第6章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)全通系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法模擬域頻率變換定義：如果用Am(z)表示m階實(shí)系數(shù)全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則全通濾波器的定義a)一階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)極點(diǎn)為：零點(diǎn)為：一階復(fù)系數(shù)全通濾波器b)一階全通濾波器的頻率響應(yīng)故一階全通濾波器的相位響應(yīng)是單調(diào)遞減的。a)m階全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)如zk為一個(gè)極點(diǎn)，則zk*也是一個(gè)極點(diǎn),1/zk和1/zk*必為系統(tǒng)零點(diǎn)。b)m階全通濾波器的頻率響應(yīng)m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)可分解為m個(gè)一階全通系統(tǒng)的積，由于一階全通系統(tǒng)相位是遞減的

m階實(shí)系數(shù)全通系統(tǒng)的相位非正遞減的。2階實(shí)系數(shù)全通濾波器的相位響應(yīng)(a)相位響應(yīng)的主值(b)解卷繞后的相位響應(yīng) 定義：零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的因果系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。記為Hmin(z)。 任一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)都可表示為設(shè)系統(tǒng)H(z)只有一個(gè)零點(diǎn)在z=1/a*在單位圓外，|a|<1，那么H(z)就能表示成

H(z)=H1(z)(z-1-a*) 按定義H1(z)是一個(gè)最小相位系統(tǒng)。H(z)也可等效的表示為故H(z)=Hmin(z)A1(z)最小相位系統(tǒng)例一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為由于系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=-1/b，故這不是一最小相位系統(tǒng)。和H(z)具有相同幅度響應(yīng)的最小相位系統(tǒng)為a=0.9，b時(shí)H(z)和Hmin(z)的相位響應(yīng)最大相位系統(tǒng)(maximum-phasesystem):一個(gè)穩(wěn)定的的因果系統(tǒng)，零點(diǎn)全在單位圓外有理系統(tǒng)函數(shù)的穩(wěn)定性設(shè)有理系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母多項(xiàng)式為構(gòu)造全通濾波器Am(z)由H(z)穩(wěn)定的充要條件例已知2階IIR系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式為試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。解：由定義知k2=d2所以系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為IIR濾波器設(shè)計(jì)的基本思想將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)為模擬濾波器的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器。將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。模擬濾波器的技術(shù)要求Butterworth模擬低通濾波器切比雪夫II型模擬低通濾波器切比雪夫II型模擬低通濾波器橢圓低通濾波器模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的技術(shù)要求pw:通帶截止頻率ws:阻帶截止頻率dp:

通帶波動(dòng)ds:

阻帶波動(dòng)通帶衰減(db)(passbandAttenuation)阻帶衰減(db)(stopbandAttenuation)|H(jw)|10通帶過渡帶阻帶pwswsdpd-1wG(w)=20log10|H(jw)|dB濾波器的Gain函數(shù)wc10N=1N=3N=50.707巴特沃斯低通濾波器N:濾波器階數(shù)性質(zhì)：2)幅度響應(yīng)單調(diào)下降(monotonicallydecreasing)1)|H(j0)|=1,|H(j￥)|=0,-20log10|H(jwc)|3dbwc:

3db截頻,當(dāng)wc=1時(shí)，稱其為歸一化的BWF在w=0點(diǎn)做Taylorseries展開歸一化的Butterworth濾波器(BWF)任意的BWF和歸一化BWF的關(guān)系3)|H(jw)|2在w=0點(diǎn)1到2N-1階導(dǎo)數(shù)零。稱為最大平坦性。(maximallyflatmagnitudefilter)歸一化Butterworth濾波器的極點(diǎn)條件：h(t)是實(shí)的H(jw)=H*(-jw)極點(diǎn)：共有2N個(gè)極點(diǎn)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，選左半平面的N個(gè)極點(diǎn)。為左半平面的N個(gè)極點(diǎn)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)例：N=2,=p/4;k=1例：N=4,=p/8,3p/8;k=1,2當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)例：N=1N=3例：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足下列指標(biāo)BW型模擬濾波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1=，dBAs10=取N=2，將N=2帶入通帶滿足的方程通帶滿足指標(biāo)，阻帶超過指標(biāo)驗(yàn)證：Ap=0.9999db;As=18.2795db模擬Butterworth低通濾波器設(shè)計(jì)步驟:(1)由濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)wp、ws、Ap、As和式確定濾波器的階數(shù)N(2)確定wc(3)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)穩(wěn)定AF穩(wěn)定DF則zk*也是一個(gè)極點(diǎn),CBI型AF設(shè)計(jì)步驟通帶衰減(db)(passbandAttenuation)1)用脈沖響應(yīng)不變法求出H(z)例一實(shí)系數(shù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為例:設(shè)H(s)是一個(gè)3dB截頻為wc的一階低通濾波器，W0p;Wp2p，Wp1p，Ap=3dB9，b時(shí)H(z)和Hmin(z)的相位響應(yīng)1708,wp1=0.Normalizedfrequency由N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')；共有2N個(gè)極點(diǎn)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，選左半平面的N個(gè)極點(diǎn)。所以在用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出數(shù)字濾波器后應(yīng)該將其頻率響應(yīng)歸一化。2)3dB截率為wp的一階模擬BWLP濾波器為切比雪夫II型模擬低通濾波器TypeIChebyshevLowpassfilter(CBI型)w))((wjH1cwN=2N=3N=7e:通帶波紋

cw：通帶截頻N：階數(shù)(由阻帶指標(biāo)確定)CBI型filter的性質(zhì)1)在cww￡￡0時(shí)，2)(wjH在1和211e+間振蕩(equiripplefilter)2)cww3時(shí)，2)(wjH單調(diào)下降（N增大，下降加速）3)2211)(ew+=cjH

e控制了通帶衰減N為奇時(shí)

1)0(2=jHN為偶時(shí)

2211)0(e+=jHw))((wjH1cwN=2N=3N=7CBI型AF設(shè)計(jì)步驟1)通帶截頻確定pcww=2)通帶指標(biāo)確定e3)阻帶指標(biāo)確定N2)3dB截率為wp的一階模擬BWLP濾波器為通帶衰減(db)(passbandAttenuation)3)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器dp:通帶波動(dòng)解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真解：取雙線性變換的參數(shù)T=2則zk*也是一個(gè)極點(diǎn),1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)1)用脈沖響應(yīng)不變法求出H(z)9999db;As=18.一個(gè)穩(wěn)定的的因果系統(tǒng)，零點(diǎn)全在單位圓外通帶衰減(db)(passbandAttenuation)切比雪夫II型模擬低通濾波器橢圓低通濾波器 MATLAB設(shè)計(jì)橢圓濾波器函：[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 確定橢圓濾波器的階數(shù)N。Wc=Wp。[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s') 確定階數(shù)為N，通帶參衰減為ApdB，阻帶衰減為AsdB的橢圓濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。Wc是橢圓濾波器的通帶截頻?；驹砻}沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF的步驟H(z)的確定脈沖響應(yīng)不變法(ImpulseInvariance)H(ejW)和H(jw)的關(guān)系：無混疊時(shí)：數(shù)字濾波器在W點(diǎn)的頻響特性和模擬濾波器w=W/T頻響特性只差一個(gè)常數(shù)因子基本原理例:設(shè)H

(s)是一個(gè)3dB截頻為wc的一階低通濾波器，1)用脈沖響應(yīng)不變法求出H(z)2)如果用下圖所示系統(tǒng)取代H

(s)，比較兩系統(tǒng)的幅度響應(yīng)。051015202501HzHeffHafs=50Hz02040608010000.20.40.60.81HzHeffHa

fs=200Hz脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)DF的步驟1.將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo){wk}

kkT/W=w2.設(shè)計(jì)模擬濾波器的H(s)。3.由h[k]=Th(t)|t=kT從而得出H(z)。H(z)的確定H(z)的ROC穩(wěn)定AF穩(wěn)定DF優(yōu)點(diǎn)：T/W=w缺點(diǎn)：混疊例:用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器。解：設(shè)脈沖響應(yīng)不變法中的取樣間隔為T1)確定模擬濾波器指標(biāo) 模擬濾波器的3dB截頻為2)設(shè)計(jì)模擬濾波器 3dB截頻為wp的一階巴特沃思低通濾波器為3)將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器結(jié)論：1)抽樣間隔T的取值和最終的設(shè)計(jì)結(jié)果無關(guān)。2)由于所以在用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出數(shù)字濾波器后應(yīng)該將其頻率響應(yīng)歸一化。0p-9-6-303ppppWGain,dB

Wpp時(shí)幅度歸一化和非歸一化DF的幅度響應(yīng)例：利用AF-BWfilter及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一DF，滿足Wpp,Wsp,Ap=1dB,As=10dB01-30-20-100NormalizedfrequencyGain,dbN=2，Ap=0.9296dB,As=17.1220dB例:用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)的3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器為Wp1=0.2*pi;Wp2=0.6*pi;b1=[1-exp(-Wp1)];a1=[1-exp(-Wp1)];b2=[1-exp(-Wp2)];a2=[1-exp(-Wp2)];w=linspace(0,pi,512);h1=freqz(b1,a1,w);h2=freqz(b2,a2,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');grid;00.20.40.60.81-9-6-30NormalizedfrequencyGain,dbWppWpp基本思想:利用數(shù)值積分將模擬系統(tǒng)變換為數(shù)字系統(tǒng)。設(shè)模擬系統(tǒng)的微分方程為用梯形面積近似計(jì)算等式右邊的積分得雙線性變換法所以近似描述離散系統(tǒng)的差分方程為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：和模擬系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)比較可得穩(wěn)定性1)s<0,|z|<1左半平面映射到單位元內(nèi)。穩(wěn)定AF系統(tǒng)映射為穩(wěn)定DF系統(tǒng)。2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1虛軸映射到單位圓上右半平面映射到單位圓外結(jié)論：因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)W和w

的關(guān)系令s=jw)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真優(yōu)點(diǎn)：無混疊雙線性法設(shè)計(jì)DF的步驟：2)由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)H

(s)3)H

(s)轉(zhuǎn)換為H(z)1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){Wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo){wk}解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T1)模擬低通濾波器的3dB截率為2)3dB截率為wp的一階模擬BWLP濾波器為3)由雙線性變換得例：用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為Wp的數(shù)字低通濾波器。0101NormalizedfrequencyAmplitude例：用1階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)3dB截止頻率為Wp的數(shù)字高通濾波器解：取T=2，則AFHP的3dB截頻為AFLP的3dB截頻為滿足條件的LPAF為滿足條件的HPAF為缺點(diǎn)：幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真Normalizedfrequency確定階數(shù)為N，通帶參衰減為ApdB，阻帶衰減為AsdB的橢圓濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。Normalizedfrequency滿足條件的HPAF為Wpp;Wsp;Ap=1dB;As=10dB;Normalizedfrequency解：設(shè)脈沖響應(yīng)不變法中的取樣間隔為TWs2p，Ws1p，As=10dB1)用脈沖響應(yīng)不變法求出H(z)如zk為一個(gè)極點(diǎn)，2)3dB截率為wp的一階模擬BWLP濾波器為CBI型filter的性質(zhì)通帶衰減(db)(passbandAttenuation)例:用脈沖響應(yīng)不變法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計(jì)的3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器為由N=buttord(1,ws,Ap,As,'s')；4)確定歸一化BW低通濾波器例用一階模擬巴特沃思低通濾波器和雙線性變換法，設(shè)計(jì)一個(gè)中心頻率為W0，3dB帶寬為DW的數(shù)字帶阻濾波器。解：取T=2。設(shè)數(shù)字帶阻的3dB截頻分別為