金華一中2024屆高三數(shù)學(xué)10月月考試卷命題：郭文武校對：鄧福生一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，依題意陰影部分表示，再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，由韋恩圖可知陰影部分表示；故選：A2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為、，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的除法計(jì)算法則即可計(jì)算.【詳解】由題可知，，，，則的共軛復(fù)數(shù)為：，其虛部為.故選：A﹒3.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量減法、模的坐標(biāo)運(yùn)算列方程，化簡求得的值.【詳解】，，，，.故選：A4.奧林匹克標(biāo)志由五個(gè)互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié).五個(gè)奧林匹克環(huán)總共有8個(gè)交點(diǎn)，從中任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)的所有情況，求出滿足條件的情況即可求出.【詳解】從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有種情況，這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上有種情況，則所求的概率.故選：A.5.等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，則以下結(jié)論正確的是（）A.“q0”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件B.“q1”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件C.“q0”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件D.“q1”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】等比數(shù)列為遞增數(shù)列，有兩種情況，或，從而判斷出答案.【詳解】等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則，或，所以等比數(shù)列為遞增數(shù)列，但時(shí)，等比數(shù)列不一定為遞增數(shù)列所以“q0”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選：C6.為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)LOGO的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖像的一部分設(shè)計(jì)了如圖的LOGO，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究各函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性判斷函數(shù)圖象，即可得答案.【詳解】A：，即在定義域上遞增，不符合；B：，在上，在上，在上，所以在、上遞減，上遞增，符合；C：由且定義域?yàn)?，為偶函?shù)，所以題圖不可能在y軸兩側(cè)，研究上性質(zhì)：，故遞增，不符合；D：由且定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，研究上性質(zhì)：，故在遞增，所以在R上遞增，不符合；故選：B7.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的左頂點(diǎn)為，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo),結(jié)合條件求出，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率的取值范圍．【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點(diǎn)，則，∴，，∵，∴，即，∴，又，∴.故選：C.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，，且在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的值等于（）A.1 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件列不等式，從而求得的值.【詳解】依題意，的圖象關(guān)于對稱，，且在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以，其中，所以，，所以.故選：C二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選昤的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的有（）A.若隨機(jī)變量，則B.殘差和越小，模型的擬合效果越好C.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05D.數(shù)據(jù)4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位數(shù)為8【答案】ACD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求出概率判斷A；利用回歸模型的擬合效果判斷B；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想判斷C；求出第70百分位數(shù)判斷D作答.【詳解】對于A，隨機(jī)變量，由知，，A正確；對于B，因?yàn)闅埐钇椒胶驮叫?，模型的擬合效果越好，而殘差和小，殘差平方和不一定小，B錯(cuò)誤；C，由可判斷與有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，C正確；對于D，對數(shù)據(jù)從小到大重新排序，即：，共8個(gè)數(shù)字，由，得這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)8，D正確.故選：ACD10.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成的角是【答案】ABD【解析】【分析】A．利用三角形中位線進(jìn)行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯(cuò)誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．11.設(shè)點(diǎn)在圓上，圓方程為，直線方程為.則（）A.對任意實(shí)數(shù)和點(diǎn)，直線和圓有公共點(diǎn)B.對任意點(diǎn)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切C.對任意實(shí)數(shù)，必存在點(diǎn)，使得直線與圓相切D.對任意實(shí)數(shù)和點(diǎn)，圓和圓上到直線距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等【答案】ACD【解析】【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系判斷．【詳解】由題意，因此圓一定過原點(diǎn)，而直線總是過原點(diǎn)，A正確；當(dāng)圓方程為時(shí)，過原點(diǎn)且與圓相切的直線是軸，不存在，B錯(cuò)誤；對任意實(shí)數(shù)，作直線的平行線與圓相切，切點(diǎn)為，此時(shí)到直線的距離為1，即直線與圓相切，C正確；易知對任意實(shí)數(shù)，圓上到直線距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)，作與直線平行且距離為1的兩條直線和，（注意：和與圓恒相切），當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線和都與圓相切，兩個(gè)切點(diǎn)到直線的距離為1，當(dāng)直線不過點(diǎn)時(shí)，直線和中一條與圓相交，一條相離，兩個(gè)交點(diǎn)與直線距離為1，即只有2個(gè)點(diǎn)，D正確．故選：ACD．12.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：12345678910則（）A.當(dāng)?shù)炔顢?shù)列時(shí)，B.數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為C.當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，D.當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)知，利用特殊值法可判斷A，由裂項(xiàng)相消法求和可知B正確；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可判斷C，利用的關(guān)系，可判斷D.【詳解】由題目可知；對于選項(xiàng)A，若為等差數(shù)列，則不成立，比如公差為0時(shí)，，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，顯然，又，，因此選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，由，則，所以，因此選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，令，則即，，于是有，解得，于是有因此選項(xiàng)D正確.故選：BCD三?填空題：本大題共4小題，每小題5分.共20分.13.已知的展開式中第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為____________.【答案】60【解析】【分析】利用已知求出的值，然后再求出展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為零即可求解.【詳解】由已知可得，第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，解得，則的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象過點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出的值，由以及的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，則，則，因?yàn)?，可得，，則，，因此，.故答案為：.15.已知A，B是曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由曲線方程，結(jié)合根式的性質(zhì)求x的范圍，進(jìn)而判斷曲線的形狀并畫出草圖，再由圓的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合法判斷的最值，即可得其范圍.【詳解】由，得.由，所以或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.當(dāng)A，B分別與圖中的M，N重合時(shí)，取得最大值，為6；當(dāng)A，B為圖中E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)中的某兩點(diǎn)時(shí)，取得最小值，為.故的取值范圍是.故答案為：.16.如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】首先設(shè)，利用垂直關(guān)系，可得，再結(jié)合基本不等式求面積的最值，以及等號成立的條件求，根據(jù)幾何體的特征，求外接球的半徑，即可求解外接圓的表面積.【詳解】由余弦定理得：設(shè)，則，由得：，解得：，因?yàn)?，故由基本不等式得：?dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)取最小值.底面三角形外接圓半徑，.故答案為：四?解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別是向量，，且．（1）求角A；（2）若，的面積為，求b、c．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入中，利用正弦定理邊化角的轉(zhuǎn)化及進(jìn)行化簡得到，再利用輔助角公式得，根據(jù)條件求出；（2）由及（1）求出的值，在利用余弦定理及，求出的值，聯(lián)立方程組解出結(jié)果.小問1詳解】，根據(jù)正弦定理，即，因?yàn)?，得，由，整理得，，即，，或，得或（舍去），即【小?詳解】，根據(jù)余弦定理，得，則，，又，則或18.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，進(jìn)而可得，，即得；（2）由題可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，然后利用分組求和法即得.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，∵正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，∴，兩式相除可得，∴，，∴.【小問2詳解】當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴，∴.19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若側(cè)面底面，且，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，，從而求出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且，∵底面是菱形，且為的中點(diǎn)，∴且，∴且.∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵平面，平面，∴平面.【小問2詳解】連接，由得是等邊三角形，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，∴側(cè)面，因?yàn)?，，由余弦定理的：，解得：，以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，如圖所示.則，，，，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得：，令，則，故，∴，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，且對成立，求的最小值；（2）若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)關(guān)于軸對稱，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由求的最小值；（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，列等式化簡求出交點(diǎn)坐標(biāo)可得的長.【小問1詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，則，由解得，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，由題意，則，所以m的最小值為；【小問2詳解】由題意的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，化為有解，設(shè)，則；則由得，由得，消去，得，顯然；當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程無解；故此方程的解為，即，∴，，則.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，可轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，列出等式，利用指數(shù)式和對數(shù)式的運(yùn)算，化簡得到點(diǎn)縱坐標(biāo)，可得的長.21.為倡導(dǎo)公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學(xué)生社會實(shí)踐能力，某中學(xué)開展了舊物義賣活動，所得善款將用于捐贈“圓夢困境學(xué)生”計(jì)劃.活動共計(jì)50多個(gè)班級參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當(dāng)屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學(xué)有購買意向.假設(shè)三個(gè)班的人數(shù)比例為.（1）現(xiàn)從三個(gè)班中隨機(jī)抽取一位同學(xué)：（i）求該同學(xué)有購買意向的概率；（ii）如果該同學(xué)有購買意向，求此人來自2班的概率；（2）對于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設(shè)計(jì)了一種有趣的“擲骰子叫價(jià)確定購買資格”的競買方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價(jià)，通過擲骰子確定新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)大于2，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加1元更新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)小于3，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加2元更新叫價(jià)；重復(fù)上述過程，能叫到10元，即獲得以10元為價(jià)格的購買資格，未出現(xiàn)叫價(jià)為10元的情況則失去購買資格，并結(jié)束叫價(jià).若甲同學(xué)已搶先選中了其中一本筆記本，試估計(jì)其獲得該筆記本購買資格的概率（精確到0.01）.【答案】（1）（i）；（ii）（2）0.75.【解析】【分析】（1）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.根據(jù)全概率公式即可求解，根據(jù)條件概率公式即可求解；（2）由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為，每次叫價(jià)增加2元的概率為.設(shè)叫價(jià)為元的概率為，叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為；②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為.于是得到，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合累加法可求解.【小問1詳解】（i）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.由題意可知，，所以，由全概率公式可得：.（ii）由條件概率可得.【小問2詳解】由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為，每次叫價(jià)增加2元的概率為.設(shè)叫價(jià)為元的概率為，叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為；②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為.于是得到，易得，由于，于是當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.于是于是，甲同學(xué)能夠獲得筆記本購買資格的概率約為