專題9.8整式乘法與因式分解全章八類必考壓軸題【蘇科版】1．已知4x=a,2y=b,8z=ab，那么A．2x+y=z B．xy=3z C．2x+y=3z D．2xy=z【分析】根據(jù)題意得出22x=a,2【詳解】解：∵4∴22x∴2∴3z=2x+y，故選：C．2．已知100a=20，1000b=50，則A．0 B．52 C．3 D．【分析】利用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方等法則進行計算，即可得出答案．【詳解】解：∵100a=20，∴(10∴102a∴102a∴2a+3b=3，∴a+3∴a+3故選：A．3．若x，y均為實數(shù)，43x=2021,47y【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則得出43xy?47xy【詳解】解：∵43x∴43xy又∵43xy∴2021∴xy=x+y，∴x+y4．我們知道下面的結論，若am=an(a>0，且a≠1)，則m=n，利用這個結論解決下列問題：設2m=3，2n=6，2p=24，現(xiàn)給出m，n，p三者之間的三個關系式：①【分析】由2n=6=2×3=2×2m=2m+1，得出n=m+1，由2p=24=23【詳解】解：∵2∴n=m+1，∵2∴p=m+3，∴p=n+2，∴m+p=m+n+2=n+n+1=2n+1，∴①符合題意；∵p+n=m+3+m+1=2m+4，∴②符合題意；∵m∴③不符合題意，故答案為：①②．5．比較下列各題中冪的大?。海?）已知a=8131,b=2741,c=961（2）比較255,344（3）已知P=999999,Q=11（4）(-2)234_______5100（填“>”“<”或“=”【分析】（1）根據(jù)冪的乘方公式，化為底數(shù)是3的形式進行比較；（2）根據(jù)冪的乘方公式，化為指數(shù)是11的形式進行比較；（3）用求商法比較大??；（4）由(-2)234=【詳解】（1)因為a=(34)31=3(2)因為255=(25)11=3211，(3)因為PQ=99(4)因為(-2)234=(6．由冪的運算法則逆向思維可以得到am+n=am?(1)計算：52020(2)若3×9m×(3)比較大小：a=255，b=344，c=533，d=622，請確定【分析】（1）根據(jù)積的乘方公式，進行逆運算，即可解答；（2）轉化為同底數(shù)冪進行計算，即可解答；（3）轉化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，即可解答．【詳解】（1）解：5故答案為：25；（2）∵3×9∴3×3∴3×32m×∴1+2m+3m=11，解得m=2；（3）由題可得：a=255=2511=∵32<36<81<125，∴3211即a<d<b<c．7．閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J．Napier，1550年-1617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（Euler，1707年-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a＞0,a≠1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN．比如指數(shù)式24=16可以轉化為4=log216，對數(shù)式2=log525可以轉化為52=25（1）將指數(shù)53=125（2）仿照上面的材料，試證明：log（3）拓展運用：計算log32【分析】（1）根據(jù)題意可以把指數(shù)式53=125寫成對數(shù)式；（2）先設logaM=x，logaN=y，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M=ax，N=ay，計算MN（3）根據(jù)公式：loga（M?N）=logaM+logaN和logaMN=loga【詳解】（1）∵一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：記作：x=logaN．∴3=log5125，故答案為：3=log5125；（2）證明：設logaM=x∴M=ax，∴MN由對數(shù)的定義得loga又∵x-y=log∴l(xiāng)og（3）log32+log318-log故答案為：2.1．關于x的三次三項式A=5x3-6x2+10=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d（其中a，b，①當A+B為關于x的三次三項式時，則f=-10；②當多項式A與B的乘積中不含x?項時，則e=6；③a+b+c=9；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)整式的加減混合運算即可判斷①，根據(jù)整式的乘法運算即可判斷②，將x=1和x=2代入即可判斷③．【詳解】解：∵A=5x3-6∴A+B=4x∵A+B為關于x的三次三項式，且e為非零常數(shù)，∴f+10=8，解得：f=-10，說法①正確；A?B=(5=5x∵多項式A與B的乘積中不含x?項，∴5e-3=0，解得e=1.7，說法②錯誤；A=5x當x=1時，d=5-5+10=9，當x=2時，a+b+c+d=4×2則a+b+c=17，說法③錯誤．故選：B．2．已知x2-ax【分析】利用多項式乘多項式法則將原式展開，根據(jù)題意展開式中不含三次項和四次項，可得2-2a=0，-3+3a+2b=0，求解即可得a,b的值，然后代入求值可確定展開式中二次項和一次項的系數(shù)，求和即可得答案．【詳解】解：x=2x4根據(jù)題意，展開式中不含三次項和四次項，∴2-2a=0，-3+3a+2b=0，解得a=1，b=0，∴5-5a-3b+4=5-5×1-3×0+4=4，5b-6=5×0-6=-6，即展開式中二次項系數(shù)為4，一次項的系數(shù)為-6，∴展開式中二次項和一次項的系數(shù)之和為4+(-6)=-2．3．若x2+px-13x(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式-2p【分析】（1）將原式根據(jù)多項式乘以多項式法則展開后合并同類項，由積中不含x項與x3項可知x項與x3項的系數(shù)均等于0，可得關于p、（2）由（1）中p、q的值得pq=-1，將原式整理變形成-2p?pq2+3pq3+pq2022【詳解】（1）解：x=x∵積中不含x項與x3∴1+pq=0p-3=0∴p=3q=-（2）解：由（1）得pq=-1，-2p4．（1）試說明代數(shù)式(s-2t)(s+2t+1)+4tt+12的值與s（2）已知多項式ax-b與2x2-x+2的乘積展開式中不含x的一次項，且常數(shù)項為-4（3）已知二次三項式2x2+3x-k有一個因式是(2x-5)【分析】（1）先算多項式乘多項式以及單項式乘多項式，再合并同類項，即可得到結論；（2）先算多項式乘多項式，從而得到2a+b=0，-2b=-4，進而即可求解；（3）由題意得2x2+3x-k=(2x-5)【詳解】解：（1）(s-2t)(s+2t+1)+4t＝s2＋2st＋s?2st?4t2?2t＋4t2＋2t＝s2＋s．故代數(shù)式(s-2t)(s+2t+1)+4tt+12的值與s（2）∵（ax-b）（2x2-x+2）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx又∵多項式ax-b與2x2-x+2的乘積展開式中不含x∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，∴ab=-1（3）∵二次三項式2x2+3x-k∴2x2+3x-k=(2x-5)(x+m)∴2m-5=3，5m=k，∴m=4，k=20，另一個因式為：x+4．5．給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對a，b，c叫做關于x的二次多項式ax2+bx+c(1)關于x的二次多項式3x2+2x-1(2)有序?qū)崝?shù)對2，a，1的附屬多項式與有序?qū)崝?shù)對【分析】（1）根據(jù)新定義進行求解即可；（2）根據(jù)新定義先表示出兩個多項式，再根據(jù)題意進行計算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，多項式3x2+2x-1故答案為：3，（2）根據(jù)題意得，有序?qū)崝?shù)對2，a，有序?qū)崝?shù)對1，-2，∵兩個多項式的差中不含一次項，∴2x∴a+2=0，∴a=-2．1．若一個只含a字母的多項式的項數(shù)是偶數(shù)，用該多項式去乘(a+1)，若該多項式的項數(shù)是奇數(shù)，則用該多項式去乘(a-1)，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項式的項數(shù)是偶數(shù)，用該多項式去乘(a+1)，若該多項式的項數(shù)是奇數(shù)，則用該多項式去乘(a-1)稱這為第二此操作，以此類推．①將多項式(a2-1)以上述方式進行2②將多項式(a2+2a)以上述方式進行3③將多項式(a2+2a+1)以上述方式進行4次操作后，當a=2④將多項式(a-1)以上述方式進行n次操作后所得多項式為(a-1)(a+1)四個結論錯誤的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)題意，計算出(a2-1)進行2次操作后所得多項式，即可判定①；根據(jù)題意，計算出(a2+2a)以上述方式進行3次操作后所得多項式，即可判定②；根據(jù)題意，計算出(a2+2a+1)進行4次操作后所得多項式，再把a=2【詳解】解：(a2-1)第1(a2-1)第2∴(a2-1)第2次操作后所得多項式項數(shù)是故①錯誤；(a2+2a)第1(a2+2a)第2(a2+2a)第3∴將多項式(a2+2a)以上述方式進行故②正確；(a2+2a+1)第1(a2+2a+1)第2(a2+2a+1)第3(a2+2a+1)第4當a=2時，a6故③正確；(a-1)第1次操作后，得(a-1)a+1(a-1)第2次操作后，得(a-1)a+1(a-1)第3次操作后，得a-1(a-1)第4次操作后，得a-1…(a-1)第n次操作后，得a-1a+1故④錯誤；綜上，錯誤的有①④共2個，故選：C．2．我國宋代數(shù)學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項式的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請你利用楊輝三角，計算(a+b)6的展開式中，從左起第四項是____________(a+b)0=

(a+b)1=

a+b································1(a+b)2=

a2+2ab+b(a+b)3=

a3+3a2b+3a(a+b)4=

a4+4a3b+6a2【分析】通過觀察可知“楊輝三角”的規(guī)律：①每個數(shù)等于上方兩數(shù)之和；②每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大；③a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大；依據(jù)此規(guī)律，可得出最后答案．【詳解】解：由題意可知：每個數(shù)等于上方兩數(shù)之和，∴a+b5的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，5，10，10，5，1∴a+b6的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，6，15，20，15，6，1又∵a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大，∴a+b6展開式左起第四項是20故答案為：20a3．觀察下列各式及其展開式：a+b2(a+b)3a+b4a+b5??請你猜想(2x-1)8的展開式中含x2項的系數(shù)是（A．224 B．180 C．112 D．48【分析】由材料可知，括號里的前項的指數(shù)從高到底的排列，括號里的后項的指數(shù)從低到高的排列，首位系數(shù)都是1，中間數(shù)字分別為上一組數(shù)據(jù)相鄰兩數(shù)之和，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)材料可知，系數(shù)的關系如下，二次冪時的系數(shù)：1

2

1三次冪時的系數(shù)：1

3

3

1四次冪時的系數(shù)：1

4

6

4

1五次冪時的系數(shù)：1

5

10

10

5

1六次冪時的系數(shù)：1

6

15

20

15

6

1七次冪時的系數(shù)：1

7

21

35

35

21

7

1八次冪時的系數(shù)：1

8

28

56

70

56

28

8

1∴含x2項的系數(shù)是28×故選：C．4．閱讀下列材料，完成相應任務．楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝遲393年，比賈憲遲600年．楊輝三角是我國古代數(shù)學的杰出研究成果之一，他把二項式乘方展開式系數(shù)圖形化，如下圖所示：a+ba+ba+ba+b…完成下列任務：(1)寫出a+b5(2)計算：75【分析】（1）根據(jù)前面4個等式的提示，歸納出系數(shù)與指數(shù)的規(guī)律，從而可得a+b5（2）利用（1）中展開式，設a=7，b=-6，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵a+ba+ba+ba+b∴(a+b)5（2）∵(a+b)5=a5+5∴7=7-6=1．5．觀察下列各式：x-1x-1x-1(1)根據(jù)以上規(guī)律，則x-1x6(2)你能否由此歸納出一般規(guī)律x-1xn(3)根據(jù)以上規(guī)律求32022【分析】（1）根據(jù)給出式子的規(guī)律書寫即可；（2）根據(jù)給出式子的規(guī)律即可得出結果；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律計算即可；【詳解】（1）∵x-1x+1x-1xx-1x∴x-1x6+故答案是：x7（2）根據(jù)題意得：x-1x故答案是：xn+1（3）∵3-13∴320226．（1）計算并觀察下列各式：第1個：a-ba+b=第2個：a-ba2第3個：a-ba3……這些等式反映出多項式乘法的某種運算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則a-ban-1（3）利用（2）的猜想計算：2n-1+（4）拓廣與應用：3n-1+【分析】（1）根據(jù)平方差公式及多項式乘法的計算求解即可；（2）由（1）中計算得出相應規(guī)律即可；（3）利用（2）中所得規(guī)律求解即可；（4）根據(jù)（2）中所得規(guī)律計算即可．【詳解】解：（1）a-ba+ba-baa-ba故答案為：a2-b2，（2）根據(jù)（1）中規(guī)律得：a-ba故答案為：an-（3）2故答案為：2n-1（4）3n-1故答案為：3n1．已知：x+y2=12，x-y2=4，則【分析】利用完全平方公式將已知等式展開，然后將其相加即可求得x2+y2的值，將其相減得到代【詳解】解：∵x+y2=12，x-y∴x②＋①得：x2①－②得：xy=2，∴x2故答案為：142．已知1b-1a=8-cab【分析】由1b-1a=8-cab可得a+c=8+b，將ab+bc+2b+【詳解】∵1b∴a+c=8+b，∵ab+bc+2b+c∴b(a+c)+2b+c∴b(8+b)+2b+c∴b2∴(b+5)2∴b+5=0，c=0，∴b=-5，∴a=3，∴ba故答案為：-3．已知a，b，c滿足：a2+2b=7，b2【分析】將已知等式左右兩邊分別相加，再配方成非負數(shù)的和為0，求出a、b、c的值，代入即可求出式子的值．【詳解】解：∵a2∴a2∴a2∴a-32∴a-3=0，∴a=3，∴13故答案為：3．4．已知a-b=4時，多項式ab+c2的值為-4，則aba2A．-1 B．-12 C．-1【分析】根據(jù)已知條件得出b+22≤0，又b+22≥0，進而得出b=-2，a【詳解】解：∵a-b=4時，多項式ab+c2的值為∴a=b+4，ab+4=-∴ab+4≤0即b+4∴b即b+22≤0，又∴b∴a=-2+4=2，∴ab=-4，c=0∴aba故選：B．5．已知有理數(shù)a，b，c滿足a-b+c-3=0，a2+b2+A．-2019 B．-2020 C．-2021 D．-2022【分析】由(a-b+c)2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc得2ab-2ac+2bc=-6【詳解】解：∵a-b+c-3=0，a2∴a-b+c=3，a2∵(a-b+c)2∴9=整理，得2ab-2ac+2bc=-6，∴(a+b)2∵(a+b)2≥0，(b+c)2∴a+b=0，b+c=0，a-c=0，∴a=-b=c，∴a-b+c=a+a+a=3，∴a=1，∴b=-1，c=1，把a=1，b=-1，c=1代入a3原式=1故選：C．6．已知a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，那么a2A．1 B．3 C．6 D．1010【分析】分別求出a-b、b-c、c-a的值，然后利用完全平方公式將題目中的式子變形，再整體代入即可完成．【詳解】解：∵a=2020m+2021n+2020，b=2020m+2021n+2021，c=2020m+2021n+2022，∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，∴a故選：B．7．已知：x+y=5，求：①x2+5xy+y2【分析】①利用完全平方公式的變形將所求的式子變形為x2②先根據(jù)完全平方公式的變形和積的乘方計算法則得到x2+y2=19【詳解】解：①∵x+y=5，∴x2②∵x+y=5，∴x2+∴x48．閱讀下列材料，完成后面的任務．完全平方公式的變形及其應用我們知道，完全平方公式有：a+b2=a在解題過程中，根據(jù)題意，若將公式進行變形，則可以達到快速求解的目的，其變形主要有下列幾種情形：①a2+b2=a+b2④ab=1根據(jù)上述公式的變形，可以迅速地解決相關問題．例如：已知x+y=3，x-y=1，求x2解：x2任務：(1)已知x+y=5，x-y=3，則xy=______．(2)已知x+y=7，x2+y【分析】（1）根據(jù)已知ab=1（2）根據(jù)已知a2【詳解】（1）∵ab=1∴xy=x（2）∵x2∴25=127∴x-y21．數(shù)學活動課上，老師準備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：_________；方法2：__________．(2)請你直接寫出三個代數(shù)式：a+b2，a2+(3)根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知m+n=5，m2+n2=20②已知x-20212+x-2023【分析】（1）利用陰影兩部分直接求和與用總面積減去空白部分面積兩種方法即可求解；（2）由圖2中陰影部分面積的表示即可得到答案；（3）①由（2）的關系可得(m+n)2②設x-2021=a，則x-2023=a-2，x-2022=a-1，依題意，得a2∴a2【詳解】（1）陰影兩部分求和為：a2用總面積減去空白部分面積為：(a+b)2故答案為：a2+b（2）由題意得，(a+b)2（3）①由（2）得(m+n)2∴25=20+2mn，解得mn=2.5，∴(m-n)2②設x-2021=a，則x-2023=a-2，x-2022=a-1，依題意，得a2∴a2可求得a2由整體思想，得(x-2022)22．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為S（1）用含a、b的代數(shù)式分別表示S1、S（2）若a-b=8，ab=13，求S1（3）用a、b的代數(shù)式表示S3；并當S1+S2【分析】（1）由圖中正方形和長方形的面積關系，可得答案；（2）根據(jù)S1+S2=a2-b2+2（3）根據(jù)S3=a2+b2-12【詳解】解：（1）由圖可得，S1=a2（2）∵a-b=8，ab=13∴所以S1+S（3）由圖可得：S所以圖③中陰影部分的面積S3為173．閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數(shù)學公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關系是__________（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個等式：__________．（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數(shù)學公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：___________．【分析】(1)由圖②中各個部分面積之間的關系可得答案；(2)根據(jù)圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個長方形的面積為ab，由各個部分的面積之間的關系可得出答案；(3)由公式變形x-y2(4)大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，在分別表示出大正方形中9塊的面積，可得答案；(5)根據(jù)拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b），即為3a2＋3b2＋10ab，因此x＝3，y＝3，z＝10，進而拼圖即可；(6)根據(jù)大正方體的體積為（a＋b）3，以及8個“小塊”的體積之間的關系得出結果即可．【詳解】（1）根據(jù)圖②各個部分面積之間的關系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）∵圖③中，大正方形的面積為（a＋b）2，小正方形的面積為（a﹣b）2，每個長方形的面積為ab，∴a+b故答案為：a+b2（3）利用（2）的結論，可知x-y2∵x＋y＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根據(jù)圖④，大正方形的面積可表示為（a＋b＋c）2，∵內(nèi)部9塊的面積分別為：a2∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc故答案為：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）∵（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，∴x=3,y=3,z=10，即需要3張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，10張寬、長分別為a、b的長方形紙片，畫圖如下：∴x＋y＋z＝16；（6）根據(jù)圖⑥，大正方體的體積為（a＋b）3，分割成8個“小塊”的體積分別為：a3∴（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2故答案為：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．4．（1）【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．圖1中陰影部分面積為__________，圖2中陰影部分面積為__________，請寫出這個乘法公式__________．（2）【知識應用】應用（1）中的公式，完成下面任務：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=m2+2m+1m2-2m+1，（3）【知識遷移】事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖3中圖形的變化關系，寫出一個代數(shù)恒等式：____________________．【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可；（2）利用平方差公式，計算P-Q的差即可；（3）分別用代數(shù)式表示圖3中左圖、右圖的體積即可．【詳解】解：（1）圖1中陰影部分的面積可以看作是兩個正方形的面積差，即a2-b2，圖2是長為a+b，寬為a-b的長方形，因此面積為（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2，（a+b）（a-b），a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）P-Q=（m2+2m+1）（m2-2m+1）-（m2+m+1）（m2-m+1）=（m2+1）2-4m2-（m2+1）2+m2=-3m2，∵m是不為0的有理數(shù)，∴-3m2＜0，即P-Q＜0，∴P＜Q；（3）圖3左圖的體積為x?x?x-1×1×x=x3-x，圖3右圖是長為x+1，寬為x，高為x-1的長方體，因此體積為（x+1）?x?（x-1），因此有x3-x=x（x+1）（x-1），故答案為：x3-x=x（x+1）（x-1）．．5．若x滿足(7-x)(x-4)=2，求(x-7)2解：設7-x=a,?x-4=b所以(x-7)請仿照上面的方法求解下面的問題（1）若x滿足(8-x)(x-3)=3，求(8-x)2（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD，DC上的點，且AE=2，【分析】（1）設8-x=a,x-3=b，從而可得ab=3,a+b=5，再利用完全平方公式進行變形運算即可得；（2）先根據(jù)線段的和差、長方形的面積公式可得(x-2)(x-5)=28，再利用正方形MFRN的面積減去正方形DFGH的面積可得陰影部分的面積，然后仿照（1）的方法思路、結合平方差公式進行變形求解即可得．【詳解】（1）設8-x=a,x-3=b，則ab=3,a+b=5，所以(8-x)2=(a+b)=5=19；（2）由題意得：MF=DE=x-2,DF=x-5，DE?DF=(x-2)(x-5)=28，因為陰影部分的面積等于正方形MFRN的面積減去正方形DFGH的面積，所以陰影部分的面積為MF設x-2=m,x-5=n，則mn=28,m-n=3，所以(m+n)2由平方根的性質(zhì)得：m+n=11或m+n=-11<0（不符題意，舍去），所以(x-2)2=(m+n)(m-n)，=11×3，=33，故陰影部分的面積為33．6．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，例如圖1可以得到(a+b)2（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式（2）根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；（3）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35，則a2（4）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形z張邊長分別為a,b的長方形紙片拼出一個面積為(5a+7b)(9a+4b)長方形，則x+y+z=【分析】（1）利用整體法求解正方形的面積為(a+b+c)2，利用分割法求解正方形的面積為：a（2）利用多項式乘以多項式的法則把左邊通過計算展開，合并同類項后可得結論；（3）利用變形公式：a2（4）由題意可得，所拼圖形的面積為:xa2+yb2【詳解】解：（1）∵正方形的面積=(a+b+c)正方形的面積=∴故答案為:∴（2）證明：(a+b+c)(a+b+c)==（3）∵a+b+c=10,ab+ac+bc=35∴==100-2×35,=30.故答案為:30（4）由題可知，所拼圖形的面積為:x∵(5a+7b)(9a+4b)=45=45∴x=45,y=28,z=83∴x+y+z=45+28+83=156故答案為：1567．問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解決該問題時，采用了以下解法：解：設（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)請補全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，則（30﹣x）2+（x﹣20）2的值為．類比研究(3)若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CG＝3，長方形EFGD的面積是10，分別以DE、DG為邊長作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積為（結果必須是一個具體數(shù)值）．【分析】（1）根據(jù)題干步驟進行求解即可；（2）由（1）的步驟進行求解即可；（3）根據(jù)題干的步驟反向求解即可；（4）先表示出相應的量，再按照題干方法步驟求解即可；【詳解】（1）解：設（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．（2）設（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，則mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．（3）設（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，則（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．因為t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．（4）∵DE=x-1∴S∵x-31-x=-10∴S陰影部分的面積為：S四邊形必考點6必考點6利用因式分解探究三角形形狀1．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級四川省隆昌市第一中學校考階段練習）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb-ac=0A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb-ac=0，分別提取公因式即可得到(b+c)(b-a)=0，(a+b)(a-c)=0，再根據(jù)b+c≠0，a+b≠0，得到【詳解】解：∵b2+bc-ba-ca=0∴(b+c)(b-a)=0，(a+b)(a-c)=0，又∵a、b、c是△ABC∴b+c≠0，a+b≠0，∴b-a=0，a-c=0，∴b=a，a=c，∴a=b=c，∴該三角形是等邊三角形，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是能夠?qū)︻}目提供的式子進行因式分解．2．（2018秋·江西·八年級?？茧A段練習）先閱讀下面的材料，再解決問題：要把多項式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項分成一組，并提出a；把它的后兩項分成一組，并提出b，從而得到am+n+bm+n.這時，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，從而得到a+bm+n.在三角形中，若任意兩條邊的差均為0，則這個三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0，則這個三角形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0，則這個三角形是直角三角形。請用上面材料中提供的方法解決問題：（1）將多項式ab-ac+b（2）若ΔABC的三邊a、b、c滿足條件：a4-b4【答案】（1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形【分析】（1）將前兩項以及后兩項重新分組進而分解因式得出答案；（2）利用分組分解法將原式分解進而得出答案．【詳解】解：（1）ab-ac+b2-bc=（ab-ac）+（b2-bc）=a（b-c）+b（b-c）=（a+b）（b-c）；（2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0∵a2+b2＞0∴a2-b2+c2=0即

a2+c2=b2∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題主要考查了分組分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正確分組是解題關鍵．3．（2022秋·八年級課時練習）（1）若a、b、c是三角形的三條邊，求證：a2（2）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a+b+c=322，a（3）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿足a2b-c+【答案】（1）見解析；（2）△ABC是等邊三角形，見解析；（3）△ABC是等腰三角形，見解析【分析】（1）用分組分解法進行因式分解，先變形為a2（2）由題意可得a+b+c2=92．結合a2+b2+c2=3（3）對a2b-c據(jù)此可解．【詳解】解：（1）∵a=∵a、b、c是三角形三邊，∴a+b+c>0且a<b+c．∴a+b+ca-b-c即a2（2）△ABC是等邊三角形，理由如下：∵a+b+c=3∴a+b+c2∴a2又∵a2∴2ab+2bc+2ac=3．∴2ab+2bc+2ac=2a∴2a∴a-b2∵a-b2≥0，b-c2∴a-b=0，b-c=0，a-c=0．∴a=b=c．∴△ABC是等邊三角形．（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：a==a=a=b-c=b-c=b-c∵a∴b-ca-b∴b=c或b=a或a=c．∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應用，靈活運用提公因式法、公式法、分組分解法進行因式分解是解題的關鍵.4．（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）求解下列問題：(1)若x2+2y(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b【答案】(1)1(2)等腰三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出x,y的值，代入計算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式運算法，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a=3,b=4,c=4，【詳解】（1）解：∵∴(x∴(x-y)∵∴x-y=0,y+4=0,∴x=y=-4.

y（2）∵∴(a(a-3)2∵∴a-3=0,b-4=∴a=3,b=4,c=4.∴c=b≠a.∵a、b、∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定義，非負數(shù)的性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪是解題的關鍵．5．（2022秋·福建福州·八年級校考期中）若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足等式3a2【答案】等邊三角形【分析】將已知等式化為a-b2+b-c【詳解】解：∵3a∴3即2即a∴a-b2∴a-b2=0，b-c∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=c∵△ABC的三邊長分別為a，b，c，∴該三角形是等邊三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應用，等邊三角形的判定，得出a=b=c是解題的關鍵．6．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，要將多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項分成一組，提出公因式b，從而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，這時am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出(1)嘗試填空：ac-bc+ab-a2(2)解決問題：因式分解2x-18+xy-9y；(3)拓展應用：已知三角形的三邊長分別是a，b，c，且滿足a2【答案】(1)a-bc-a(2)2+y(3)△ABC是等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）利用分組分解法因式分解即可；（2）利用分組分解法因式分解即可；（3）利用分組分解法因式分解，再利用非負數(shù)的性質(zhì)證明a=b=c即可．【詳解】（1）解：ac-bc+ab-=ac-bc-=c=a-b故答案為：a-bc-a（2）2x-18+xy-9y=2=2+y（3）結論：△ABC是等邊三角形．理由：∵a2∴a2-2ab+∵a-b2≥0，∴a-b=0，c-b=0，∴a=b=c∴△ABC是等邊三角形．【點睛】本題考查了分組分解法，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識，解題的關鍵是根據(jù)范例熟練掌握分組分解．7．（2022春·山東青島·八年級?？计谥校?shù)形結合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．我們常利用數(shù)形結合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為a的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為b(b<a)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵BC=a，AB=a-b，CF=b，∴長方體①的體積為ab(a-b)．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______________．(5)問題應用：利用上面的結論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求a3(6)類比以上探究，嘗試因式分解：a3+b【答案】(1)a(2)a(3)b2a-b(4)a(5)252(6)a+b【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長為a+b、寬為a-b的長方形的面積，由此即可得；（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；（3）根據(jù)長方體的體積公式即可得；（4）根據(jù)（2）和（3）的結論可得a3（5）先利用完全平方公式求出a2+b（6）將a3+b3改寫成（1）解：圖1中陰影部分的面積為a2圖2中陰影部分的面積為a+ba-b∵拼圖前后圖形的面積不變，∴a∴可得一個多項式的分解因式為a2故答案為：a2（2）解：由題意，得到的幾何體的體積為a3故答案為：a3（3）解：∵EN=b,DE=b,DM=a-b，∴長方體②的體積為b2∵GH=a,FG=a-b,HR=a，∴長方體③的體積為a2故答案為：b2a-b，（4）解：由（2）和（3）得：a3則可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為a3故答案為：a3（5）解：∵a-b=6,ab=2，∴a∴a（6）解：由（4）可知，a3則a==a+b故答案為：a+ba【點睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識點，熟練掌握利用不同的方法表示同一個幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關鍵．8．（2020秋·湖南衡陽·八年級校考階段練習）閱讀材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0∵根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知一個不等邊三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b、c都是正整數(shù)，并滿足a2+b（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+c（3）試探究關于x、y的代數(shù)式5x2-4xy+y2【答案】（1）4；（2）等邊三角形；（3）最小值為16，此時x=-3，y=-6．【分析】（1）首先根據(jù)a2+b2-4a-6b+13=0，應用因式分解的方法，判斷出（a-2）2+（b-3）2=0，求出a（2）先把原式化為（a-b）2+（b-c）2=0，再利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a=b=c，那么△ABC是等邊三角形；（3）將原式變形為x+32+2x-y2+16【詳解】解：（1）a2∴a-22∴a=2，b=3，∴1＜c＜5，∴c=4；（2）a2∴a2∴a2∴a-b2∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形；（3）有最小值，5=x=x+3∵x+32≥0，∴原式≥16，此時x=-3，y=-6．【點睛】本題考查因式分解的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形的三條邊之間的關系，等邊三角形的判定，解題的關鍵是明確題目中的材料，可以將問題中方程轉化為材料中的形式．9．（2021春·全國·八年級專題練習）在平面直角坐標系，點A（a，0），點B（0，b），已知a，b滿足a2+b2+8a+8b+32=0．（1）求點A、B的坐標；（2）如圖1，點E為線段OB上一點，連接AE，過點A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交x軸于點D，若點F的坐標為（-2，c），求c的值及OE的長；（3）在（2）的條件下，如圖2，過點E作EG⊥AB于點G，過點B作BC//x軸交EG的延長線于點C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說明理由．【答案】（1）A-4,0、B0,-4；（2）c=4，OE的長為2；（3）△AOC是以【分析】（1）把a2+b2+8a+8b+32=0進行配方得a+42+（2）如詳解圖：過點F作FM⊥AO于M，利用角度的等量代換可得∠MFA=∠OAE，∠AMF=∠AOE=90°，從而可證△AMF≌△EOA，可得AM=OE,OA=MF，進而可得答案；（3）根據(jù)點A、B的坐標，求出直線AB的解析式為：y=-x-4，再利用EG⊥AB，設CE所在直線的解析式為：y=x+b，根據(jù)E點坐標可求CE所在直線的解析式為：y=x-2，根據(jù)點B、C縱坐標相同，即可求出點C坐標，利用兩點間距離公式即可分別求出AC、OC、AO的長即可得到結論．【詳解】（1）∵a2∴a+42∴a+4=0,b+4=0，∴a=b=-4，∴A-4,0（2）如圖：過點F作FM⊥AO于M，∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°,∴∠OAE+∠FAO=90°,∵FM⊥AO，∴∠FMA=∠AOE=90°，∴∠AFM+∠FAO=90°，∴∠AFM=∠OAE，∴在△AMF和△AOE中∠FMA=∠AOE∴△AMF≌△EOA，∴AM=EO,FM=AO=4，∴c=4∵點F的橫坐標為：-2，點A的橫坐標為：-4∴AM=OE=-2∴OE的長為2，（3）設AB所在直線的解析式為：y=kx+b，將點A-4,0-4k+b=0b=-4解得k=-1b=-4∴直線AB的解析式為：y=-x-4，設CE所在直線的解析式為：y=x+m，將E0,-2代入可得，-2=0+m，解得：m=-2∴CE所在直線的解析式為：y=x-2，∵BC//x∴C點的縱坐標為-4，將y=-4，代入y=x-2得：x=-2，∴C點坐標為-2,-4，∴OCACOA∴OC=AC∴△AOC是以C為頂點的等腰三角形．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及配方法的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題關鍵．必考點7必考點7利用拆項或添項進行因式分解1．閱讀材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：a2-4a-5=(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2-4a+b(3)當x、y為何值時，多項式-x【答案】(1)(a+1)(a-5)(2)5(3)x=y=3時，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將a2-4a-5變形為a2（2）根據(jù)配方法得出兩個完全平方式，再根據(jù)兩個非負數(shù)的和為0時，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負性即可得到當x、y為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；【詳解】（1）解：原式=a=a-2=a-2=(a+1)(a-5)；故答案為：(a+1)(a-5)（2）∵a∴a∴(a-2)∴a-2=0b-6=0解得：∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴4<c<8，又∵c是整數(shù)，c=5,6,7；∴邊長c的最小值是5；（3）-=-=-(x-y)∵(x-y)2≥0∴-(x-y)∴當x-y=0y-3=0時,即x=y=3時，-x2【點睛】本題考查了因式分解的應用，非負數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運用多種方法才能解決問題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號進行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結果分解徹底．（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請你試一試在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x+【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．【詳解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）．【點睛】本題主要考查學生因式分解的知識及學以致用的能力，掌握因式分解結合題意并靈活運用是解題的關鍵．3．我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：x③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個因式分別為(x+7)與(x-1)例如：x分析：解：原式=(x+7)(x-1)（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4②（拆項法）x③x2-5x+6=（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【答案】（1）①(2x+y+1)(2x-y+1)，②(x-4)(x-2)，③(x-2)(x-3)；（2）7【分析】（1）①將原式化為(4x2+4x+1)-y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②（2）先利用完全平方公式對等式a2+b2+c2【詳解】解：（1）①4=(4==(2x+y+1)(2x-y+1)；②x===(x-3-1)(x-3+1)=(x-4)(x-2)；③x2故答案為：(x-2)(x-3)；（2）∵a2∴(a∴(a-2)2∴a=2，b=2，c=3，∴a+b+c=2+2+3=7．∴△ABC的周長為7．【點睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關鍵．4．閱讀下列分解因式的過程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過加減項配出完全平方式后再把二次三項式分解因式的方法，叫做配方法，請你用配方法將下面的多項式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．【分析】（1）、（2）分別利用閱讀材料中的配方法分解即可．【詳解】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-4n2+3n2=m2-4mn+4n2-n2=（m-2n）2-n2=（m-2n+n）（m-2n-n）=（m-n）（m-3n）；（2）x2-4x-12=x2-4x+4-4-12=（x-2）2-42=（x-2+4）（x-2-4）=（x+2）（x-6）．【點睛】本題考查了因式分解的應用．要運用配方法，只要二次項系數(shù)為1，只需加上一次項系數(shù)一半的平方即可配成完全平方公式．5．閱讀以下文字并解決問題：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但對于二次三項式x2+6x-27，就不能直接用公式法分解了。此時，我們可以在x2+6x-27中間先加上一項9，使它與x2（1）利用“配方法”因式分解：x2（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b2，（3）如果a2+2b2【答案】（1）（x+5y）（x-y）；（2）①26，②626；（3）8【分析】（1）原式變形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式變形，代入計算即可；（3）已知等式左邊配方后，利用完全平方公式變形，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：（1）原式=x2+4xy+4y2-9y2=（x+2y）2-（3y）2=（x+5y）（x-y）；（2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=36-10=26，②a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=626；（3）∵a2+2b2+c2-2ab-6b-4c+13=0．∴a2+b2-2ab+b2-6b+9+c2-4c+4=0∴（a-b）2+（b-3）2+（c-2）2=0，可得a=b=3，c=2，則原式=3+3+2=8．【點睛】本題考查了因式分解的應用，以及非負數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．6．閱讀理解：添項法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運算和因式分解中使用添項法往往會起到意想不到的作用，例如：例1：計算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據(jù)材料解決下列問題：(1)計算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個問題，計算(14+4)(54+4)(94+4)……(494①分解因式：x4+4；②計算：(1【答案】(1)21024-121023；(2)①(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12)(2)①根據(jù)配方法在原式的基礎上(+4x2﹣4x2)，轉化為完全平方公式，再利用拆項法配方，最后化為兩個因式的積，②根據(jù)x4+4的分解結果，分別求出當x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所對應的x4+4個結果，從而得到一個規(guī)律，再代入求值即可.【詳解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×＝2×(1﹣12＝21024(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝(x2+2)2﹣(2x)2＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，②∵x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)∴x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]?[(x﹣1)2+1]原式＝(02【點睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知識，掌握公式，通過因式分解的變形，找出存在的規(guī)律是解決問題的關鍵.7．我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項法：例如：x2仿照以上方法分解因式：(1)4x(2)x2【答案】(1)2x+1+y(2)x-2【分析】（1）采用分組法，結合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為x2【詳解】（1）解：4=4==2x+1+y（2）解：x====x-2【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．8．閱讀下面的材料：分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的關鍵是“拆兩頭，湊中間”，例如，分解因式4x2+3xy-y2，方法如下：拆兩頭，4x2拆為4x?x(1)解方程：4(2)已知x2-xy-12y【答案】(1)x1=(2)xy的值為4或【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先將原方程變?yōu)閤-4yx+3y=0，得出x=4y或x=-3y，求出xy的值為4【詳解】（1）解：4x因式分解得：4x-1x-1∴4x-1=0或x-1=0，解得：x1=1（2）解：x2因式分解得：x-4yx+3y∴x-4y=0或x+3y=0，即x=4y或x=-3y，∵xy≠0，∴x≠0，y≠0，當x=4y時，xy當x=-3y時，xy綜上分析可知，xy的值為4或-3【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握十字相乘法．必考點8必考點8因式分解的應用1．王林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x-1，a-b，3，x2+1，a，x+1分別對應六個字：南，愛，我，數(shù)，學，河，現(xiàn)將3axA．