié)果間距h1234樣品對數(shù)n(h)7666γ(h)2.8578.16715.66718.917表1-4h=3時γ(h)的計算過程樣品對x(z)x(z+3)x(z)-x(z+3)(x(z)-x(z+3))2512-749711-4161275251129817341623-1+1γ(3)=188/12=15.667188γ(h)20161284hγ(h)20161284h0421304213圖圖1-24實驗半變異函數(shù)解：樣品是一個離散集，因此我們只能對幾個離散h值計算γ(h)。應(yīng)用公式(1-55)計算結(jié)果列于表1-3中。以h=3為例，計算過程列于表1-4中。表1-3中的計算結(jié)果繪于圖1-24。上例中樣品落于一直線上，是一個在一維空間計算實驗半變異函數(shù)的問題。在二維或三維空間，半變異函數(shù)是具有方向性的，即在不同的方向上，半變異函數(shù)可能不一樣。下面是一個二維空間下求半變異函數(shù)的算例。[例1-3]如圖1-25所示，在礦床的某一臺階取樣31個，樣品位于間距為1的規(guī)那么網(wǎng)格點上，各樣品的品位如圖中的數(shù)字所示。試求在4個方向上的實驗半變異函數(shù)。10876461087646765765411731方向411731方向448115128115127789133778913341411121011210133133411411圖圖1-25二維取樣分布解：在任一方向上計算過程與例1-2相同。只是在一給定方向上選取間距為h的樣品對時，只能在該方向上選取。在方向1和2上的實驗半變異函數(shù)計算結(jié)果列在表1-5中，在方向3和4上的計算結(jié)果列于表1-6中。表1-5例1-3中在方向1和2上的實驗半變異函數(shù)計算結(jié)果h=1h=2h=3方向n(h)γ(h)n(h)γ(h)n(h)γ(h)1113.91129.00811.062144.07147.64915.22表1-6例1-3中在方向3和4上的實驗半變異函數(shù)計算結(jié)果h=h=h=方向n(h)γ(h)n(h)γ(h)n(h)γ(h)3105.901112.09620.08495.061212.92616.83假設(shè)將平面上所有方向上相距為h的樣品對用于計算，得到的實驗半變異函數(shù)稱為該平面上的平均實驗半變異函數(shù)，例1-3中的平均實驗半變異函數(shù)計算結(jié)果列于表1-7。表1-7例1-3中平均實驗半變異函數(shù)計算結(jié)果h123n(h)251926231712γ(h)4.005.508.2712.5213.2618.46所有4個方向上的實驗半變異函數(shù)與平均半變異函數(shù)計算結(jié)果繪于圖1-26。342γ(h)161240圖1-26不同方向上的實驗半變異函數(shù)342γ(h)161240圖1-26不同方向上的實驗半變異函數(shù)平均20平均2011883243241h1h在實踐中，樣品在平面上的分布可能很不規(guī)那么，不可能所有樣品都位于規(guī)那么的網(wǎng)格點上，樣品間的距離也不會是一個基數(shù)的整數(shù)倍，而且往往需要計算任意方向的實驗半變異函數(shù)。因此，恰好落在某一給定方向的方向線上和間距恰好等于某一給定h的樣品對很少〔或幾乎不存在〕。所以如圖1-27所示，在計算實驗半變異函數(shù)時，我們需要確定一個最大方向角偏差和距離偏差，如果一對樣品X(zi)和X(zj)所在的位置所組成的向量Zi→Zj的方向落于α－和α＋之間，那么就可以認(rèn)為X(zi)和X(zj)是在方向α上的一個樣品對；如果樣品X(zi)和X(zj)之間的距離落于h-和h+之間，就可認(rèn)為這兩個樣品是相距h的一個樣品對。2稱為窗口(window)。在實際計算中，往往以2作為h的增量，以作為最小h值〔即偏移量Offset〕。例如，當(dāng)2＝10米時，h取5米，15米，25米……。Vx(zi)αVx(zi)αx(zj)h+Δx(zj)h+ΔhhΔαhΔαh-ΔhΔh-ΔhΔx(zi)U’αx(zi)U’α圖圖1-27二維半變異函數(shù)的實用計算方法在三維空間，圖1-27中的扇形變?yōu)閳D1-28中的錐體，空間的某一方向由方位角φ與傾角Ψ表示。另外，在三維空間，一個樣品不是一個二維點，而是具有一定長度的三維體，所以在計算半變異函數(shù)前，需要將樣品進行組合處理，形成等長度的組合樣品。在實驗半變異函數(shù)的實際計算中，首先要對所有樣品對進行矢量運算，找出落于方向與間距最大偏差范圍內(nèi)的樣品對，然后對這些樣品對應(yīng)用公式(1-55)進行計算，獲得半變異函數(shù)曲線上的一個點。需要說明的是，距離h是所有這些樣品對的平均距離。三、半變異函數(shù)的數(shù)學(xué)模型實驗半變異函數(shù)由一組離散點組成，在實際應(yīng)用時很不方便。因此常常將實驗半變異函數(shù)擬合為一個可以用數(shù)學(xué)解析式表達的數(shù)學(xué)模型。常見的半變異函數(shù)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：WWX(Zj)X(Zj)h+h+△ｈh-△ｈh-△ｈ△α△αX(Zi)ΨVX(Zi)ΨVффUU圖圖1-28三維半變異函數(shù)的實用計算方法〔一〕球狀模型(SphericalModel)實驗半變異函數(shù)在大多數(shù)情況下可以擬合成球狀模型。因此，球狀模型是應(yīng)用最廣的一種半變異函數(shù)模型，其數(shù)學(xué)表達式為：(1-56)式中，C稱為檻值或臺基值(sill)，一般情況下可以認(rèn)為C＝(為樣品的方差〕，稱為變程(range)。圖1-29是球狀模型的圖示。從圖中可以看出，γ(h)隨h的增加而增加，當(dāng)h到達變程時，γ(h)到達檻值C；之后γ(h)便保持常值C。這種特征的物理意義是：當(dāng)樣品之間的距離小于變程時，樣品是相互關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)程度隨間距的增加而減小，或者說，變異程度隨間距的增加而增大；當(dāng)間距到達一定值時，樣品之間的關(guān)聯(lián)性消失，變?yōu)橥耆S機，這時γ(h)即為樣品的方差。因此，變程實際上代表樣品的影響范圍?！捕畴S機模型(RandomModel)當(dāng)區(qū)域化變量X的取值是完全隨機的，即樣品之間的協(xié)方差σ(h)對于所有h都等于0時，半變異函數(shù)是一常量：(1-57)這一模型稱為隨機模型，其圖示為一水平直線〔圖1-30〕。隨機模型說明樣品之間互不相關(guān)。隨機模型有時也被稱為純塊金效應(yīng)模型(Purenuggeteffectmodel)?！踩持笖?shù)模型(ExponentialModel)指數(shù)模型的數(shù)學(xué)表達式為：(1-58)指數(shù)模型的特征與球狀模型相似〔圖1-31〕，變異速率較小。式(1-58)中的是原點處的切線到達C時的h值。〔四〕高斯模型(GaussianModel)高斯模型的數(shù)學(xué)表達式為：(1-59)如圖1-32所示，高斯模型在原點的切線為水平線，說明γ(h)在短距離內(nèi)變異很小?！参濉尘€性模型(LinearModel)線性模型的數(shù)學(xué)表達式為一線性方程，即：γ(h)＝(P2/2)h (1-60)式中，p2為一常量，且(1-61)如圖1-33所示，線性模型沒有檻值，γ(h)隨h無限增加。(六)對數(shù)模型(LogarithmicModel)對數(shù)模型的表達式為：(1-62)式中，為常量。當(dāng)h取對數(shù)坐標(biāo)時，對數(shù)模型為一條直線〔圖1-34〕。對數(shù)模型沒有檻值。當(dāng)h<1時，為負(fù)數(shù)，由半變異函數(shù)的定義〔式1-55〕可知不可能為負(fù)數(shù)。所以對數(shù)模型不能用于描述h<1時的區(qū)域化變量特性。hC圖1-30隨機模型圖1-29球狀模型示意圖hhaCaC圖1-31指數(shù)模型hC圖1-32高斯模型hC圖1-30隨機模型圖1-29球狀模型示意圖hhaCaC圖1-31指數(shù)模型hC圖1-32高斯模型p2/2p2/2hh1001021hh1001021圖1-34圖1-34對數(shù)模型圖1-33線性模型除對數(shù)模型和隨機模型外，均有。但由于取樣、化驗誤差和礦化作用在短距離內(nèi)〔小于最小取樣間距〕的變化，在絕大多數(shù)情況下半變異函數(shù)在原點不等于零，即存在塊金效應(yīng)。因此，在實踐中應(yīng)用最廣的模型是具有塊金效應(yīng)的球狀模型，其數(shù)學(xué)表達式為：(1-63)式中，N為塊金效應(yīng)；N+C為檻值。在某些情況下，區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)特性較復(fù)雜，難以用單一結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型描述。這時，往往采用幾個結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)組合來描述較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。帶有塊金效應(yīng)的球模型〔式1-63〕實質(zhì)上就是由兩個結(jié)構(gòu)組成的：一個是純塊金效應(yīng)結(jié)構(gòu)〔或隨機結(jié)構(gòu)〕，另一個是球形結(jié)構(gòu)。由多個半變異函數(shù)組成的結(jié)構(gòu)稱為嵌套結(jié)構(gòu)(nestedstructures)。實踐中較常見的嵌套結(jié)構(gòu)由塊金效應(yīng)與兩個球模型組成，即：(1-64)式中，和為具有不同和C值的球模型。圖1-35是這一嵌套結(jié)構(gòu)的示意圖：嵌套結(jié)構(gòu)N+C1嵌套結(jié)構(gòu)N+C1N+C2N球形結(jié)構(gòu)2N+C1球形結(jié)構(gòu)1N球形結(jié)構(gòu)1塊金效應(yīng)結(jié)構(gòu)NNha1aha1a2圖圖1-35球模型的嵌套結(jié)構(gòu)示意圖四、半變異函數(shù)的擬合實踐中半變異函數(shù)是根據(jù)有限數(shù)目的地質(zhì)取樣建立的，而通過取樣我們只能得到由一些離散點組成的實驗半變異函數(shù)。因此，需要對實驗半變異函數(shù)進行加工獲得實驗半變異函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。將實驗半變異函數(shù)加工成數(shù)學(xué)模型的過程稱為半變異函數(shù)的擬合。這里只講球模型的擬合。圖1-36是從一組樣品得到的實驗半變異函數(shù)。雖然數(shù)據(jù)點的分布不很規(guī)那么，但仍可看出隨h首先增加，然后趨于穩(wěn)定的特點。因此，其數(shù)學(xué)模型應(yīng)為具有塊金效應(yīng)的球模型。如果能確定塊金效應(yīng)N，檻值N+C和變程a，擬合也就完成了。Y(h)Y(h)(163)0.20(134)(163)0.20(134)(49)(169)(84)(49)(169)(84)Sill=0.13510.15(106)Sill=0.13510.15(106)(135)(167)(133)(135)(167)(133)0.10(3)0.10(3)0.05(80)0.05(80)(20)(20)NNha5004003002000100ha5004003002000100圖圖1-36實驗半變異函數(shù)的擬合首先確定檻值。從數(shù)據(jù)點的分布很難看出穩(wěn)定在何值，但從理論上講，可以認(rèn)為檻值等于樣品的方差。因此，在實際擬合時，往往取為檻值。這里＝0.135，故N+C＝0.135。其次確定塊金效應(yīng)。根據(jù)檻值以下靠近原點的數(shù)據(jù)點變化趨勢，作一條斜線，斜線與縱軸的截距即為塊金效應(yīng)N，從圖中可以看出N≈0.02。這樣C＝0.135-0.02=0.115。最后確定變程。根據(jù)球模型的數(shù)學(xué)表達式可知，在h=0處的切線斜率為C/()。所以上面求塊金效應(yīng)時所作的斜線與等于檻值的水平線的交點之橫坐標(biāo)為。從圖中可以看出，約為100米，所以變程約為150米。利用實際數(shù)據(jù)進行半變異函數(shù)的擬合通常是個十分復(fù)雜的過程，需要對地質(zhì)特征有較好的了解和擬合經(jīng)驗。當(dāng)取樣間距較大時，變程以內(nèi)的數(shù)據(jù)點很少，很難確定半變異函數(shù)在該范圍內(nèi)的變化趨勢，而恰恰這局部曲線是半變異函數(shù)最重要的組成局部。在這種情況下，常常求助于“沿鉆孔實驗半變異函數(shù)〞(down-holevariogram)，即沿鉆孔方向建立的實驗半變異函數(shù)。因為沿鉆孔取樣間距小，沿鉆孔半變異函數(shù)可以捕捉短距離內(nèi)的結(jié)構(gòu)特征，幫助確定半變異函數(shù)的塊金效應(yīng)和變化趨勢。但必須注意，當(dāng)存在各向異性時，沿鉆孔半變異函數(shù)只代表區(qū)域化變量沿鉆孔方向的變化特征，并不能完全代表其他方向上半變異函數(shù)在短距離的變化特征。五、各向異性(Anisotropy)當(dāng)區(qū)域化變量在不同方向呈現(xiàn)不同特征時，半變異函數(shù)在不同方向也具有不同的特性。我們稱這種現(xiàn)象為各向異性。常見的各向異性有兩種。(1)幾何各向異性(GeometricAnisotropy)：幾何各向異性的特點是半變異函數(shù)的檻值不變，變程隨方向變化。如果求出任一平面內(nèi)所有方向上的半變異函數(shù)，半變異函數(shù)在平面上的等值線是一組橢圓〔圖1-37〕。橢圓的短軸和長軸稱為主方向(PrincipalDirections)。對應(yīng)于檻值的等值線上的每一點r到原點的距離是在o→r方向上半變異函數(shù)的變程。所以，對應(yīng)于檻值的等值線橢圓稱為各向異性橢圓，它是影響范圍的一種表達。假設(shè)平面為水平面，各向異性橢圓的長軸方向一般與礦體的走向重合〔或非常接近〕。因此即使礦體的產(chǎn)狀是未知的，通過各向異性分析也可以確定礦體的走向。在三維空間，各向異性橢圓變?yōu)闄E球體。q(2)區(qū)域各向異性：區(qū)域各向異性的特點是半變異函數(shù)的檻值與變程均隨方向變化，如圖1-38所示。qqqooha1a2C0C0+Cp-p方向q-q方向ppr圖1-37幾何各向異性示意圖xhhoC圖1-38區(qū)域異性示意圖方向1方向2六、半變異函數(shù)平均值的計算應(yīng)用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法進行參數(shù)估值時，需要計算半變異函數(shù)在兩個幾何體之間或在一個幾何體內(nèi)的平均值。設(shè)在區(qū)域Ω中有兩個幾何體V和W，如果在V中任取一點z，在W中任取一點z,，z與z,之間的距離為h，那么半變異函數(shù)在兩點上的值為γ(h)，記為γ(z,z,)。半變異函數(shù)在V和W之間的平均值就是當(dāng)z取V中所有點、z,取W中所有點時，γ(z,z,)的平均值，即：(1-65)上式積分可以用數(shù)值方法計算。將V劃分為n個大小相等的子體，每個子體的中心位于zi(i=1,2,……,n)；同理，將W劃分為n,個子體，每個子體的中心位于z,j(j=1,2,……,n,)。這樣，上面的積分可用下式逼近：(1-66)當(dāng)V和W是同一幾何體時，即為半變異函數(shù)在幾何體V內(nèi)的平均值：(1-67)式中，zi和zj都是V中的子體中心位置。根據(jù)半變異函數(shù)的定義，γ(zi,zj,)=，xi和xj,分別為區(qū)域化變量X在zi和zj,處的取值。這樣，式〔13－66)和(1-67)也可分別改寫為以下的形式：(1-68)(1-69)如果幾何體W代表的是一個樣品，用ω表示，樣品的中心位于z0，樣品值為x0，而且樣品ω的體積很小，不再劃分為子體，即n,=1，那么式(1-66)變?yōu)椋?1-70)式(1-68)變?yōu)椋?1-71)稱為半變異函數(shù)在樣品ω與幾何體V之間的平均值。如果V也代表一個樣品ω，,ω，的中心位于z0,，ω，的取值為x0,，ω，的體積很小，不再劃分為子體(n=1)，那么式(1-70)和(1-71)分別變?yōu)椋?1-72)(1-73)稱為半變異函數(shù)在兩個樣品之間的“平均值〞。當(dāng)然，如果樣品的體積較大，需要把樣品也劃分為子體時，半變異函數(shù)在樣品與幾何體之間，樣品與樣品之間的平均值和半變異函數(shù)在兩個幾何體之間的平均值是一回事。因此，式(1-66)或(1-68)是計算半變異函數(shù)平均值的一般公式，其它公式都是這兩個公式的特例。值得注意的是，當(dāng)把樣品也劃分為離散點進行計算時，意味著半變異函數(shù)不是由具有一定體積的樣品數(shù)值得來的，而是從無限小的點值得到的。這樣的半變異函數(shù)稱為點半變異函數(shù)(Pointsemivariogram)。但在實踐中點半變異函數(shù)是未知的，半變異函數(shù)是通過具有一定體積的樣品數(shù)據(jù)建立的。因此，在實際計算中一般把樣品看作是“不可再分〞的。七、克里金(Kriging)由于地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)法的根本思想是由DanieKrige〔丹尼·克里金〕提出的，所以應(yīng)用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)進行參數(shù)估值的方法被命名為克里金法(Kriging)?？死锝鸸乐凳窃谝欢l件下具有無偏性和最正確性的線性估值。所謂無偏性就是參數(shù)估值與真值之間的偏差的數(shù)學(xué)期望為零，即：(1-74)所謂最正確性是指估計值與真值之間偏差的平方的數(shù)學(xué)期望到達最小，即：(1-75)也稱為估計方差(EstimationVariance)，用表示；用克里金法進行估值的估值方差稱為克里金方差(KrigingVariance)或克里金誤差(KrigingError)，用表示。所謂線性估值是指未知量的估計是假設(shè)干個取樣值xi的線性組合，即：(1-76)式中，bi為常數(shù)。設(shè)從區(qū)域Ω中取樣n個，樣品ωi的值為xi(i=1,2,……,n)；Ω中的一個單元體V的未知真值為〔圖1-39)。那么，用這n個樣品對的克里金估值即為式(1-76)。1ω1ωVx1Vx1x2ωω2xiix2ωω2xii圖圖1-39克里金法示意圖根據(jù)無偏性要求，有；如果在區(qū)域Ω內(nèi)，區(qū)域化變量滿足內(nèi)蘊假設(shè)且“無漂移〞，E[xi]=E[]=μ〔μ為參數(shù)在Ω的平均值〕，上式變?yōu)椋?，消去μ得：?1-77)因此，估值具有無偏性的充要條件是取樣值的權(quán)值之和為1。將幾何體V看作是由m個相同的子體組成，每個子體的值為，那么等于子體值的平均值，即。這樣克里金方差為：令xj’,表示另一個樣品ω,j的值〔當(dāng)j’=i時，xj’,=xi〕；vl表示V中的另一個子體的值〔當(dāng)1＝k時，v1=vk)。那么當(dāng)時上式可以改寫為：(1-78)從公式(1-73)可知，即半變異函數(shù)在樣品和間的平均值；從公式(1-69)可知，即半變異函數(shù)在幾何體V內(nèi)的平均值；從公式(1-71)可知：，即半變異函數(shù)在樣品ωi和V之間的平均值。將這些等價關(guān)系代入式(1-78)，得：(1-79)這樣，最正確估值就是在的條件下求到達最小值時的權(quán)值bi(i=1,2,……,n)。應(yīng)用拉格朗日乘子法，得拉格朗日函數(shù)：(1-80)式中，為拉格朗日乘子。在的條件下求到達最小的條件是拉格朗日函數(shù)對bi(i=1,2,……,n)和λ的一階