第第頁(yè)專題8.6立體幾何綜合練題號(hào)一二三四總分得分練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為空間中兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若∥，∥，則∥B．若為異面直線，則過(guò)空間任一點(diǎn)，存在直線與都垂直C．若，，則與相交D．若不垂直于，且，則不垂直于【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理等即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若∥，∥，則或∥，A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，若，，或與相交，C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，若不垂直于，且，可能與垂直，D錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，過(guò)空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線可以確定一個(gè)平面，過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線有且只有一條，B正確.故選：B2．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍，那么球的體積增大為原來(lái)的（

）A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．32倍【答案】B【分析】設(shè)原來(lái)球體的半徑為，利用已知條件計(jì)算出球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍后的半徑，找出前后半徑的關(guān)系式，然后利用球體的體積公式分別算出前后的體積，相比即可.【詳解】設(shè)原來(lái)球體的半徑為，則原來(lái)球體的大圓面積為：，原來(lái)球體的體積為：，當(dāng)球的大圓面積增大為原來(lái)的4倍時(shí)，此時(shí)有大圓面積，設(shè)此時(shí)大圓半徑為即大圓面積增大后球體的半徑，由，此時(shí)球體體積為：，由，所以球的體積增大為原來(lái)的8倍.故選：B.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以下向量中與向量都垂直的向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于D，，故D不正確.故選：C4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，在高為的直三棱柱容器中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為（如圖2），則容器的高為（

）

A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用兩個(gè)幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.【詳解】解：在圖（1）中的幾何體中，水的體積為,在圖（2）的幾何體中，水的體積為：，因?yàn)?，可得，解?故選：B.5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在三棱錐中，，M在內(nèi)，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明“三余弦”定理，利用，得到，從而可得，再用公式：，即可求．【詳解】先證明：如圖，設(shè)為平面上一點(diǎn)，過(guò)的斜線在面上的射影為，為平面上任意一條直線，記則.證明如下：過(guò)作于，由于平面，,所以平面,故平面,平面,所以則,所以

過(guò)做平面的垂線，交平面于，連接．，平面，平面，，．由公式：，得到是的余角，所以再用公式：，得到故選：C．

6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置），現(xiàn)有如下說(shuō)法：①平面；②；③點(diǎn)到平面的距離的最大值為1．則正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，判斷線面，面面位置關(guān)系.【詳解】

在正方體中，因，平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因平面，所以平面，故①正確；因，

，，平面，平面，所以平面，又因平面，，同理，因，平面，平面，所以平面，平面，故，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為最大值即，③錯(cuò)誤．故選：．7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知二面角的大小為，點(diǎn)B、C在棱l上，，，，，則AD的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及二面角的概念求解.【詳解】如圖所示，

由題意知，又二面角的大小為，故，，又，，,即AD的長(zhǎng)為，故選：D8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）腰長(zhǎng)為的等腰的頂角為，且，將繞旋轉(zhuǎn)至的位置得到三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)其外接球面積為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】在中，求得，根據(jù)題意得到三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，取中點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到且，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，分別求得和的外接圓的半徑，結(jié)合，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】在中，因?yàn)椋傻?，所以，?dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，因?yàn)椋≈悬c(diǎn)，則，設(shè)為外接圓圓心，為三棱錐外接球心，則，再設(shè)為外接圓圓心，平面，則且，設(shè)三棱錐外接球的半徑為在直角中，可得且，因?yàn)?，可得所以外接圓半徑，所以，因?yàn)?，所以的外接圓的半徑，且，在中，可得，可得，所以，所以外接球的表面積為.故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量的加減法得出坐標(biāo)，再利用向量的模長(zhǎng)公式，可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出三角形三條邊長(zhǎng)，可判斷B選項(xiàng)；與已知向量平行的單位向量計(jì)算公式：可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)在方向上的投影向量與向量共線的性質(zhì)，可判斷D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，，選項(xiàng)A正確；計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與平行的單位向量為：選項(xiàng)C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.10．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，那么下列判斷正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】若，則由直線與平面垂直的性質(zhì)可得，故A正確.若，則，故與有交點(diǎn)，錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤.若，則垂直平面內(nèi)的兩條相交直線與，又，則，則，故C正確.若，則或與異面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體有五個(gè)面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面為矩形，，，且，、分別為、的中點(diǎn)，與底面所成的角為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．下列說(shuō)法正確的有（

）

A．平面B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】AC【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項(xiàng)；證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式求出的值，可求出的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，，因?yàn)榍遥⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋?、平面，所以，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面平面，因?yàn)?，平面平面，平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槠矫?，則與平面所成的角為，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，又因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，且，故四邊形為等腰梯形，設(shè)，則，則，則點(diǎn)、，所以，，即，解得，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，在中，、、、，，，，所以，異面直線與所成角的余弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，易知、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò).故選：AC.12．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，、分別為、的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿問(wèn)上翻折，使點(diǎn)移到點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為【答案】BCD【分析】由立體幾何的線線平行，線面垂直判定定理，外接球的表面積公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，，因此不平行，即不存在點(diǎn)，使得.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：

取的中點(diǎn)，連接，，，,當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?則，而，，平面，又分別為，的中點(diǎn)，即，于是平面，而平面，則，故B正確；對(duì)于C，在翻折過(guò)程中，令與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離，又的面積為，因此三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即平面時(shí)取等號(hào)，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球的球心為，故球的半徑為1，則球的表面積為.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正方形和不在同一平面內(nèi)，，分別為，的中點(diǎn).若，平面⊥平面，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____，線段的長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】【分析】由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再用勾股定理求出，取的中點(diǎn)，連接，，即可得到平面，從而求出的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)槠矫妗推矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，所以在中，，因此；再取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?、為正方形，且邊長(zhǎng)為，所以，，，，所以平面，又平面，所以，所以.故答案為：；14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD且，梯形ABCD繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由_________、_________、_________的幾何體構(gòu)成的組合體.【答案】圓錐圓柱圓錐【分析】作于，于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義和性質(zhì)得到答案.【詳解】如圖所示：作于，于，繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；矩形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱；繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；故答案為：圓錐；圓柱；圓錐；15．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直三棱柱中，，M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為_(kāi)_________．【答案】【分析】利用向量的分解，結(jié)合直棱柱中的線線關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可求出.【詳解】

如圖所示，根據(jù)題干條件可知.則，，，于是，根據(jù)直棱柱性質(zhì)，，，于是，，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，于是.則，即異面直線與所成角為.故答案為：16．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）某同學(xué)在勞技課上設(shè)計(jì)了一個(gè)球形工藝品，球的內(nèi)部有兩個(gè)內(nèi)接正五棱錐，兩正五棱錐的底面重合，若兩正五棱錐的側(cè)棱與底面所成的角分別為、，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】由平面，得到側(cè)棱與底面所成的角，設(shè)，分別在直角和中，求得，結(jié)合，即可求得取值最小值.【詳解】如圖所示，設(shè)另個(gè)正五棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，又由平面，所以和分別為側(cè)棱與底面所成的角，設(shè)，分別在直角和中，可得，所以，又由，所以當(dāng)當(dāng)時(shí)，取值最小值，最小值為.故答案為：.

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2023春·安徽·高二安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面與平面的交線，并說(shuō)明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用平面的基本性質(zhì)可以求得兩平面的交線；（2）先利用等體積法求到平面的距離，利用轉(zhuǎn)化法可得答案.【詳解】（1）如圖所示，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，

則即為平面與平面的交線.

理由如下：因?yàn)椋剩?，，四點(diǎn)共面，又，則，交于點(diǎn)．由，平面，得平面；由，平面，得平面．所以是平面與平面的公共點(diǎn)，又也是平面與平面的公共點(diǎn)，所以即為平面與平面的交線.（2）連接交于點(diǎn)，

因?yàn)椋?，所以，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍．

因?yàn)?，，所以，又，，，平面，所以平?/p>

同理可證平面．所以三棱錐的體積

因?yàn)槭茄L(zhǎng)為2的等腰三角形，所以．所以，同理

又已知，故的面積．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得．故點(diǎn)到平面的距離為．18．（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，交于點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)是棱上一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，若平面平面，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理證得結(jié)果；（2）由面面平行的性質(zhì)定理得及平行線對(duì)應(yīng)線段成比例得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，平面，故，又，，，平面，故平?/p>

又平面，故平面平面．（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以?/p>

因?yàn)?，且，所?/p>

在中，由，，得，

即．19．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中.

(1)若，，，試求在長(zhǎng)方體表面上從到的最短路線；(2)若，，且，試求在長(zhǎng)方體表面上從到的最短距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）將長(zhǎng)方體的面展開(kāi)到同一平面，求出線段的長(zhǎng)，分三種情況，求出結(jié)果，比較大小，確定最短路線長(zhǎng).【詳解】（1）如圖，

①將長(zhǎng)方形與平面展開(kāi)到同一平面，如圖1所示，

連接，此時(shí)，②將長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形展開(kāi)到同一平面，如圖2，

連接，此時(shí)，③將長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形展開(kāi)到同一平面，如圖3，

連接，此時(shí)，因?yàn)?，所以從點(diǎn)A出發(fā)沿著表面運(yùn)動(dòng)到的最短路線長(zhǎng)是.（2）當(dāng)，，且，由上可得或或，由可得，即，所以，所以，即，所以從點(diǎn)A出發(fā)沿著表面運(yùn)動(dòng)到的最短路線長(zhǎng)是.20．（2023·北京西城·北京師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖在幾何體中，底面為菱形，.

(1)判斷是否平行于平面，并證明；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（i）平面與平面所成角的大??；（ii）求點(diǎn)到平面的距離.條件①：面面條件②：條件③：注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)與平面不平行，證明見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用線面平行的判定定理構(gòu)造平行四邊形得線線平行，即可得結(jié)論；（2）選擇條件證明線線垂直建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解平面與平面的角及點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）不平行于平面，理由如下：取中點(diǎn)，

因?yàn)?，所以則四邊形為平行四邊形，所以，又，所以不平行于，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面所以，與不平行于矛盾，所以假設(shè)不成立，即不平行于平面；（2）選擇條件①：取中點(diǎn)，連接因?yàn)榱庑?，所以為正三角形，又為中點(diǎn)，所以，由于，所以，又因?yàn)槊婷妫婷?，面所以面，因?yàn)槊?，所以又因?yàn)?，面，所以面，而面，所以，所以如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則（i）因?yàn)槊妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗?，令，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ii）因?yàn)?，由（i）知平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)到平面的距離為.選擇條件②：連接，取中點(diǎn)，連接因?yàn)榱庑?，所以為正三角形，又為中點(diǎn)，所以，由于，所以，在菱形中，有，又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，面，所以面，而面，所以，所以如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則（i）因?yàn)槊?，所以為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗?，令，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ii）因?yàn)?，由（i）知平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)到平面的距離為.條件③：取中點(diǎn)，連接因?yàn)榱庑?，所以為正三角形，又為中點(diǎn)，所以，由于，所以，因?yàn)?，由?）可得，所以所以，即因?yàn)?，所以又因?yàn)?，面，所以面，而面，所以，所以如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則（i）因?yàn)槊?，所以為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，因?yàn)樗裕?，設(shè)平面與平面所成角為，所以，則即平面與平面所成角大小為；（ii）因?yàn)椋桑╥）知平面的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)到平面的距離為.21．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無(wú)論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)F的具體位置（無(wú)需給出證明過(guò)程）．(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺(tái)的體積，并求出此時(shí)二面角的余弦值．【答案】(1)或?yàn)榭拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)；(2)；.【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，翻折后證明平面平面即可推理作答.（2）根據(jù)給定條件，證明平面，再利用錐體的體積公式結(jié)合割補(bǔ)法求出體積，建立空間直角