2021年貴州省畢節(jié)市高考數(shù)學(xué)診斷性考試試卷（理科）（三）

（三模）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={x|y=ln（l-x）},B-{y\y-y/x+1}>則4nB=（）

A.[-1,1）B.[-1,1]C.[0,1）D.0

2.若復(fù)數(shù)z滿足z（2-=是虛數(shù)單位），則z的共聊復(fù)數(shù)W在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.一袋中裝有除顏色外完全相同的3個(gè)黑球和2個(gè)白球，先后兩次從袋中不放回的各

取一球,已知第一次取出的是黑球，則第二次取出的也是黑球的概率為（）

A.卷B.|C.|

4.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余幾何體的

三視圖如圖，則剩余幾何體的表面積為（）

A.16

B.18

C.16+2V3

D.18+2V3

5.“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、

戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，

兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅、…?/p>

癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到

60個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡.2021年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑

年，那么2015年是“干支紀(jì)年法”中的（）

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.乙未年

6.若曲線y=/nx+1上到直線y=x+m的距離為2的點(diǎn)有4個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范

圍是（）

A.（-oo,-2V2）B.（-oo,-2）C.(2,4-00)D.(2V2,+oo)

7.如圖，在△ABC中，。是8C邊的中點(diǎn)，E,尸是線段AO

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若瓦5=7,而?而=2,則前?不=

()

A.-2

B.-1

C.1

D.2

8.已知定義在上的函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，給出下列命

題：

①函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［打，%/上單調(diào)遞減；

②若必<m<n<x5,則竺儂>((等)；

③函數(shù)y=f(x)在［a,b］上有3個(gè)極值點(diǎn)；

④若X2<p<q<x3,則［/(p)—/(q)］?［f(P)-1⑷］<0.

其中正確命題的序號(hào)是()

9.如圖，有甲、乙、丙三個(gè)盤子和放在甲盤子中的四塊大小不相同的餅，按下列規(guī)則

把餅從甲盤全部移到乙盤中：①每次只能移動(dòng)一塊餅；②較大的餅不能放在較小

的餅上面，則最少需要移動(dòng)的次數(shù)為()

甲乙丙

A.7B.8C.15D.16

10.設(shè)函數(shù)f(x)=ln|3x+2|-ln|3x-2|,則/(%)()

A.是偶函數(shù)，在吟,+8)上單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù)，在(-1,令上單調(diào)遞增

第2頁，共20頁

C.是偶函數(shù)，在(-8,-令上單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，在(|,+8)上單調(diào)遞增

11.已知點(diǎn)F為雙曲線C：9一\=1(。>0/>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與曲線

C的一條漸近線垂直，垂足為M與C的另一條漸近線的交點(diǎn)為M,若麗=3麗，

則雙曲線C的離心率e的值為()

A.2B.匹C.2D.V5

32

12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意xeR,都有f(x+l)=/(l—x),且當(dāng)

xG(一8,1)時(shí),(%-1).f(X)>0(其中廣⑶為f(x)的導(dǎo)函數(shù)).設(shè)a=/(log23),&=

/(log32),c=f(log34),貝！］a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.Ci0-Cf0+Cf0-Go+…+盤0—味=(用數(shù)字作答).

14.已知公比為q的等比數(shù)列｛a"的前〃項(xiàng)和為%,公差為d的等差數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)

和為〃，且%+7；=2"+】+n2-2,則第勺值為.

15.如圖，在三棱錐。-4BC中，三條棱OA,OB,OC兩兩O

垂直，。4=4,0B=3,。。=2.分別經(jīng)過三條棱。A,

OB,OC作截面平分三棱錐的體積，則這三個(gè)截面的面t/

積的最大值為.

16.由集合P=｛(x,y)|(x-cos。)？+(y-sin。)？=9,n<

e<2口中所有點(diǎn)組成的圖形如圖陰影部分所示，其外廓

形如“心臟”，中間白色部分形如倒立的“水滴”.則陰

影部分與y軸相交的兩條線段長度和為.

三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

17.已知函數(shù)/(x)=：-2cosxcos(x+§,在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為m

b,c,且/'(C)=1.

(I)求C；

(口)點(diǎn)。為AB邊中點(diǎn)，且CD=夜.給出以下條件：①a=2；②c=2百(c<b).

從①②中僅選取一個(gè)條件，求b的值.

18.某年某省有40萬考生參加高考.已知考試總分為750分，一本院校在該省計(jì)劃招生

6萬人.經(jīng)考試后統(tǒng)計(jì)，考試成績X服從正態(tài)分布N(300,1502),若以省計(jì)劃招生數(shù)

確定一本最低錄取分?jǐn)?shù).

(I)已知P(144<X<300)?0.35,則該省這一年的一本最低錄取分?jǐn)?shù)約為多少？

(口)某公司為考生制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有高考成績不低于一本最低錄取分?jǐn)?shù)的

考生均可參加“線上抽獎(jiǎng)送話費(fèi)”活動(dòng)，每個(gè)考生只能抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)?wù)唿c(diǎn)擊抽獎(jiǎng)

按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)(10,11,…，99),若產(chǎn)生的兩位數(shù)字相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)

20元話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)5元，假如所有符合條件的考生均參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活

動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的話費(fèi)總額是多少？

19.如圖，直棱柱底面是菱形，點(diǎn)E,尸分

別在棱CCi上，且AE=3&E,C±F=3CF.

(I)求證：E,D,F,當(dāng)四點(diǎn)共面；

(11)若441=4。=28。，求直線BF與平面EBiF所成角

的正弦值.

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20.已知橢圓C：圣+5=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,\FXF2\=^,4為

橢圓上一點(diǎn)(不在X軸上)，滿足sing僚景相&=V2.

(I)求橢圓C的方程；

(口)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(t,0)(t#0)且斜率為5的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，設(shè)直

線OM,ON(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為自，k2,若對任意非零實(shí)數(shù)小，存在實(shí)數(shù)

九使得機(jī)+*=癡，求實(shí)數(shù);I的取值范圍.

K1K2

21.已知函數(shù)/。)=(1一切蠟+m,若函數(shù)/(%)在久=1處的切線方程為以+y=e+

1.

(I)求實(shí)數(shù)bym的值;

(口)若正項(xiàng)數(shù)列5｝滿足.一1嗎=1,判斷并證明數(shù)列｛即｝的單調(diào)性.

22.如圖，在極坐標(biāo)系Ox中,4(4弓),8(2夜，9(;(2或節(jié),。(4浮),

弧矣,弧泥，弧力所在圓的圓心分別是(2,》(2,0),(2浮)，

曲線G是弧卷，曲線C2是弧命，曲線C3是弧比，曲線C

/(P，。)=0(0We<2兀)由Ci，。3構(gòu)成.

(I)寫出曲線。的極坐標(biāo)方程，并求曲線。與直線。=與(P6

R)所圍成圖形的面積；

(II)若點(diǎn)M在曲線。上，且|OM|=2遮，求點(diǎn)"的極坐標(biāo).

23.已知函數(shù)/(》)=氏+1|+|%一2|.

(I)解不等式「(%)<%+4；

(H)若%是/(%)的最小值，已知m>0,n>0,且(A+l)m4-n=1,求證：k2mn<

m+n.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:1.?A={x\x<1},B={y\y>0],

AC\B=[0,1).

故選：C.

可求出集合A,B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由題意得z=三=若|而=”，

則5=早在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

故選：D.

先結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軌復(fù)數(shù)的概念求出然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可求.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共鈍復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由題意知，第一次取出的是黑球的情況下，袋中剩余2個(gè)黑球和2個(gè)白球，

所以第二次取出的也是黑球的概率為P=1=

42

故選：C.

先確定在第一次取出的是黑球的情況下，袋中剩余黑球和白球的個(gè)數(shù)，再求第二次取出

的也是黑球的概率值.

本題考查了條件概率的計(jì)算問題，也考查了數(shù)據(jù)分析與計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】。

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為棱長為2的正方體切去

一個(gè)角，構(gòu)成的幾何體；

如圖所示：

所以S%=6x2x2-3xix2x2+ix2V2x2V2xsin600=18+28.

衣22

故選：D.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積的求法,

主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：由題意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，

2021年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑年，

則2020年為庚子，2019年為己亥，2018年為戊戌，2017年為丁酉，2016年為丙申，

2015年為乙未.

故選：D.

利用題中給出的條件，按照規(guī)律從2021依次倒推，直到2015年，即可得到答案.

本題考查了進(jìn)行簡單的合情推理，解題的關(guān)鍵是正確理解“干支紀(jì)年法”的定義，屬于

基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

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【解析】解：畫出曲線y=①X+1與直線y=%+m圖象如下,

函數(shù)y=Inx+1的導(dǎo)函數(shù)為：yr=由y'=：=1得：￡=1,此時(shí)y=1.,.切線方程為：

y—1=1?(%—1),即：x—y=0.

設(shè)與切線平行且距離為4的直線為:x-y+m=0,則行祟幣=2-解得:m=+2^2.

由題意可知，m<-2V2.

故選：A.

畫出曲線y=Inx+1與直線y=x+m圖象，求曲線y=Inx+1的斜率為1的切線y=

x+t,再求到切線距離等于2的平行線y=x+n即可解決此題.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及直觀想象能力，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：：。是8c的中點(diǎn)，E,『是A。上的兩個(gè)三等分點(diǎn),

~BA='BD+3DF<CA=-BD+3DF,

^A-CA=7,9DF2-RD2=7>

BE=~BD+2DF,CE=-JD+2DF，

~BECE=2,

可得4而2一而2_2,

所以便2=],而2=2,

''■>>?……T>>

：?BF=BD+DF,CF=DF-BD,

~BF-CF=DF2-~BD2=1-2=-1-

故選:B.

由已知推出92=i，前2=2,然后轉(zhuǎn)化求解前?渭即可.

本題考查的知識(shí)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的線性運(yùn)算，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：對于①:f'（X）在02，乂3］上大于0，|＞3，%4］上小于0，

所以/（%）在［犯/3］上單調(diào)遞增，在［尤3,肛］上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；

對于②：由圖像可知，/'（X）是向下凹的，

所以乙＜僧＜正＜通時(shí)，3產(chǎn)也＞/，（等），故②正確；

對于③:/'（X）在（a,%3）上大于等于0，（*3，*5）上小于°，（%5，b）上大于0，

所以“X）在（a,右）上單調(diào)遞增，03，&）上單調(diào)遞減，（%涉）上單調(diào)遞增，

所以在［a,句上只有兩個(gè)極值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

對于④：由③的結(jié)論，可得/（p）-/（q）＜0，

又因?yàn)?'（%）在（刀2/3）上單調(diào)遞增，

所以1（p）-f'（q）＞o,

所以［/（P）-f（q）］［f（p）-r（q）］＜0,故④正確.

故選：B.

對于①：結(jié)合圖像可得/（X）在［犯，X3］上單調(diào)遞增，在既3，必］上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得①是

否正確；

對于②：由圖像/'（X）在［羽，％］是向下凹的，推出儂手也＞/'（等），進(jìn)而可得②是

否正確；

對于③：有圖像可得/（x）在（a,%）上單調(diào)遞增，。3，苑）上單調(diào)遞減，（盯方）上單調(diào)遞增，

則f（x）在［a,b］上只有兩個(gè)極值點(diǎn)，即可判斷③是否正確；

對于④：由③的結(jié)論，可得/（P）—f（q）＜0,結(jié)合/''（＞）在（%2/3）上單調(diào)性，得/''（P）—

f（Q）＞0,即可判斷④是否正確.

本題考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】C

【解析】解：假設(shè)甲盤中有〃塊餅，從甲盤移動(dòng)到乙盤至少需要an次，則臼=1，

當(dāng)nN2時(shí)，可先將較大的餅不動(dòng)，將剩余的n-l塊餅先移動(dòng)到丙盤中，至少需要移動(dòng)

%i-i次，

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再將最大的餅移動(dòng)到乙盤，需要移動(dòng)1次，

最后將丙盤中所有的丙移動(dòng)到乙盤中，至少需要移動(dòng)次，

由上可知，a”—1+1,0.a1=1,

—

所以。2=2al+1=3,a3—2a2+1=7,a42a3+1=15,

則最少需要移動(dòng)的次數(shù)為15次.

故選：C.

假設(shè)甲盤中有〃塊餅，從甲盤移動(dòng)到乙盤至少需要每次,分析得出關(guān)于｛an｝的遞推公式，

確定即=1,求出a4的值即為所求.

本題考查了數(shù)列遞推公式的運(yùn)用，考查了推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)，考查

邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?x)=ln|3x+2|-ln|3%-2|,

所以J(一%)=ln|-3x+2|-ln|—3x—2|=ln|3x—2|—ln|3x+2|=—/(%),

所以/(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)閠=篝=-1一六在(一|,勺上單調(diào)遞增，

2—3%3x—233

當(dāng)一:<x<9時(shí)，f(x)=ln(3x+2)-ln(2-3x)=ln警單調(diào)遞增，B正確.

332—3X

故選:B.

由已知先檢驗(yàn)f(-x)與/'(X)的關(guān)系，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】解：設(shè)F(c,0),雙曲線的漸近線方程為丫=±?a

設(shè)直線/與漸近線y=-?%垂直，可得直線/的方程為y=藍(lán)?！猚),

a

聯(lián)立a，可得yN=—也，

(y=B(%-c)

(——

聯(lián)立,可得yM=-各，

(y=-(x-c)0

由而=3麗，可得yN-%/=3yN，

即y”=-2yw>

—rzraabc2ab

可得『a2-b32=一c，

可得2a2-2川=c2=a2+b2,即有a2=3川,

故選:A.

設(shè)尸(c,0),雙曲線的漸近線方程，直線/的方程，聯(lián)立直線/的方程與漸近線方程，求

得M,N的縱坐標(biāo)，再由向量的坐標(biāo)表示，可得a,%,c的關(guān)系，可得離心率.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及兩直線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：?.?當(dāng)％e(—8,1)時(shí)，%-1<0,又(x-1)?/'(久)>0,

???/'(x)<0,

???y=/'(X)在(一8,1)上單調(diào)遞減，

f(x+1)=/(I-%),

?1-y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

???/(log32)=/(2-log32)=/(10g34.5),

且y=/'(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

"1<log34<log34.5<log33V3=|=log22y/2<log23,

???/(log34)</(log32)</(log23),

即c<b<a.

故選：C.

根據(jù)已知判斷函數(shù)/■(尤)的對稱軸及單調(diào)性，由/(log32)=f(2-log32)=/(log34.5),

比較10g34,10g3@5,logz3的大小，由函數(shù)的單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的性質(zhì)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概

括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：因?yàn)?1—I)】。=C?o-/+此0—Cf0+--C?0+C花=0,

即1—C°o—Cio+C/o—%+…一%+盤(?=0,

所以C；°一Cf0+比。―+…+C；°—C/=1?

故答案為：L

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構(gòu)造二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解，即可得到答案.

本題考查了二項(xiàng)式定理的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能逆用二項(xiàng)式定理，考查了邏輯推

理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為由，等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為瓦，

由％+〃=2n+1+n2-2,可知q#1,

則7n=n瓦+^

n+171n+12

又Sn+Tn=2+足一2,???言?q+襯+（瓦_(dá)凱一言=2+n-2,

畿=1,4一；0,言=2,合4=2"+】，

???d=2,

含=2代入含＜"=2n+1,得砂=2九，則q=2,

則4L

故答案為：1.

設(shè)等比數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為由,等差數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)為瓦，分別寫出等比數(shù)列與等差數(shù)列

的前〃項(xiàng)和，代入5.+7；=2"1+"-2,比較系數(shù)即可求得〃與q的值，則答案可

求.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.（答案】-/13

【解析】解：分別取AB中點(diǎn)D,連接OD、DC,

因?yàn)?C1OA,0C10B,所以0C平面OAB,

因?yàn)镺Du平面OAB,所以。CJ.OD,

SAODC=--0D-OC=---AB-0C=----5-

△U以22222

取BC中點(diǎn)E,連接OE、EA,

同理SA0E4=??BC-0A=U-V^T^-4=g,

取AC中點(diǎn)F,連接OF、FB,

同理，OBF=----AC-OB=----V42+22-3=—，

22222

因?yàn)榕f>壁>三，所以三個(gè)截面的面積的最大值為vn.

22

故答案為：V13.

根據(jù)三棱錐的體積公式，求截面面積計(jì)算即可.

本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了截面最大值問題，屬于中檔題.

16.【答案】2

【解析】解：(x-cosdy+(y—sind)2=9,n<8<2TT,

令x=0,得cos?。+V_2ysin0+sin20=9,

8

???y2—2ysin0=8,2sin9=y-0e[n,2n],

sindE[—1,0],2sin9E[—2,0],

8

Etiy--G[-2,0],解得y6[-4,-2?U[2,2回，

陰影部分長度為2企-2,4-2V2，

二陰影部分與y軸相交的兩條線段長度和為2魚-2+4-272=2.

故答案為：2.

根據(jù)題中集合P表示的所有點(diǎn)組成的圖形，求出久=0時(shí)，y的值，得到圖象與y軸交點(diǎn)

的坐標(biāo)，求出兩段陰影的長度后再計(jì)算總長度.

本題圓的性質(zhì)、集合概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(I),；/(x)=1-2cosxcos(^x+g)=^-2cosx(cosxcosg-sinxsin=

片.2.1V3,1+COS2XI1遍.c10.0九、

yJ3sinxcosx-cosx+-=——sino2x-------------F-=——stn2x——cos2x=sin(2x——)，

222222v6y

/(C)=sin(2C--)=1,

6

兀

Vc0<Ck<7T,*,?—2C——<—11—7T,

666

cTTTCTt

???2C——=C=一，

6293’

(□港選①。=2,

CD=a(C/+CB),.?.CD=；5+2D+CB),

???7=1(Z?2+4b?cos；+4),

解得b=4或b=-6(舍去)，???b=4；

若選②c=2B，(c<b)f

由/=爐+。2_2abcosCf

得：12=Q?+爐—處,

第14頁，共20頁

由(1)得CD=^y/a2+b2+ab,

所以a2+b2=20,ab=8,解得：｛;二：或｛：二%

由c<b,得b=4.

【解析】(/)先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合已知結(jié)合C的范圍可求；

(〃)若選①a=2,由向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求；

若選②c=2g,(c<b),由余弦定理，結(jié)合(1)中結(jié)論可求.

本題主要考查了和差角公式，二倍角公式，輔助角公式，還考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)及

余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用屬于中檔題.

18.【答案】解：⑴由題意可知，X服從正態(tài)分布，X?N(300,1502),

因?yàn)镻(144<X<300)20.35,P(X<300)=0.5,

所以P(X<144)=0.5-0.35=0.15,

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，

則P(300<X<456)=0.35,P(X>300)=0.5,

所以P(X2456)=0.15,

若40萬考生中一本院校招收6萬考生，

則一本院?？忌急葹檗?0.15,

40

所以這一年一本最低錄取分?jǐn)?shù)為456；

(2)X的可能取值為5,20,

所以P(X=20)=2=0.1,

p(X=5)=1-0.1=0.9,

故X的分布列為：

X520

P0.90.1

所以E(X)=20x0.1+5x0.9=6.5,

又因?yàn)橐槐驹盒Ｕ猩还?萬人，每人的花費(fèi)期望值為6.5元,

故總額為6.5x6=39萬元.

【解析】(1)由正態(tài)分布的性質(zhì)，以及對稱性代入數(shù)值計(jì)算，由此分析判斷即可：

(2)先確定X的可能取值，再由概率公式計(jì)算出X對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期

望的計(jì)算公式求解即可.

本題考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量期望的求解與應(yīng)用，正態(tài)分布

曲線的特點(diǎn)以及曲線所表示意義的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

19.【答案】(I)證明：連結(jié)。F,在。劣上取一點(diǎn)G,使得

DiG=ArE,連結(jié)EG,GCi，

因?yàn)?遂〃。母且&E=DrG,所以四邊形&EG￡)i是平行四

邊形，

則EG〃&Di且EG=A1D1,

又因?yàn)?山1〃81的且45=B?,

所以四邊形EB1GG是平行四邊形,

貝IJEBJ/GG，

1O

由&E=CF=0母則DG=FC[=^441，且DG〃FQ,

所以四邊形DFGG是平行四邊形，

則GC"/DF,所以EBJ/OF,

故E,D,F,當(dāng)四點(diǎn)共面；

(II)解：設(shè)=4,則AC=4,BD=2,AE=3,CF=1,

BBi=4,

以AC與BD的交點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如

圖所示，

則4(0,-2,0),8(1,0,0),C(0,2,0),。(-1,0,0),E(0,-2,3),

Bi(1,0,4),嚴(yán)(0,2,1),

所以前=西=(1,2,1),序=(-1,2,-3),

設(shè)平面E&F的法向量為記=(x,y,z),

則有佇理=0,即式0_0，

令x=4,則祠=(4,

則cos<BFn>[=變向=8=史生，

人屋胡同V6XV2121'

故直線B尸與平面EB[F所成角的正弦值為等.

【解析】(I)連結(jié)。尸，在DA上取一點(diǎn)G,使得DiG=&E,連結(jié)EG,GC]，利用平面

幾何知識(shí)分別證明四邊形4EG劣、EBiGG、。/CiG是平行四邊形，則可證EBJ/DF,

第16頁，共20頁

即可證明四點(diǎn)共面；

(n)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)

法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

本題考查了四點(diǎn)共面的證明，線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建

立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)在AAaFz中，由正弦定理可得:

依戶21產(chǎn)11—

-2R____2R__6

1尸1尸21一%乙，

2R

所以?=V2,

1&加

所以中=魚，BPa=V2c,

2c

因?yàn)镮&F2I=2c=4,

所以c=2,a=2迎，

所以爐=a2—c2=8—4=4,

所以橢圓C的方程為R9=L

(11)直線/的方程為》=m丫+3

x=my+t

聯(lián)立至廿_1,得(—+2)y2+2mty+t2-8=0,

■T+T-

設(shè)M(xi，%)，W(x2,y2),

t2-8

所以丫1+丫2=怠|，yiy2=

m2+2

所以2+=fl+三="1—+工2=_(，%+。，2+(一，2+281

Q七y±yz力力力力

2mt2-16m-2mt2

-16m16m1

_2-丫1%+1(%+丫2)m2+2-=Am1

0-8一伊一88T2

m2+2

因?yàn)閙H0,

所以4=券，

因?yàn)镻(t,0)在橢圓內(nèi)且tKO,

所以0<t2<8,

所以入6(2,4-oo).

【解析】(I)在△4片尸2中，由正弦定理可得:粵竽=&,由橢圓的定義可得a=V^c，

由IF/2I=2c=4,解得c,a,b,即可得出答案.

(II)設(shè)N(x2,y2),聯(lián)立直線/與橢圓的方程，得關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)

合韋達(dá)定理可得yi+y2,%丫2,再化簡計(jì)算2+2=癡，得"凸，由P(t,O)在橢圓

內(nèi)且tRO,得0<t2<8,即可得出答案.

本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔

題.

21.【答案】解：(l)//(x)=-xex,由bx+y=e+1得y=-bx+e+1,

根據(jù)題意得：｛(：_；)-+ti=-b+e+r

解得：［“=：,???,機(jī)的值分別是e,1；

l/n=1

an+1an

(2)vane=e—1,%=1,

anan

:.0nan+i-.e.....-..l.:.Qann+1-n--e---(--l---a--n)---l-.

an%

由(1)可知f(%)=(1-x)ex+1,

...e-.ean=ea"f)-1=f0)-2

anan

當(dāng)%>0時(shí)，fr(x)=-xex<0,

,當(dāng)%>0時(shí)，函數(shù)/(%)遞減，???/(%)Vf(0)=2,

fln+1an/(an)2

又Qn>0,???/(an)V2,???/(a九)一2<0,/.e-e=<0,

an

a

...ean+i<en,an+1<an,二數(shù)列｛即｝是遞減數(shù)列.

【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和切點(diǎn)列方程組可解決此問題；

(2)結(jié)合(1)中函數(shù)單調(diào)性，證明e"+i-e?n<0可解決此題.

本題考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、數(shù)列單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于難題.

22.【答案】解：(1)在極坐標(biāo)系。尤中,4(4,》B(2&,5C(