大數(shù)定理與中心極限定理的應(yīng)用第四章大數(shù)定理與中心極限定理Chebysherv不等式兩個常用大數(shù)定理兩個常用的中心極限定理定理4.1.1Chebysherv不等式或

切比雪夫不等式切比雪夫不等式表明，隨機(jī)變量無論其概率分布為何，只有其數(shù)學(xué)期望和方差存在，那么該隨機(jī)變量落入以其數(shù)學(xué)期望為中心的鄰域之內(nèi)以及之外的概率都可進(jìn)行概率估算。

Chebysherv不等式的應(yīng)用1.概率的估算例4.1解：設(shè)該地區(qū)次小麥品種的畝產(chǎn)量為X.2.理論證明的工具例4.2

大數(shù)定理的客觀背景

大量隨機(jī)試驗中大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率生產(chǎn)過程中的廢品率文章中字母使用頻率大數(shù)定理定義4.2.1

隨機(jī)變量序列依概率收斂定義4.2.2設(shè)為一隨機(jī)變量序列，如果存在數(shù)列使得，對任意有

兩個常用的大數(shù)定理則稱隨機(jī)變量序列

服從大數(shù)定理。

顯然，隨機(jī)變量序列

服從大數(shù)定理等價于即依概率收斂于。

Chebysherv

定理4.2.1(Chebysherv大數(shù)定理)

1.Chebysherv大數(shù)定理Khintchin推論：辛欽大數(shù)定律在實際中，有許多問題可劃歸為用獨立隨機(jī)變量求和來求解。例如為測量一物體的某種尺寸

（如一個圓柱體的直徑）時，人們通常采用的辦法是對它重復(fù)測量n次，得到n個測量值,然后，求出這n個測量值的算術(shù)平均值以其作為實際數(shù)據(jù)的

近似值。辛欽大數(shù)定律表明這種方法是合理的。事實上，測量時由于各種隨機(jī)因素影響，使得測量結(jié)果帶有隨機(jī)因素影響的成分，所以，觀測值

,可以看做是具有相同數(shù)學(xué)期望

和方差

的n個獨立隨機(jī)變量

的觀測值。

定理4.2.2

(Bernoulli大數(shù)定理)Bernoulli

2.Bernoulli大數(shù)定理

例4.2設(shè)是相互獨立的隨機(jī)變量序列，，證明服從大數(shù)定理。證明：由于因為的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，且方差是有界的，滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件，所以服從大數(shù)定理。在實際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨立隨機(jī)因素的綜合（或和)影響所形成。例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的。每個隨機(jī)因素的對彈著點（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的。那么彈著點服從怎樣分布呢？

中心極限定理

中心極限定理的客觀背景自從高斯發(fā)現(xiàn)測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們通過大量的觀察和研究發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。在概率論中，習(xí)慣于把隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理叫作中心極限定理。

隨機(jī)變量序列依分布收斂定義4.3.1

兩個常用的中心極限定律定理4.3.1Lindeberg-Levy中心極限定理

兩個常用的中心極限定律定理4.3.1Lindeberg-Levy中心極限定理

兩個常用的中心極限定律定理4.3.1Lindeberg-Levy中心極限定理一個由許多獨立同分布隨機(jī)變量作用形成的隨機(jī)變量,其概率分布一定是正態(tài)分。

兩個常用的中心極限定律定理4.3.2DeMoivre-Laplace中心極限定理所以即

兩個常用的中心極限定律定理4.3.2DeMoivre-Laplace中心極限定理1.Lindeberg-Levy中心極限定理應(yīng)用

中心極限定理的應(yīng)用2.DeMoivre-Laplace中心極限定理應(yīng)用棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理是概率論歷史上的第一個中心極限定理，它是專門針對二項分布的，因此稱為“二項分布的正態(tài)近似”。它與“二項分布的泊松近似”相比,一般在

較小時用泊松分布近似較好；否則用正態(tài)分布近似較好。例4.3例4.40120.050.800.15例4.4例4.5某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。設(shè)每臺車床開工率為0.6,每臺車床是否開工是獨立的，每臺車床在開工時需電力1千瓦。問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?

解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗是觀察該臺車床在某時刻是否開工,開工的概率0.6,共進(jìn)行200次獨立重復(fù)試驗。用X表示在某時刻開工的車床數(shù)，依題意X~B(200,0.6)。設(shè)需要N千瓦電?，F(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為：求滿足P{X≤N}≥0.999的最小的N.

答：應(yīng)供應(yīng)142千瓦電就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。例4.6設(shè)有一大批種子，