第三章離散傅氏變換§3.1離散傅里葉變換的定義§3.2DFS與DFT的基本性質(zhì)§3.3頻率域采樣§3.4DFT的應(yīng)用舉例§3.1離散傅里葉變換的定義離散信號的傅氏變換即序列的傅氏變換。且X(ejw)是w的連續(xù)函數(shù)周期為2p問題的提出：能否使連續(xù)函數(shù)w離散化離散傅氏變換（DFT：DiscreteFourierTransform）即DFT就是將離散信號的傅氏變換再離散化設(shè)xa(t)是一有限時寬信號，時寬為Tm，其頻譜也是經(jīng)過限帶處理的Xa(Ω)，其最高頻率為Ωm。如圖:ΩΩm-Ωm0Xa(Ω)1tTm0xa(t)1DFT的引出對時域信號抽樣，則抽樣信號頻譜為：（Xa(Ω)的周期延拓）周期Ωs=2π/Ts

應(yīng)滿足Ωs≥2Ωm，即Ts≤Tm/2，才使頻譜不混疊。ΩΩm-ΩmΩs-Ωs1/TstTm0x(n)=xa(t)Ts1頻域取樣導(dǎo)致時域信號的周期延拓，如圖其中，T1為的周期，Ω1=2π/T1。即有ΩΩm-Ωm0Xa(kΩ1)Ω11由圖可看出只要滿足T1≥Tm，就不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。tTm0T1-T1同理對頻譜Xa(W)取樣，取樣間隔W1，得到離散化頻譜Xa(kW1)。綜合以上二者情況，同時在時域和頻域抽樣，結(jié)果是信號與頻譜都被離散化，都成為周期序列，如圖示：k0N-N1/Tsn0N-N結(jié)論：任一域中數(shù)的取樣映射到另一域中都為函數(shù)的周期性重復(fù)。重復(fù)周期=2π/取樣間隔

Ωs=2π/TsT1=2π/Ω1 Ts時域抽樣間隔。T1時域重復(fù)周期。

Ω1頻域抽樣間隔。Ωs頻域重復(fù)周期。周期序列的離散傅氏級數(shù)則有對于k和n都是以N為周期的函數(shù)其中，令DFT導(dǎo)出模的概念：用((n))N表示（n模N）數(shù)學(xué)上就是n對N取余，令n=n1+mN，則有((n))N=n1是周期為N=9的序列，求n=25，n=-5兩數(shù)對N的余數(shù)例：n=25=2×9+7故((25))9=7n=-5=-1×9+4故((-5))9=4設(shè)x(n)是個長度為N的序列，即在0≤n≤N-1區(qū)間內(nèi)，有非零值利用矩形序列可有或有或0≤n≤N-1稱為主值區(qū)間（或稱為的主值序列）二者關(guān)系與x(n)和相同；同理，以N為周期的頻域序列或或也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓。即有在式中看到，雖然是對周期序列求和，但求和范圍都是其主值區(qū)間。故完全適用于主值序列X(k)與x(n)，因而可得到新的定義。已知離散傅氏級數(shù)定義：有限長序列的離散傅氏變換

處理的信號是有限時寬的，其頻譜也是限帶的;且要求與無混疊現(xiàn)象;要保證T1≥Tm(Ω1≤Ωm)和Ωs≥2Ωm注意：§3.2DFS與DFT的基本性質(zhì)且設(shè)、與都是周期為N的序列1、線性其中a、b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N一、DFS性質(zhì)2、序列的移位（循環(huán)移位）時域證明：令i=n+m，得n=i-m頻域移位證明：令k+l=i，則上式3、調(diào)制特性4、周期卷積

即若則即則如果證明：代入則周期卷積的計算（作圖法）m0Nm0Nm0Nm0Nn0Nm0N序列的線性卷積與周期卷積之間的幾點區(qū)別⑴線性卷積對參與卷積的兩序列無要求； 周期卷積要求卷積兩序列是周期相同的。⑵線性卷積求和范圍由兩序列長度和所在區(qū)間決定；

周期卷積求和范圍是一個周期。⑶線性卷積得到的序列長度由兩序列決定； 周期卷積的結(jié)果仍是周期序列。周期均為N其中5、對稱性共軛對稱和共軛反對稱概念對周期序列也適用。實序列的DFS是共軛對稱的實序列DFS的模與實部是偶函數(shù)，幅角與虛部是奇函數(shù)偶分量奇分量二、DFT性質(zhì)設(shè)1、線性說明：⑴若x1(n)與x2(n)長度都為N，并在0～N-1內(nèi)有值，則結(jié)果長度也是N⑵若x1(n)長度為N1，x2(n)為N2，則結(jié)果的長度N=max[N1，N2]計算時，以N序列長度，時寬不夠要補零2、序列的循環(huán)移位（圓周）某有限長序列x(n)，長度為N，求循環(huán)左移3位后的序列x1(n)。x(n)nN-10N一個有限長序列x(n)的循環(huán)移位是指用它的長度N為周期，延拓成周期信號，并將其加以移位，然后取主值區(qū)間0≤n≤N-1上的序列值。例3-2-1:(1)周期延拓nN-10Nn0N(3)取主值區(qū)間(2)左移3位x1(n)n0N得到x1(n)同理，設(shè)X2(k)是X(k)向左循環(huán)移l位得到的序列，則有循環(huán)移位后的DFT設(shè)x1(n)是x(n)向左循環(huán)移m位得到的序列，則有3、循環(huán)卷積（圓周卷積）(1)、設(shè)x1(n)與x2(n)是兩個長度為N的有限長序列，則循環(huán)卷積y(n)為即有限長序列x1(n)與x2(n)的循環(huán)卷積就是周期序列與周期卷積的主值序列。循環(huán)卷積的結(jié)果仍然是N點序列①滿足交換律②設(shè)則若有則若有(2)、性質(zhì)①作圖法：同周期卷積，然后取主值區(qū)間序列值。②同心圓法：將x1(n)和x2(n)分布在兩個同心圓上，內(nèi)圓按順時針方向刻度x1(n)，x1(0)x1(2)x1(1)x2(0)x2(1)x2(2)x2(N-1)外圈旋轉(zhuǎn)方向(3)、計算方法：將對應(yīng)值相乘后并相加得到y(tǒng)(0)將外圓順時針轉(zhuǎn)一位，相乘再加，得到y(tǒng)(1)，外圓按逆時針方向刻度x2(n)，并使x1(0)與x2(0)對齊。一直轉(zhuǎn)N-1位，求得y(N-1)例3-2-2設(shè)x1(n)={1,2,3,4,5}，x2(n)={6,7,8,9}，計算5點循環(huán)卷積解：x2(n)為4點，在其尾部填零使其成為5點序列， x2(n)={6,7,8,9,0}1234567890畫同心圓y(0)=1*6+2*0+3*9+4*8+5*7=100y(1)=1*7+2*6+3*0+4*9+5*8=95y(2)=1*8+2*7+3*6+4*0+5*9=85y(3)=1*9+2*8+3*7+4*6+5*0=70y(4)=1*0+2*9+3*8+4*7+5*6=100y(n)={100,95,85,70,100}67890利用循環(huán)移位特性寫成矩陣形式③矩陣法（類似序列排列法）y(n)={19,13,22}例3-2-3設(shè)x1(n)={1,2,3}x2(n)={4,5}，計算3點循環(huán)卷積解：x2(n)為2點，在其尾部填零使其成為3點序列， x2(n)={4,5,0}矩陣法4、對稱性

周期共軛對稱分量xep(n)，xep(n)=x*ep(N-n)，0≤n≤N-1

周期共軛反對稱分量xop(n)，xop(n)=-x*op(N-n)，0≤n≤N-1

由于有或定義：可導(dǎo)出對于頻域序列有完全類似的定義。性質(zhì)假設(shè)綜上所述可得到x(n)與X(k)的奇偶虛實關(guān)系x(n)[或X(k)]X(k)[或x(n)]偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱實數(shù)實部為偶對稱、虛部為奇對稱虛數(shù)實部為奇對稱、虛部為偶對稱實數(shù)偶對稱實數(shù)偶對稱實數(shù)奇對稱虛數(shù)奇對稱虛數(shù)偶對稱虛數(shù)偶對稱虛數(shù)奇對稱實數(shù)奇對稱x(n)與X(k)的奇、偶、虛、實關(guān)系三、Z變換和離散傅氏變換的關(guān)系Z變換與DFT(或DFS)的關(guān)系是取樣和內(nèi)插的關(guān)系。已知序列的傅氏變換就是單位圓上的Z變換。 離散傅氏變換是對序列傅氏變換的離散化， 即對單位圓Z變換的離散化。 那么DFT是其Z變換在單位圓上的采樣。設(shè)x(n)是一長度為N的有限序列，其Z變換為則其DFT為顯然，極點為z=0，收斂域包含單位園在z平面上，我們將單位圓z=ejw(0≤w<2π)進行N等分，如圖即令k=0～Ｎ-1將代入X(z)Im(z)Re(z)1結(jié)論：有限長序列的DFT是其Z變換在單位圓上的采樣。即繞單位圓一圈一圈地對z變換進行取樣，就得到令k由-∞～+∞重復(fù)0～N-1，如果將x(n)作為的一個周期且有§3.3頻率域采樣設(shè)任意序列x(n)的Z變換為且X(z)收斂域包含單位圓（即x(n)存在傅里葉變換）。在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點得到x(n)=IDFT[X(k)]，0≤n≤N-1由DFT與DFS的關(guān)系可知，X(k)是x(n)以N為周期，延拓而成的序列的離散傅里葉級數(shù)的主值序列，即將式(3.3.1)代入上式得式中(3.3.2)(3.3.3)如果序列x(n)的長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點數(shù)N≥M時，才有x(n)=IDFT[X(k)]=x(n)即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采樣定理。X(z)可由X(k)通過一個內(nèi)插式精確的恢復(fù)對括號內(nèi)求和用IDFT代入x(n)為內(nèi)插函數(shù)WN-Nk=1其中上式稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式，所以x(n)的Z變換也可由DFT求得。設(shè)序列x(n)長度為M，在頻域0~2p之間等間隔采樣N點，N≥M，則有當(dāng)z=ejω時，H(z)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式就成為x(n)的傅里葉變換X(ejω)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式，即進一步化簡可得§3.4DFT的應(yīng)用舉例DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語言信號處理、圖像處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。一、循環(huán)卷積的應(yīng)用1、用循環(huán)卷積求線性卷積設(shè)x(n)是長度為K點的有限長序列，h(n)是長度為M的限長序列，二者線性卷積若將x(n)與h(n)均補零，使其增長為N點序列，再進行N點循環(huán)卷積y(n)的長度為N=M+K-1。其中結(jié)論：N點的循環(huán)卷積是線性卷積以N為周期的周期延拓

的主值序列。 當(dāng)N≥M+K-1時，有yN(n)=y(n) 若N＜M+K-1時，則產(chǎn)生混疊現(xiàn)象（失真）。為線性卷積y(n)以N為周期的周期延拓。例3-4-1：已知輸入序列x(n)和系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(n)如圖， 試求其輸出序列y(n)解：y(n)=x(n)*h(n)①序列排列法x(n)={1,1,1,1,1}h(n)={1,1,1}1n01234x(n)K=51n012h(n)M=3111 111 111 111 111x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)11111h(2)h(1)h(0)1111n01234y(n)5623長度為N=M+K-1=7111y(0)=1y(1)=2y(2)=3y(3)=3y(4)=3y(5)=2y(6)=1②循環(huán)卷積：將x(n)與h(n)均補零，使之增長為N=3+5-1=7點的序列x(n)h(0)h(6)h(5)h(4)h(3)h(2)h(1)x(n)={1,1,1,1,1,0,0}h(n)={1,1,1,0,0,0,0}1n01234x(n)K=51n012h(n)M=3不同長度的循環(huán)卷積1n0123456231n012345623N=9781n012345623N=7n012343N=5

⑴重疊相加法設(shè)h(n)的長度為M，x(n)是長序列，將x(n)分為L段，每段長度為N，將每段分別與h(n)進行線性卷積，然后將結(jié)果重疊相加。設(shè)x(n)分為L段x0(n),x1(n),…xk(n),…xL-1(n)xk(n)表示為2、長序列的分段卷積則有注意：每一段yk(n)的長度為M+N-1，簡單相加(M+N-1)L點如果不分段卷積結(jié)果長度應(yīng)為NL+M-1所以不是簡單相加而是重疊相加。每段卷積的最后M-1個點必然和下一段最前面的M-1個點重合例3-4-2：已知輸入x(n)和單位沖激響應(yīng)h(n)，如圖1n012h(n)M=3n01234x(n)567891011121314151617K=5解：序列x(n)為18點，可分成4段，每段為5點長，M+K-1=7每段計算用線性卷積或循環(huán)卷積都可分別求得n01234y0(n)56123n067891011y1(n)1235n01213141516y2(n)1231011n013141516y3(n)123171819n012345678910111213141516171819123重疊相加設(shè)h(n)長度為M，x(n)是長序列，將x(n)分為L段，每段長度K將第一段前面補零，使其長度為M+K-1點，其余各段前面M-1個點均保留x(n)對應(yīng)的值，長度亦為M+K-1點；分段進行M+K-1點循環(huán)卷積，舍去每段前M-1個值，相加。例3-4-3：已知輸入x(n)和單位沖激響應(yīng)h(n)，如圖⑵重疊保留法1n012h(n)M=3n01234x(n)567891011121314151617K=5前面保留M-1=2點n01314151617x3(n)第一段前面補零M-1=2點M+K-1=7n01234x0(n)n0x1(n)67891011453n0x2(n)7891011131412x0(n)={0,0,1,1,1,1,1}x1(n)={1,1,1,1,1,1,1}x2(n)={1,1,1,1,1,1,1}x3(n)={1,1,1,1,1,0,0}舍去n01234y0(n)n06789y1(n)345n0148910y2(n)111213n018191314151617y3(n)舍去每段前M-1=2個值n012345678910111213141516171819123兩種方法結(jié)果相同注意：重疊保留法的要點舍去相加二、用DFT計算線性卷積y(n)=x(n)*h(n)x(n)LTI系統(tǒng)h(n)若則設(shè)利用DFT來減化計算工作量

循環(huán)卷積yN(n)在一定條件下等于有限長序列的線性卷積。因此yN(n)=y(n)=x(n)*h(n)yN(n)=IDFT[X(k)H(k)]H(k)X(k)N點DFTN點DFTh(n)x(n)長度K長度MN點IDFTy(n)條件N≥K+M-1X(k)H(k)相乘所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)域傅里葉分析顯然不適合用計算機直接進行計算，應(yīng)用受限；而DFT是時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運算，成為分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。

1、用DFT對連續(xù)信號進行譜分析 工程實際中，經(jīng)常遇到的連續(xù)信號xa(t)，其頻譜函數(shù)Xa(jW)也是連續(xù)函數(shù)。嚴(yán)格意義上講，持續(xù)時間有限的帶限信號是不存在的。下面分析中，假定xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號；DFT分析連續(xù)時間信號必為近似。三、用DFT對信號進行譜分析設(shè)連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間和Tm，最高頻率為fm，如圖所示xa(t)的傅里葉變換為對xa(t)進行采樣，T≤1/2fm(fs=1/T≥2fm)，得x(n)=xa(nT)。設(shè)共采樣N點，并對Xa(jf)作零階近似(t=nT,dt=T)得對X(jf)在區(qū)間［0,fs］上等間隔采樣N點，采樣間隔為F，如下圖所示Xa(jf)仍是f的連續(xù)周期函數(shù)，x(n)和X(jf)如圖所示0≤k≤N-1令則由于NT=Tm，所以(1)(2)將f=kF和式(1)代入X(jf)中可得Xa(jf)的采樣參數(shù)fs、Tm、N和F滿足如下關(guān)系式：(3)(4)(3)式表明，連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進行DFT再乘以T近似得到；時域采樣信號可由(4)式得出；在滿足采樣定理的條件下，可由Xa(k)恢復(fù)Xa(jf)或xa(t)；直接分析Xa(k)看不到Xa(jf)的全部頻譜特性，而只能看到N個采樣點的頻譜特性，這就是所謂的柵欄效應(yīng)；如果xa(t)持續(xù)時間無限長，上述分析中要進行截斷處理，所以會產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象。理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(jf)如圖所示現(xiàn)在用DFT來分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長，所以要截取一段Tm，假設(shè)Tm=8s，采樣間隔T=0.25s(即采樣頻率fs=4Hz)，采樣點數(shù)N=Tm/T=32。此時頻域采樣間隔F=1/NT=0.125Hz。則H(k)=T·DFT[h(n)],0≤k≤31 其中h(n)=ha(nT)R32(n)由圖可見，低頻部分近似理想低通頻響特性，高頻誤差較大，且整個頻響都有波動；由對ha(t)截斷產(chǎn)生的；如何減少這種誤差：適當(dāng)加長Tm，增加采樣點數(shù)N，或用窗函數(shù)處理后再進行DFT。對連續(xù)信號譜分析時，主要關(guān)心普分析范圍和頻率分辨率兩個問題；譜分析范圍受采樣頻率fs限制，頻率分辨率用頻率采樣間隔F描述。在已知信號的最高頻率fm(即譜分析范圍時)，為避免在DFT運算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率fs滿足下式fs＞2fm按照(1)式，譜分辨率F=fs/N，如果保持采樣點數(shù)N不變，要提高譜的分辨率（F減?。仨毥档筒蓸宇l率，采樣頻率的降低會引起譜分析范圍減少。如維持fs不變，為提高分辨率可以增加采樣點數(shù)N，因為NT=Tm，T=1/fs，只有增加對信號的觀察時間Tm，才能增加N。N和Tm可以按照下式進行選擇：(5)(6) 信號最高頻率fm=2.5kHz，試確定最小記錄時間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fm不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少?例3-4-1對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，因